第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．v＝9.8t＋6.5(4s内经过的路程是()A．260mB．258mC．259mD．261.2m解析8(9.8t＋6.5)t＝(4.9t2＋)

＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝ 44313.6＋52－78.4－26＝261.2.答案D2f＝2－x，则－1f)x等于

( )．2A．3 B．4 C.72

9D.2解析f(x)＝2－|x|＝2＋xx<0，

x2

x2 3 7∴2－1f(x)dx＝0－1(2＋x)dx＋2(2－x)dx＝2x＋

01＋2x－

2＝＋2＝. 答案C

2－ 0

20 2 2f(x)f′(x)的图象如图所示，x轴所围成的封闭图形的面积为( )．

f(x)的图1A.3C．2

B.4383D.3解析f′(x)f(x)x＝－1，开口方向向f＝ax2＋b＋a>0)f(0)＝0＝0.f′＝2ax＋b－1,0与(0,2)，2a×－1＋b＝0， a＝1，则有 ∴ ∴f＝2＋2则f的图象与x轴所围成的封闭图2a×0＋b＝2，

b＝2.

1 1 4S＝－2－x2－2)＝－33－02＝3×－23＋－22＝3. 答案B4.已知()为偶函数，且6f(x)x＝8，则6－6f(x)x＝( )0A．0 B．4 C．8 D．166－6f(x)x＝26f(x)x＝2×8＝16.0答案D5．1 4－2①d；②2－2xd；③2

dx； 1 0π④∫2

cos2xcosx－sin

积分值等于1的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．41 解析①

d＝lne＝1， 111② －2d＝22＝0，2

2－24－2 11③2 0

(π22)＝1，π4π cos

x1 π(cosx＋sin④∫21

cosx－sinx π

d＝∫220＝(sin－cos)| 0＝1.2 2答案C61AOBC＝2＝x围成一个叶形图阴影部分)AOBC内随机投一点(AOBC内任何一点是等可能的则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．1A.2

B.1

C.1

1D.364解析依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于1( x－2)x64023 1 1 1＝x－x31＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于

，选D.32 3D二、填空题

0 3 37．10N106 ．F(x)＝kx，k＝100，F(x)＝100x，W＝∫0.06100xx＝0.18()．0答案0.18J8．若(2－3x2)x＝0，则k等于 ．0k k(2x－3x2)x＝2xx－32x＝x2－x＝k2－k3＝0， 0 00 0 0∴k＝0k＝1.答案019．2|－2|d＝ .1 x x3－2解析∵|3－2x|＝

＋3，≤，22－3，＞，x x32－3，＞，2xx 3 xx 3 x x2∴2|3－2|d＝∫(3－22 21 21＝

3 3 1|1＋(2－3)|2＝.|2 2 21答案2 1f＝n＋axf′＝2＋1且f－)＝m＋612展开式中各项的1系数和为 ．解析f(x)＝xn＋axf′(x)＝2x＋1.所以2f(－x)dx＝2(x2－ 1 11 1

1

5 1x)dx＝

x22＝

＝m所以mx1212＝1.3答案1三、解答题

2 6

6 6 6如图在区域900的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解 区域Ω的面积为S＝16.1图中阴影部分的面积

1 32S＝S－

－22d＝16－32＝ .2 1 2

3－2 3设落在阴影部分的豆子数为m，m S由已知条件 ＝2，900 S1900S即S2＝600.1因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．f(x)是一次函数，且1f(x)dx＝5，1xf(x)dx＝17，求2fxdx的值． 6 x0 0 1解 ∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．1 1 1∴1f)＝1a＋b)d＝2a2＋b ＝2a＋b.0 00 01∴2a＋b＝5.①又1xf(x)dx＝1x(ax＋b)dx 0 01 1 1 1 1＝3a32b2 ＝3a＋2b.01 1 17∴3a＋2b＝6.②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，fx

4 3∴2xd＝2 x d＝＋xdx 1 1 12＝(4x＋3lnx) ＝4＋3ln2.1在区[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点中的阴影部分的面积S1与S2之和最小并求最小值解 面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线轴、直线x＝t所围成的面积，2S1＝t·t2－tx2dx＝3t3.

ty＝x2x0S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，2 1即S2＝1x2dx－t2(1－t)＝3t3－t2＋3.t4 1所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝3t3－t2＋3(0≤t≤1)． 1 1St＝4t2－2t＝4t－＝0t＝0t＝2.1 1 1 2t＝0时，S＝3；t＝2时，S＝4；t＝1时，S＝3.t1 S 1所以当＝时，最小，且最小值为.2 4f(x)＝3x2－3x，l：x＝2l：y＝3tx(t0<t<1)，1 2lf(x)ll与函数f(x2 1 23，(1)S(t)的解析式；(2)h(x)＝S(x)，x∈Rm的取值范围．y＝3x2－3x，解析 (1)由y＝3tx

得x2－(t＋1)x＝0，x＝0，x＝t＋1.1所以直线l2

2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.因为0<t<1，所以1<t＋1<2.

＋1[(3x2－3x)－3tx]x03 t＋1

2 3 t＋1 2＝ 2 0

x3－

x22t＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则h′(x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．A，y)，0 0x＋1 3－6x＋2－m，则3(x＋1)2－6＝ ，0

0x－1023－6x＋＝0，其有三个不等实根．0 0x)＝23－6x＋′(x)＝62－6.0 0 0 0 0)>0，x>1x<－1；0