2014高考数学专题-双曲线的定义及几何性质

内部资料DATE\@"yyyy-M-d"2023-4-29高三数学一轮复习专讲专练——双曲线一、要点精讲1、双曲线的定义与几何性质：定义1、到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹2、到定点与到定直线的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹标准方程=1=1图形性质范围或，，或对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线顶点坐标，，，，焦点，，轴实轴的长为虚轴的长为离心率，其中准线准线方程是准线方程是2、双曲线的形状与的关系：因为双曲线的斜率，所以越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。3、共渐近线的双曲线系方程：与=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为，若，则双曲线的焦点在轴上；若，则双曲线的焦点在轴上。二、高考链接1、（2010安徽理）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、 B、 C、 D、2．（2013年湖北）已知,则双曲线:与:的 （）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线的离心率为QUOTE52,则的渐近线方程为 （）A． B． C． D．4．（2013湖南）设F1、F2是双曲线C,(a>0，b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为___________.5.（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq\r(5)，则m的值为______．解：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝eq\f(\r(m2＋m＋4),\r(m))＝eq\r(5)，所以m＝2.三、典例精讲考点一：双曲线的定义1、(2011四川)双曲线eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．解：双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由定义知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有eq\f(20,d)＝eq\f(c,a)＝eq\f(10,8)，故d＝16.2、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解：双曲线的右焦点(4,0)，点M(3，eq\r(15))或(3，－eq\r(15))，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.12.（08全国）设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）A． B． C． D．13．(2012湖南)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1解：设焦距为2c，则得c＝5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝±eq\f(b,a)x上，得a＝2b.结合c＝5，得4b2＋b2＝25，解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.14．(2012课标)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．8解：设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x＝－4，代入双曲线的方程得16－y2＝a2，因为|AB|＝4eq\r(3)，所以16－(2eq\r(3))2＝a2，即a2＝4，所以2a＝4，所以选C.15．(2011浙江)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝eq\f(13,2)B．a2＝13C．b2＝eq\f(1,2)D．b2＝2解：依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))解得x＝±eq\f(ab,\r(4a2＋b2))，故被椭圆截得的弦长为eq\f(2\r(5)ab,\r(4a2＋b2))，又C1把AB三等分，所以eq\f(2\r(5)ab,\r(4a2＋b2))＝eq\f(2a,3)，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝eq\f(1,2)，故选C.在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要掌握以下内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，16、(2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)解：设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－eq\f(b,c)，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴－eq\f(b,c)·eq\f(b,a)＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e＞1，∴e＝eq\f(\r(5)＋1,2).17．（2013重庆）设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx （）A． B． C． D．解：设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率eq\f(b,a)必须满足eq\f(\r(3),3)<eq\f(b,a)≤eq\r(3)，所以eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)≤3，eq\f(4,3)<1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)≤4，即有eq\f(2,3)eq\r(3)<eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤2.又双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以eq\f(2,3)eq\r(3)<e≤2.18.（09重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线