平面与平面垂直（教学课件）-【大单元教学】高一数学系列（人教A版2019）

8.6.3平面与平面垂直【单元目标】课程目标A.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．B.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．C.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。D.掌握平面与平面垂直的性质定理；数学学科素养1.数学抽象：二面角的有关概念；2.逻辑推理：用定理证明垂直关系；3.数学运算：求简单二面角平面角的大小；4.直观想象：面面垂直的定义。【单元知识结构框架】教学重点：面面垂直的判定定理；教学难点：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？

直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a'//a，b'//b，我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

范围：(0o,90o]．范围：[0o,90o]．复习回顾公路问题引入(1)半平面的定义1.二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面(2)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱面面新课讲授①平卧式：②直立式：llAB(3)二面角的画法和记法：1.二面角的概念面1－棱－面2点1－棱－点2二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCD思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？AOlB

二面角的平面角A'B'O'以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：③角的边都要垂直于二面角的棱①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内11==ABA’B’二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。.二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个面重合：

0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。三个βααβ图形表示平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作α⊥β建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？铅垂线→直线墙面→平面水平面→平面BAC

平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.αβaA简记：线面垂直，则面面垂直符号:面面垂直线面垂直线线垂直αβEF思考1如图，长方体中，α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？与AD垂直不一定思考2垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？为什么？αβABDCE垂直证明:在平面内作BE⊥CD,∵,∴AB⊥BE.又由题意知AB⊥CD,且BE

CD=B垂足为B.∴AB⊥则∠ABE就是二面角的平面角.αβABDCE平面与平面垂直的性质定理符号表示:DCAB两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直线面垂直作用：①它能判定线面垂直.②它能在一个平面内作与这个平面垂

直的垂线.关键点：①线在平面内.②线垂直于交线.DCAB总结提升典例分析

【解答】证明（1）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE题型一直线与平面垂直判定（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．

例3：如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求证：（1）PC⊥BD；（2）面PBD⊥面PAC．【解答】解：（1）连接AC，BD．∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD．（2）由（1）可知，BD⊥平面PAC，又∵BD⊂平面PBD∴平面PBD⊥平面PAC．

变式训练如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD＝1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC

方法技巧判定定理理解的注意事项(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.典例分析题型二二面角的平面角及求法例5.已知：四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1．（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）解：因为ABCD是正方形，所以BC∥AD．因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．

所以EF∥DH．因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，所以DH⊥PC，即EF⊥PC．②因为PC∩BC＝C，③由①②③知EF⊥平面PBC．（②的证明也可以通过连接PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明）（Ⅲ）解：设PA的中点为M，连接MC，依条件可知△PAC中PC＝AC，所以MC⊥PA．①又PD⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，所以AB⊥PA．

例6.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA又AC⊥AB，PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB

例7.如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC∴BD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD

例8.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点；（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；（2）求二面角的正切值．【解答】解：（1）连接EO，则由于E为PA的中点，O为底面对角线的交点所以OE为△APC的中位线所以EO∥PC，又PC⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD∴平面EDB⊥平面ABCD.

变式训练

【解答】解：（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，连接B1G．又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．

典例分析题型三面面垂直的性质定理例9.如图，在四棱锥D′﹣ABCE中，底面为直角梯形，AB＝2BC＝2CE＝2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．（1）求证：AD′⊥EB；（2）若D′A⊥D′E，D′A＝D′E，求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面D′AE⊥平面ABCE，∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上取AB中点H，连接CH，则CH∥AE∵AB＝2BC＝2CE＝2，∴四边形BCEH为正方形，∴BE⊥CH，CH∥AE∴BE⊥AE∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D′AE∴AD′⊥EB；（2）解：由题意可知，D′在底面上的射影为AE中点G，设AC∩HE＝0，则OG∥AB，∴G与O到平面ABD′的距离相等过G作AB的垂线，垂足为F，连接D′F，过G作D′F的垂线，垂足为M，则GM等于O到面ABD′的距离

例10.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD．又∵EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD∴直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°．即两底角相等并且等于60°，∴△ABD为正三角形．∵F是AD的中点，∴BF⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD．又∵BF⊂平面EBF，∴平面BEF⊥平面PAD．例11.如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，面APD⊥面ABCD，AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC和BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）证明：平面PAD⊥平面PDC；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）连AC，由题可知F在AC上，∵E，F分别是AC，PC的中点∴EF∥PA∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD∴EF∥平面PAD

例12.在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

∴EM∥DC，且EM＝DC∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，又MC⊄平面PAD，DE⊂平面PAD所以MC∥平面PAD（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AC2+BC2＝2+2＝AB2，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；

变式训练

1．若二面角α﹣l﹣β为120°，直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（）A．（0，90°]

B．[30°，60°]C．[60°，90°]

D．[30°，90°]

课堂检测

4．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥β，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，则α∥β．其中真命题是（）A．①和④

B．①和③

C．②和③

D．②和④【解答】解：由线面间相关定理进行判断，对于①，垂直于同一直线的两个平面平行故若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立．对于②两个平面与第三个平面垂直，则两个平面的位置关系可能平行，相交，若α⊥β，β⊥γ，则α∥β不一定成立．对于③，两条直线垂直