(实验班用)数学习题详解-11

第十一章复数11.1复数的概念1．取何实数时，复数．（1）是实数．（2）是虚数．（3）是纯虚数．解：（1）．故时，是实数．（2）且．故当且时，是虚数．（3）或．故当或时，是纯虚数．2．设是纯虚数，且，求．解：设，则．故．3．已知复数，若，求实数的值．解：，将其代入．4．满足的有序实数对有__________组．解：．共4组．5．若复数是纯虚数，则求实数的值．解：．6．已知，则“”是“复数是纯虚数”的什么条件？解：取，则复数为实数，而非纯虚数，又若复数是纯虚数，则必有，故其为必要不充分条件．7．已知，则命题“是纯虚数”是命题“”的__________条件．解：当是纯虚数，则，又取，则但非纯虚数，所以其为充分非必要条件．8．使“复数为实数”的充分而不必要条件的是（）．A．为实数 B．为实数 C． D．解：对为纯虚数的，有、成立，又为实数，故A、B、C选项错误．又，当时，不成立，所以为复数为实数的充分而不必要条件．9．已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值．解：，得实根为或，值为或．10．已知复数当，求的取值范围．解：．解得的取值范围是．11．若，试求．解：由于，故，故．12．已知复数，若，求证：．证：，．13．设，若对所有，都有，求的取值范围．解：若存在，使得，则，所以要使对所有，都有，则．14．已知方程，有实根，求实根的取值范围．解：设为方程的一个实根，则，又有，则．11.2复数的代数运算1．计算：．解：利用的周期为4来解题．．2．（1）计算．（2）计算．解：（1）．（2）．3．已知两个复数和，它们之和是，它们之差是，求、．解：，解得：．4．若复数满足，求证：．证：设，．5．若，则的值为__________．解：，然后降次可得：．6．若，求的值．解：．．7．求同时满足下列两个条件的复数：（1）．（2）的实部、虚部都是整数．解：设，则，则或，或．8．设，求满足且的复数．解：设，则．，或．9．已知复数（、），集合．（1）若，求的最小值．（2）若，求的最小值的表达式．解：，得到．（1），，的最小值为．（2）设，，得到10．已知、为复数，为纯虚数，，且，求．解：设，则得出．则，则．11．求所有整数，使成立．解：分类讨论，分别代入检验可得：．12．已知分别为1的立方根，求的值．（）解：无妨设．对分类讨论即可．被3整除时，原式为3；反之，为0．13．已知复数满足，其中为虚数单位，，若，求的取值范围．解：，．11.3复数的模和共轭复数的运算性质1．已知复数满足，且为实数，求复数．解：设，则．．则或，得出：．2．已知，问为何值时，与为共轭复数．解：或．3．已知复数满足，求．解：．设，则，解得：．4．已知复数满足，求的最值．解：由复数几何意义可知，为复数在坐标系中所表示的点与点的距离，因此，最小为0，最大为4．5．求复数的模．解：．6．设复数满足，求的最大值与最小值，并求出相应的复数的值．解：设，．当，即时，；，即时，．7．（1）已知，求的值．（2）若复数的模均为，求的值．解：（1）．（2）．8．已知复数，且，求的取值范围．解：，，．9．已知复数，求的最大值和最小值．解：．10．设复数满足．（1）若满足，求．（2）若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在说明理由．解：（1）由，两边同时取共轭复数可得：．代入已知方程得：．即．令，即可得到．即．解得或．则，或．（2）由已知得．又由于，则．则，则．整理得：．即．则，即．则存在常数，使得等式恒成立．11.4复数与复数的加法、减法和几何意义1．是否存在实数，使得复数在复平面上对应的点在虚轴上，若存在，求出所有的实数，若不存在，请说明理由．解：，这样的不存在．2．（1）若且，求的最小值．（2）若且，求的最大值．解：利用复数和几何意义解题，看成点与点之间的距离问题，（1）3；（2）7．3．已知复数满足的虚部为2．（1）求；（2）设在复平面上的对应点分别为，求的面积．解：（1）或．（2）．4．已知复数满足，且，求与的值．解：，所以复数构成一个矩形．．5．已知，且，求复数．解：，，得出：．经检验，满足题意．6．已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．（1）求复数．（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．解：（1）．（2）．7．若，求的最大值和最小值．解：由几何意义可得：表示以（）为圆心的单位圆，则．8．设复数满足，求的最大值及此时的复数．解：由几何意义可得：表示以原点为圆心半径为2的圆，表示圆上的点与（0，1）的距离，显然则当时，取最大值3．9．已知是实数，求复数在复平面上所对应的点集的图形．解：设，则．则或．设，．则或，得出：或或（不同时为0）．10．设复数在复平面上所对应的点是，画出满足下列条件的点的集合所表示的区域：（1）．（2）．（3）．解：（1）由于，则点位于虚轴（轴）的右侧，点的集合表示由虚轴右侧所有点构成的半平面，见下图．（2）则．则点的集合表示由直线围成的矩形，如下图，包括边界，但不包括边界，以及矩形内的实轴部分．（3）由于，则点在该以原点为圆心2为半径的圆上以及该圆内部．而，即，它表示一条直线，过点．则点的集合表示过点的直线被圆面所截得的线段（包括端点）．11．已知两个复数集：及的交集为非空集合，求的取值范围．解：．12．复数且对应的点在第一象限，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值．解：．复数对应的点是三角形的三个顶点，得．联立，求得．13．已知复数在的条件下变动，而，则复数对应点的形成的区域图形的面积是__________．解：对应的形成的区域图形是一个以点为圆心，4为半径的圆面，其面积为．14．关于的二次方程中，、、均是复数，且．设这个方程的两个根为，求的最大值和最小值．解：由韦达定理可知：．．设，带入可得：．的几何意义为圆上的点到原点的距离问题．因此，的最大值是的最小值是．15．设复数满足，且在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，，求和的值．解：设，则联立．当时，有，即，得．当时，同理可得．16．设为实数，且存在复数满足和，求的取值范围．解：．17．设是复数，则的最小值等于__________．解：提示：在复平面上，设，则当为的费马点时，取最小值．18．在复平面上有两个动点和，它们分别对应于复数与，且满足，当沿曲线运动时，求的最值．解：当沿曲线运动时，的轨迹方程为．设的坐标为，即，则．，则的最小值是1，最大值是3．19．已知为直线上的动点，以为边作正（按顺时针方向排列），则点的轨迹方程为__________．解：设的直角坐标为（），对应复平面的复数为．则．对应的的直角坐标为，带入到方程中，可得．11.5复数的三角形式与运算1．下列复数是不是复数的三角形式？①．②．③．④．解：由复数的三角形式定义可知，④是．2．（1）计算：．（2）已知、、是的三个内角，三个复数，，试求的值．解：（1）原式．（2）转化为三角形式．同理：．．则．．原式．3．若复数和在复平面上的对应点的距离为1，求复数的模与辐角主值．解：．，．4．已知复数满足，，求．解：设，．或（舍），．5．有一个人在草原上散步，开始时从点出发，向东行走，每走1千米后，便向左转角度，他走过千米后，首次回到原出发点，则__________．解：方法一：由正十二边形可知：方法二：由几何意义可知，记，则．．6．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同点的个数是__________．解：可设：，，…，，，，…，由此可知，所以表示四个不同的点．7．已知，（1）设，求的三角形式．（2）如果，求实数的值．解：（1）．（2）．8．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为（为原点），已知对应复数，求点和点所对应的复数．解：．．9．方程的7个根在复平面上对应的7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是__________．解：．由复数的平方，得7个复数方根为，其中容易得只有是第三象限的角．10．若复数满足，且，则的值为__________．解：设，则．．由万能置换公式可知：，得到：．11．设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式．解：设，．则，则．12．已知，，若在复平面上分别对应点，且，求的立方根．解：．设．则．，，．的立方根为．13．已知是实数，是非零复数，且满足．（1）求的值．（2）设，若，求的值．解：（1）设．，则．（2），．14．已知，求复数．解：．15．已知复数满足，且，则求的值．解：．16．设为的三内角，复数，求的最大值．解：．．的最大值为．17．求证：．解：构造法解题．设1是的次单位根为：，则都是其根．由．则．取，则．．．18．设复数的模相等，且，求实数的值．解：．19．若，求证：．证明：由已知解得，则由于，则，则．20．设复数，求函数的最大值以及对应的值．解：．．当时，取最大值．21．已知复数，（1）求及．（2）当复数满足，求的最大值．解：（1）．；（2）由几何意义可知：的最大值为．11.6复数乘除法的几何意义1．复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．解：设第三个顶点所表示的复数为，则或，解得第三个顶点所表示的复数为或．2．已知向量所表示的复数满足，将绕原点按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为，求复数的辐角主值．解：，，．3．设，其中，是虚数单位，，且，求的辐角主值的取值范围．解：，，．4．已知复数在复平面上分别对应点为复平面的原点．（1）若，向量逆时针旋转，模变为原来的2倍后与向量重合，求．（2）若，试判断四边形的形状．解：（1）．（2），显然为菱形．5．已知复数、分别对应复平面上的点，且满足条件：．（1）当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值．（2）当面积取得最大值时，求动点的轨迹．解：（1）．，则．．当时，的面积取得最大值为．（2），轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．6．设对应复平面上的点，点为原点，，则面积是__________．解：，，则，则面积是1．7．复平面上，非零复数对应的点在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为，则__________．解：．．，．8．复数列的通项公式为．（1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项开始，以后所有各项对应的点都落在圆内部．（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项以及所有项的和．解：（1）设数列在复平面上对应点的坐标为，则，要使得点落在圆的内部，则，则；则．即从第六项起，以后所有各项对应的点都落在圆的内部．（2）要使数列中的项为实数，则，则．则数列的通项为：．则．则数列为首项为1，公比为的无穷递缩等比数列．则数列的所有项的和为：．11.7复数集内的方程1．在复数范围内分解因式．解：，．2．已知方程有两个根是1，，求方程的其他根．解：实系数方程的虚根成对出现，则也是根．．利用待定系数法或长除法得：．方程的其他的根为．3．求实数的值，使方程至少有一个实根．解：设实根为，则．则．4．设，若二次方程有两个虚根，求需满足的充要的条件．解：若方程有实根，则方程组有实数解，由方程组得：．若，则无实根，矛盾．则，此时．方程有两个虚根的充要条件为．5．在复数范围内解方程（为虚数单位）．解：原方程的解是．6．已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．解：，则，则方程另外一个根为．所求的一个一元二次方程可以是．7．已知关于的方程的一个根为，（1）求方程的另一个根及实数的值．（2）是否存在实数，使对时，不等式对恒成立？若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）另一根为．（2）设存在实数，对时，不等式对恒成立，由于的最小值为1，则不等式对恒成立．即：对，设，则．存在满足条件．8．设复数，其中为虚数单位，为实数，．若是方程的一个根，且在复平面内所对应的点在第一象限，求与的值．解：，得到：，则．9．已知是关于的方程的两个根，求的值．解：分实根与虚根讨论，．10．已知关于的实系数方程的两根分别为，且，求的值．解：分实根与虚根讨论，或．解得：．11．设复数列满足，且．若对任意都有，求的值．解：由，恒成立，即．因为或0，故，所以．12．已知、为方程的根，求：（1）．（2）．（3）．解：由韦达定理可知：．（1）．（2）．（3）．13．已知关于的二次方程．（1）如果此方程有一个实根，求锐角和这个实根．（2）试证无论取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．解：（1）设方程有一个实根为，则，．（2）设方程有一个纯虚数根为，则，则因为无实数解，则无论取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．14．设虚数满足．（1）若是一个实系数一元二次方程的两个根，求．（2）若（为虚数单位），，复数，求的取值范围．解：（1），则，，得出，或．（2），，．15．对任意一个非零复数，定义集合．（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合．（2）设复数，求证：．解：（1）．（2）略．16．定义数列：是方程的两根，且当时，有，求证：对一切自然数，有．证明：由方程，解得或．不妨设，由递推关系得，即．若存在某个，使，则可由上式经过有限次倒退，得，这与矛盾，所以，对一切自然数，．则．由此可得．因为，则，即数列是以3为周期得纯周期数列，注意到，恰好是一个周期长．而．故对一切自然数，有．而．所以对一切自然数，有．11.8复数的综合应用1．实数取什么值时，复数，（1）是实数，（2）是纯虚数，（3）对应的点位于第二象限．（4）对应的点在直线上．解：（1）．（2）．（3）．（4），得出：或．2．分解成一次式的乘积为____________________．解：．3．，则的最大值为__________．解：的轨迹为（）为圆心，半径为2的圆面，则最大值为