数学形象思维

数学形象思维及培养杨川（宜宾学院数学学院09级2班 宜宾644000）指导教师：蒋华摘要：粗略性和想象性。数学形象思维对学生分析问题和解决问题的培养具有重要作用。数学形象思维在问题解决中可表现为数学表象、数学自感、数学想象等三个基本形态，数学形象思维的意义体现在有利于开发右脑、有激活解题思路、有益于发展创造性思维等。在数学教学中，教师要充分利用学生的数学形象思维特点有效组织教学，采用模型、图形、数形结合、多媒体等具体方法，培养学生的数学形象思维能力，提高学生的综合素质。关键词：数学形象思维；培养问题提出：我国著名科学家钱学森在20世纪80年代把它提高到思维形式的科学高度，他曾经说：“我建议把形象思维作为思维科学的突破口……这将把我们智力开发大大向前推进一步。”【1】数学是思维学科的基础，那么数学形象思维又会对学生学习数学有着怎样的意义？1数学形象思维的界定形象思维是人脑运用具体事物，可以看的见摸得着的东西的形象来认识和把握客观世界的思维。对于形象思维，它最早由俄国文艺评论家别林斯基提出，那时常用于文艺领域、人类发现，现代科学技术的发明都源于对事物形象的认识、分析、加工、改变等思维方式。所以说现代科学技术的发明是从形象思维开始的。例如：牛顿看到苹果从树上掉下来，发现了万有引力；莱特兄弟看见鹰在天空中自由翱翔，发明了飞机；这些都说明，只要掌握好事物的本质属性再对其逻辑思维的加工形成形象思维则对人们对日常生活中是有很大的好处的。人们再以表象为基础，进行联想与想象，达到创造发明的目的就可以给人类带来无穷的好处。数学形象思维就是借助数学形象来思考、分析、运算、表达来解决数学问题的思维。它是人脑对各种各样数学对象的数学形象（数字、图式、概念、符号、公式等的因果关系而进行的一种思维活动。任樟辉认为【2李莉认可能有的形象如图形作为思维材料，并对其进行反思维的加工，以揭示对象如图形与数量的关系变化规律的一种数学思维方式【3】数学形象思维的作用培养学生的数学形象思维有利于挖掘人类右脑潜能，使左右脑得到协调发展一。只有左右半脑，同时得到了好的发展和挖掘人类才能更加聪明。PAGEPAGE10培养学生的数学形象思维有助于激活解题思路浮现在眼前，这种记忆可以帮助我们寻找以前用过的或学习过的对本问题有用的解题方式、信息来激活解R路，从而有效地解决问题。例如：学习过圆柱体体积SR后再学习圆锥体的体积S 3 ，我们就会从学习圆柱体体积的方式方法中找到学习圆柱体的体积有用的解题方法、信息。只有这样，才能更好地牢固掌握所学的数学知识。培养学生的数学形象思维会让学生认识到数学的形象美，激发学生对数学学习的兴趣例如：教学生画圆、中心对称、轴对称图形、做圆柱体等都给人形状的美感。培养学生的数学形象思维有益于发展创造性思维数学形象思维不但有助于激发学生的创造性想象，而且会促使学生主动地实验、研究从而发现问题、探索问题和解决问题。又由于数学创造思维往往是通过具体事物的形象、表象等，抓住问题的所在，经过逻辑思维的思考迅速找到解决问题的突破口，然后在对问题转化、分析、处理得到答案，所以对学生数学形象思维能力的训练有益于创造性思维的发展。例如：小学生做，1+2+3+…+100着不同的方法，其中高斯的做法就具有较高的创造力。数学形象思维的心理元素数学表象所谓表象是人们对所感知过的事物现象，以及在大脑中保存下来，以后眼前没有出现这种事物的现象，但这种事物的这种现象也会在大脑中回忆起原来的形式的反映。数学表象是通过事物的直观形体特征来概括得到的观念性形象。例如：‘+’‘-’‘×’‘÷’等的形象在头脑中呈现的表象是不同的‘+’代表的是两数之和，‘-’代表是是两数之差，‘×’代表的是两数之积，‘÷’代表的是两数之商。那些数学符号在这个形象中起表征作用，这就是一种数学表象。没有数学表现就没有数学形象思维，数学表象是数学形象思维的基础。数学形象思维是从表象这种思维形式开始，人们可以对数学表象进行自由的认识、分析、加工、处理，并可以借助于数学逻辑思维的相互参透与相互融合，对各种表象进行分析、对比，也可以不断地尝试不同特征和不同程度的概括，产生各种各样有不同特征可以判别出不同事物并且有相似、相互联系的表象，在大脑里形成表象系统。直观性和概括性是数学数学直感直感是人脑运用数学表象对具体形象的直接认识和判别。数学直感是在数学表象基础上对有关数表象联系在一起来,从而唤起另一种新的数学表象,达到揭示数学问题的内容及本质。数学直感是建立在丰富的数学表象的基础之上,只有当我们拥有丰富的数学表象,才能引起丰富的直感。数学直感有着各种不同的形式，主要的有形象识别直感、模式补形直感、形象相似直感。形象识别直感是用数学表a=2.5；b=-1.5；求a22abb2a

2abb(ab)2

(2.51.5)2

1 。模式补形直感是利用人脑已在头脑中建构的数学表问题所给的图形、图式时，补形能力越强。例如：已知abab4a2b2？(ab)2

a

2abb242a2b24a2b212。形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础的复合直感。当人脑进行形象识别时，往往在头脑中找不到同质的已有表象，也不能通过补形整合与已有的模型。这时人脑通常是在头脑中筛选出最接近于目标形象的已有表象或模式来进行形象识别。通过形象特征的同于异的比较，判别其相似的程度，从而通过适当的思维加工与改造，使新形象联结与原有表象系统的相应环节，构成相似链，在问题解决的过程中就为问题的变更和转化。例如：求：f(x)=sin(x)2+sin(x)+3t=sin（x）则-1≦t≦1f(x)转化为我们学过的二次函数f(x)=t2+t+3-1，1〕范围的最值问题。数学想象有可能在你做其他事情的时候又想起了怎么做。这种现象我们就称无意想象。推理。学表象和数学直感是数学想象的基本成分或材料；但是数学直感与数学想象互为表里、互相参透，数学想象是数学直感形象的过程，而数学直感又表现为数学想象的结果。数学形象思维的基本特点形象性数学形象性思维是数学形象思维最基本的特点。形象只是相对于一般人对对象认识而形成的一种直观性和整体性的优点。非逻辑性数学形象思维不像抽象思维那样，对已知条件进行一步一步很严密的加工、推理，是一个很严谨的一个过程，任何一步都不能少或改变顺序，而是应用数学表象为材料，经过自由组合、分解而形成新的形象，或由一个形象跳跃到另一个形象。它对信息的加工过程不是很严谨的，也不是一点顺序的加工，而是平行加工，是根据表象的组合、分解变化出来的新形象。它可以使思维人脑迅速从整体上把握住问题。例如：(ab)2=a22abb2 只是对式子展开。数学形象思维需要不断证明和实践中检验概括性数学形象思维对问题解决的反映是表面上的反映，是具有概括性的形象，对问题解决的把握是大思维活动过程本身也是概括的,但这种概括是形象地进行的,它是一种形象性的理性认识、判别活动。要将数学抽象思维与数学形象思维巧妙结合，协同使用才能更好、更快、更准、更有效的解决问题。想象性数学想象是思维人脑运用已有的形象形成新形象的过程。数学形象思维并不满足于对已有形象的的修正、补充从而上升为创造性思维。数学形象思维的培养程中不断吸取教训，总结经验。丰富数学表象的累积，表象是数学形象思维的基础相关系的表象、直感、联想从而上升为一种概况性的概念、理论、定理等。我们在学习“变量与函数”的第一节课，书上提出这样问题。问题一：下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：存期X三个月六个月一年两年三年五年年利率Y1.71001.89001.98002.25002.52002.7900观察上表：说一说随着存期X的增长，相应的年利率Y有何变化？rcrc2r可以知道，圆的半径越大，它的周长就越大。上面两个问题，学生从熟悉的数学形象材料入手，由存期x的变化可以形象的感知道年利率y的变化，由圆的周长与半径的关系，可以体会到半径的变化带来了圆的周长的变化的数量变化的过程。从而学生更好的去理解数学变量、因变量的定义，甚至理解函数的相关概念。数学直感激发数学形象思维的形成数学直感是数学表象基础上对有关数学表象的特征判别。它是人脑对于数学对象事物的某种直接通过不同的直感进行联结，它对问题的分解、改造整合加工具有创造性的加工，从而形成解决数学问题的思维，数学直觉的基础在于数学表象的积累，因此如果一个学生在解决数学新问题时先是对它的表象做出直接的迅速的认识和判别，然后再对问题思考，形成形象思维。在我们学习圆与直线位置关系这一课时，我们给出具体的图形表象让同学们去思考。通过给出具体图形圆的半径和圆心到直线的距离的比较得出圆心到直线的距离d与半径r的相应关系。例：drodrodrordod>r d=r d<r43432y=x-11ro8642d2468123A:相交4B：相切 相离 以上三种情况都可能4通过圆与直线的位置关系图形的表象，即：相交d〈r；相切d=r；相离d〉r，形成圆与直线位置关系的直感，来判断圆与直线的位置关系。问题三，只要我们把r=1的圆在直角坐标系画出来并把y=x-1也画出来，我们就可以很形象直观的看到此圆心和直线y=x-1的位置关系。数学想象促进数学形象思维的发展是想象与创造，是数学形象思维创新的过程问题四：如图一所示：已知ABCD;AEHG是正方形。求HD:GC:EBD CGFEGFE图一解：连接AG;AC∵△ADC和△AHC都是等腰三角形2∴AD:AC=AH:AG=1：2∠DAC=∠HAG=450 ∴∠DAH=∠CAG2∴△DAH ∽△GAC ∴HD:GC=AD:AC=1：2∵∠DAB=∠HAE=900 ∴∠DAH=∠BAE又∵AD=AB;AH=AE ∴△DAH≌△BAE∴HD=EB2∴HD:GC:BE=:12问题五：如图二所示：已知ABCD;AEHG是矩形,且DA：AB=HA：AE=m:n。求HD:GC:EB？D CGFA BE图二解：连接AG;AC∵AH：AE=DA：AB=m：n AH2AH2HG2

∠HAB=∠HAB ∴∠BAE=∠DAHAD2AB2AD2AB2

；AG2m2m2n2m2n2∵∠DAG=∠HAC；∠CAH=∠CAH ∴∠DAH=∠CAGm2n2∴△DAH ∽m2n2m2m2n2m2n2m2n2通过学习和了解问题四的解题方法来分析、设想问题五也可以通过问题四的解题方法来解决，我们就可以用同一样的解题方式来解决问题五。：加强数学教学的直观性相对人的感知限度而言是很直观的。“直观”本身就是数学形象思维的一个特点，不仅如此，直观本身也是一个重要的教学原则和手段。由于数学形象思维是以数学表象思维为重要材料，借助与材料的鲜明生动的图像、公式、符号、语言等作为物质的外壳，并给学生认识数学表象时强烈的思维活动。因此，在数学教育过程中，从研究数学概念、定义定理、公理等需要运用演示实验、板书、模型、ppt、维认识。8642y=-x^2+515105o5101528642y=-x^2+515105o51015246把二次函数的图像画出如图所示，很容易看出最大值是在y轴上,取即x=0的时候y取得最大值，所以y-x25的最大值y=5。：培养学生的动手能力在数学教学中让学生自己去动手制作模型、画图、动手计算、动脑思考。例如：在讲立体几何时生对学习数学的兴趣。：常用多媒体演示随着信息时代的到来，多媒体在数学教学中得到了迅速的发展，使数学教学充满了新的生命力。形象、富有感染力的特点，极大的激发了同学学习数学的积极性和主动性有助于同学的学习和交流，使学生的学习效率大大提高。因此，适当的应用多媒体来辅助数学教学，能使抽象的数学问题得到具体化、清晰化，也可以使同学思维活跃，从而培养同学的数学形象思维。传统的数学教学‘一黑板、而且在讲抽象的数学问题的时候往往会更加难懂。多媒体等现代教学工具在教学中改变了现状，它可以形象生动的展现出较为抽象是思维过程，让抽象的事物变得具体形象。多媒体教学理念打破的传统教学观念，加速了教学形式和内容的改革，促进教学手段和管理水平的现代化水平。例如：一元二次函数求最值问题，借助于多媒体使学生更加容易理解和掌握，并丰富了学生对函数具体的表象。：数形结合，培养数学形象思维能力大脑里形成不同的思维表象材料，大脑里的思维表象材料越多则图像表象就越丰富。不同表象的记忆会调动右脑思维的积极性和主动