非稳态导热分析解法

非稳态导热分析解法第1页，共85页，2023年，2月20日，星期四第三章非稳态导热第2页，共85页，2023年，2月20日，星期四第三章非稳态热传导3.1非稳态导热的基本概念3.2零维问题的分析法－集总参数法3.3典型一维物体非稳态导热的分析解第3页，共85页，2023年，2月20日，星期四１、重点内容：

①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用；③一维非稳态导热问题。

2、掌握内容：

①确定瞬时温度场的方法；②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

第4页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.1非稳态导热的基本概念3.1.1非稳态导热过程及其特点物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f()

例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。第5页，共85页，2023年，2月20日，星期四2非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值．着重讨论瞬态非稳态导热。第6页，共85页，2023年，2月20日，星期四第7页，共85页，2023年，2月20日，星期四非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的；不同位置间导热量的差别用于（或来自）该两个位置间内能随时间的变化，这是区别与稳态导热的一个特点。对非稳态导热一般不能用热阻的方法来作问题的定量分析。第8页，共85页，2023年，2月20日，星期四

3温度分布第9页，共85页，2023年，2月20日，星期四4两个不同的阶段依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为二个阶段。第10页，共85页，2023年，2月20日，星期四

非正规状况阶段(右侧面不参与换热)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大。环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。

第11页，共85页，2023年，2月20日，星期四二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的两个不同阶段，而周期性导热不存在。

正规状况阶段(右侧面参与换热)：

当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。可以用初等函数描述。第12页，共85页，2023年，2月20日，星期四5热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量各阶段热流量的特征：非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；非正规状况阶段：Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。

第13页，共85页，2023年，2月20日，星期四非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要任务。3.1.2导热微分方程解的唯一性定律三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形式统一表示为：温度的拉普拉斯算子第14页，共85页，2023年，2月20日，星期四初始条件的一般形式简单特例f(x,y,z)=t0边界条件：着重讨论第三类边界条件第15页，共85页，2023年，2月20日，星期四解的唯一性定理数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。第16页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.1.3第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚、初温、表面传热系数h、平板导热系数，将其突然置于温度为的流体中冷却。平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

第17页，共85页，2023年，2月20日，星期四第18页，共85页，2023年，2月20日，星期四（1）

这时，由于表面对流换热热阻几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。第19页，共85页，2023年，2月20日，星期四（2）

这时，平板内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。第20页，共85页，2023年，2月20日，星期四这时平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。（3）与

的数值比较接近

由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数。第21页，共85页，2023年，2月20日，星期四1）毕渥数的定义：毕渥数属特征数（准则数）。

2）Bi物理意义：固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。

3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。

4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。毕渥数第22页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.2零维问题的分析法－集总参数法

定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。第23页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.2.1

集总参数法温度场的分析解h,tAφcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。求物体温度随时间变化的依变关系

第24页，共85页，2023年，2月20日，星期四建立数学模型－利用两种方法利用能量守恒热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量φc。根据导热微分方程的一般形式进行简化；第25页，共85页，2023年，2月20日，星期四方法一椐非稳态有内热源的导热微分方程：

∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的一元函数，与坐标x、y、z无关，即第26页，共85页，2023年，2月20日，星期四φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：

物体被冷却，∴φ应为负值适用于本问题的导热微分方程式第27页，共85页，2023年，2月20日，星期四当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知方法二适用于本问题的导热微分方程式物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量

第28页，共85页，2023年，2月20日，星期四初始条件控制方程方程式改写为：第29页，共85页，2023年，2月20日，星期四

积分过余温度比其中的指数：温度呈指数分布傅立叶数第30页，共85页，2023年，2月20日，星期四应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线第31页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.2.2导热量计算式、时间常数与傅立叶数1、导热量计算

瞬态热流量：第32页，共85页，2023年，2月20日，星期四导热体在时间0－内传给流体的总热量：当物体被加热时(t<t)，计算式相同。第33页，共85页，2023年，2月20日，星期四方程中指数的量纲：2、时间常数即与的量纲相同第34页，共85页，2023年，2月20日，星期四上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，也称弛豫时间，用表示。第35页，共85页，2023年，2月20日，星期四如果导热体的热容量（cV）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/h

A)小时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。

第36页，共85页，2023年，2月20日，星期四θ/θ0τ/τs0.386101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τc，则τ=4τc，时工程上认为=4τc时导热体已达到热平衡状态第37页，共85页，2023年，2月20日，星期四3物理意义无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体，各点地温度就越接近周围介质的温度。Fo物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。第38页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.2.3集总参数系统的适用范围

如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？特征长度的取值特征长度第39页，共85页，2023年，2月20日，星期四工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于5%对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球是与物体几何形状有关的无量纲常数第40页，共85页，2023年，2月20日，星期四对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将修正系数M取为1/3，即第41页，共85页，2023年，2月20日，星期四【例】将一个初始温度为20℃、直径为100mm的钢球投入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为h=50W/(m2·K)。已知钢球的密度为7790kg/m3，比热容为470J/(kg·K)，导热系数为43.2W/(m·K)。试求钢球中心温度达到800℃所需要的时间。【解】首先判断能否用集总参数法求解：毕渥数为第42页，共85页，2023年，2月20日，星期四可以用集总参数法求解。

第43页，共85页，2023年，2月20日，星期四第三章非稳态热传导§3.1非稳态导热的基本概念§3.2零维问题的分析法－集总参数法§3.3典型一维物体非稳态导热的分析解第44页，共85页，2023年，2月20日，星期四§3.3典型一维物体非稳态导热的分析解3.3.1三种几何形状物体的温度场分析解3.3.2非稳态导热正规状况阶段分析解的简化3.3.3非稳态导热正规状况阶段工程计算方法3.3.4分析解应用范围的推广第45页，共85页，2023年，2月20日，星期四1、平板厚度2

的无限大平壁，、a为已知常数；=0时温度为t0;突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。第46页，共85页，2023年，2月20日，星期四导热微分方程：初始条件：边界条件：(第三类)第47页，共85页，2023年，2月20日，星期四第48页，共85页，2023年，2月20日，星期四采用分离变量法求解：与Fo数、Bi数及η有关第49页，共85页，2023年，2月20日，星期四可查表求部分Bi数下的μn值μn为超越方程的根：第50页，共85页，2023年，2月20日，星期四第51页，共85页，2023年，2月20日，星期四傅里叶准则Fo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能的对比关系，是给定系统的动态特征量。

第52页，共85页，2023年，2月20日，星期四2、圆柱半径为R的一实心圆柱，、a为已知常数；初始温度为t0;初始瞬间把两侧介质温度降低为t并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数。与Fo数、Bi数及η有关第一类贝塞尔函数查表P572附录14第53页，共85页，2023年，2月20日，星期四3、球半径为R的一实心球，、a为已知常数；初始温度为t0;初始瞬间把两侧介质温度降低为t并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数。与Fo数、Bi数及η有关第54页，共85页，2023年，2月20日，星期四平板、圆柱与球中的无量纲过余温度与Fo数、Bi数及无量纲距离η有关。第55页，共85页，2023年，2月20日，星期四3.3.2非稳态导热正规状况阶段分析解的简化1、非稳态导热正规状况的物理概念和数学含义物理概念：非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决与边界条件的影响，非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段。数学含义：取无穷级数第一项。第56页，共85页，2023年，2月20日，星期四以平板为例进行说明特征值μn是Bi数的函数。在一定的Bi下，特征值μn随n的增加而迅速增长。当Bi＝1时，μn的前4个值：无穷级数第一项后各项随Fo数的增大而迅速减小。数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于1%。第57页，共85页，2023年，2月20日，星期四与时间无关，只取决于边界条件以平板为例进行分析平板中心处过余温度第58页，共85页，2023年，2月20日，星期四2、正规状况三个分析解的简化表达式第59页，共85页，2023年，2月20日，星期四平板从初始时刻到热平衡所传递的热量3、一段时间间隔内所传导的热量计算式非稳态导热所能传递的最大热量若令Q为内所传递热量平均过余温度第60页，共85页，2023年，2月20日，星期四热量计算式第61页，共85页，2023年，2月20日，星期四三种几何形状物体的正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一为：第62页，共85页，2023年，2月20日，星期四当Fo>0.2时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。3.3.3正规热状况的实用计算方法第63页，共85页，2023年，2月20日，星期四常数见表3-31、近似拟合公式式中常数a，b,c,d见P128表3-2对上述公式中的A，B，μ1，J0可用下式拟合教材错误！第64页，共85页，2023年，2月20日，星期四2、图线法诺模图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。第65页，共85页，2023年，2月20日，星期四诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，F0>0.2时，取其级数首项即可第66页，共85页，2023年，2月20日，星期四为平板中心的过余温度

三个变量，需分来画第67页，共85页，2023年，2月20日，星期四P130图3-8第68页，共85页，2023年，2月20日，星期四P129图3-7第69页，共85页，2023年，2月20日，星期四定义无量纲的热量其中Qτ为0时间内传导的热量（内热能的改变量）

为至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量）

第70页，共85页，2023年，2月20日，星期四P130图3-9第71页，共85页，2023年，2月20日，星期四如何利用线算图a）对于由时间求温度的步骤为，计算Bi数、Fo数和x/δ，从图3-7中查找θm/θ0和从图3-8中查找θ/θm，计算出，最后求出温度t。

b)对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图3-8中查找θ/θm,，计算θm/θ0然后从图3-7中查找Fo,再求出时间

。

c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算Q0、Bi数、Fo数之后，从图3-9中Q/Q0查找，再计算出

第72页，共85页，2023年，2月20日，星期四目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。

线算图法评述优点：简洁方便。缺点：准确度有限，误差较大。第73页，共85页，2023年，2月20日，星期四解的应用范围教材中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2第74页，共85页，2023年，2月20日，星期四无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析1.无限长圆柱trt∞t∞t0hh0式中r0为无限长圆柱体的半径

类似有：和P573附录16第75页，共85页，2023年，2月20日，星期四2.球体tt∞αrt00球体处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图示于P575附录17之中。这里要注意的是特征尺寸R为球体的半径，r为球体的径向方向。

第76页，共85页，2023年，2月20日，星期四对分析解的讨论1.Fo准则对温度分布的影响Fo0.2时，进入正规状况阶段，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等。θm/θ0随F0增大而减小。Fo<0.2时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温度变化速率不同第77页，共85页，2023年，2月20日，星期四2.Bi准则对温度分布的影响Bi（Bi=h/）表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间