湖南省衡阳重点大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题及参考答案

PAGEPAGE1衡阳重点大学附中2023年上学期期中考试试卷高二数学考试时间：120分钟；分值：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一､单选题（共40分，每小题5分）1.在等差数列中，，则（）A.3B.4C.5D.62.有4名学生要到某公司实践学习，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（）A.120B.240C.360D.4803.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种十二个节气日影长减等寸，冬至､立春､春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈=十尺=一百寸）（）A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸4.的展开式中，项的系数为（）A.17B.20C.63D.-235.在数列中，，则等于（）A.B.C.D.6.现有若干扑克牌：6张牌面分别是的扑克牌各一张，先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为，则（）A.B.C.D.以上三种情况都有可能7.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.8.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题（共20分，每小题5分，少选得2分，错选不得分）9.关于函数，下列判断正确的是（）A.当时，；B.当时，不等式的解集为；C.当时，函数有两个零点；D.当的最小值为2时，.10.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A.B.C.事件与事件相互独立D.是两两互斥的事件11.等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题的是（）A.公差B.C.是各项中最大的项D.是中最大的值12.若，则（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）三､填空题（共20分，每小题5分）13.已知正数的等差中项为1，则的最小值为__________.14.若直线与函数的图象相切，则__________.15.甲､乙､丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有__________种.16.已知函数若存在，使得，则的取值范围是__________.四､解答题（共70分，第17题10分，18-22题每小题12分）17.盒子内有3个不同的黑球，4个不同的白球.（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？18.设函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求；（2）求函数的单调区间.19.已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20.自2016年下半年起六安市区商品房价不断上涨，为了调查研究六安城区居民对六安商品房价格承受情况，寒假期间小明在六安市区不同小区分别对50户居民家庭进行了抽查，并统计出这50户家庭对商品房的承受价格（单位：元/平方），将收集的数据分成，五组（单位：元/平方），并作出频率分布直方图如图：（1）试根据频率分布直方图估计出这50户家庭对商品房的承受价格平均值（单位：元/平方）；（2）为了作进一步调查研究，小明准备从承受能力超过4000元/平方的居民中随机抽出2户进行再调查，设抽出承受能力超过8000元/平方的居民为户，求的分布列和数学期望.21.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，且（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，22.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案一､单选题12345678DCBACABA二､多选题9101112ABDBDABDABD三､填空题13.914.115.100816.四､解答题（见详解）答案详解：1.D【分析】根据是等差数列，直接利用进行求解即可.【详解】由是等差数列，得.故选：D.2.C【解析】先从5个科室任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，根据分步计数原理可得答案【详解】解：先从5个科室任选三个，有种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，故有，故选C【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.3.B【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列，利用等差数列通项公式､前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长.【详解】由题意知：从冬至日起，依次小寒､大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为，冬至､立春､春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，，解得，芒种日影长为（寸）尺5寸.故选：B4.A【解析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出，则出，该项为：；②出，则出，该项为：；③出，则出，该项为：；综上所述：合并后的项的系数为17.故选：A【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.5.C【分析】根据数列的递推公式可得，结合累加法，即可求解.【详解】由题意可得，所以当时，，上式累加可得，又，所以，当时，满足上式，所以.故选：C.6.A【分析】根据概率公式求出和，即可求得答案.【详解】张牌面分别是的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回实验的情况的总数为：当先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数情况的总数为：张牌面分别是的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回实验的情况的总数为：当先后从中取出两张.若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数情况的总数为：.故选：A.【点睛】本题主要考查了根据组合数求概率问题，解题关键是掌握组合数的计算方法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.B【分析】构造函数，然后结合已知可判断的单调性及奇偶性，从而可求.【详解】解：设，由为奇函数，可得故为上的奇函数，当时，，单调递增，根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，则不等式可转化为即，即，即.故选：B8.A【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.【详解】设公切线与函数切于点，，切线的斜率为，则切线方程为，即设公切线与函数切于点，，切线的斜率为，则切线方程为，即所以有因为，所以，可得，即，由可得：，所以，令，则，设，则，所以在上为减函数，则，所以，所以实数的取值范围是，故选：A.【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；（3）构建关系解得；（4）由点斜式求得切线方程.9.ABD【解析】由导数确定函数的单调性和最值，即可判断A､B､D；举出反例可判断C，即可得解.【详解】对函数求导得，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，故A正确；当时，，在上单调递减，因为即，所以，解得，故B正确；当时，，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，函数只有一个零点，故C错误；当时，单调递减，无最小值；当时，由可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，解得，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.10.BD【分析】根据条件概率求得，由全概率公式求得，以及互斥事件､独立事件的概念判断各选项.【详解】解：.因为，所以.同理.因为是两两互斥的事件，由全概率公式得因为，所以选项C错误.综上，选项错误，选B项正确，选D项正确.故选：BD.【点睛】本题考查条件概率，解题关键是正确理解事件是互斥事件，由全概率公式有.11.ABD【分析】由得：，进而结合等差数列的性质逐个判断即可【详解】因，所以，所以公差成立，所以正确，因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项，错误，因为，所以，B成立.设等差数列的前项的和最大，则，故，又等差数列为递减数列，且，所以，即是中最大的值，D正确.故选：ABD.12.ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意，所以，所以，故A正确.令，则，即为，令，得，故B正确；对于，令，得，令，得：，两式相加再除以2可得，故C错误.对于，令，得，令，得，故故D正确，故选：ABD13.9【分析】由题得，再利用基本不等式求最值.【详解】由题得.当且仅当时取等.故答案为9【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.1【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意，可得，因为直线与函数的图象相切，故设切点为，则，故，则，故，故答案为：115.1008种【分析】利用特殊位置优先原则分类讨论计算即可.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种.故总的站法有1008种.故答案为：100816.【分析】结合函数的图像，找到的约束关系，即得解.【详解】函数的图像如下图所示：由图像可知，，即.又又.故答案为：【点睛】本题考查了分段函数图像的综合问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.17.（1）1440（2）7（3）21【分析】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空即可得出结果；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球､3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球､3个白球2个黑球､2个白球3个黑球.【详解】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则共有种；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球､3个黑球和3个白球，共有种；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球､3个白球2个黑球､2个白球3个黑球，共有种.18.（1）（2）答案见解析【分析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；（2）对分类讨论，求出的单调区间.【详解】（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点又，根据导数几何意义，；（2）由可知当时，则当时，则；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为当时，单调递增区间为，单调递减区间为.19.（1）（2）【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可解；（2）利用错位相减法求数列前项和.【详解】（1）由题可知.因为，所以，得.设等比数列的公比为，则，所以，，即的通项公式为.（2）由（1）得，则，，两式相减得故.20.（1）3360；（2）分布列见解析，.【分析】（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率，再利用组中值与对应区间概率乘积的和为平均值求承受价格平均值；（2）先确定随机变量取法，再分别利用组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.（1）50户家庭对商品房的承受价格平均值为（元/平方），则（2）由频率分布直方图，承受价格超过4000元的居民共有户承受价格超过8000元的居民共有户，因此的可能取值为，，的分布列为：012.21.（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式求得，最后根据和项与通项关系求数列的通项公式；（2）先放缩得，再根据裂项相消法求和，即证得结果.【详解】（1）由，得，即，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，当时，，当时，，也满足上式，所以；（2）当时，，所以【点睛】本题考查等差数列定义､裂项相消法求和､根据和项与通项公式求通项，考查综合分析论证与求解能力，属中