量子力学辅导

量子力学辅导第1页，共97页，2023年，2月20日，星期四教学目的：1、系统了解量子力学I的基本内容2、系统掌握量子力学结题的基本思路和方法3、为进一步学习量子力学II和考研打下坚实的基础第2页，共97页，2023年，2月20日，星期四第一部分Schrödinger方程一维定态问题一、学习要点(2)是单值的；(3)与是连续的。1.在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数表示.

表示时刻粒子处于空间处体积元内的几率，即代表几率密度。根据波函数的物理意义,波函数应具有如下性质：(1)在全空间找到粒子的几率取有限值,即是平方可积的；òtyd|),(|2trr第3页，共97页，2023年，2月20日，星期四或2.波函数满足方程其中是粒子的哈密顿算符。它由动能算符与势能算符组成。如果势能不含t，则第4页，共97页，2023年，2月20日，星期四波函数满足方程或上述方程称为能量的本征值方程。其定态解为包含时间在内的定态波函数为第5页，共97页，2023年，2月20日，星期四含时Schrödinger方程的一般解为其中为任意常数。如果已知初条件则常数不再是任意的，它由唯一地确定：

代表粒子的能量取值为的几率。第6页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.一维束缚定态有如下性质：

(1)能量是非简并的；

(2)波函数是实函数；

(3)如果势函数满足对称条件则波函数有确定的宇称,即为奇(偶)函数4.一维无限深势阱

中的定态能量和波函数为第7页，共97页，2023年，2月20日，星期四如果坐标原点取在势阱的中心，则定态波函数为

具有确定的宇称。

具有确定的宇称。5.势能为的一维谐振子定态能量和波函数为第8页，共97页，2023年，2月20日，星期四第9页，共97页，2023年，2月20日，星期四6.在δ函数势场中，定态波函数在点连续，但在点不连续：7.波函数为的一维运动粒子的动量几率分布函数为几率密度为﹟第10页，共97页，2023年，2月20日，星期四二、例题▲量子力学中常用的二阶常系数齐次线性微分方程的解对方程其特征方程为﹟第11页，共97页，2023年，2月20日，星期四1.2质量为的粒子处于一维势场中，求定态能量与波函数。-a0a解：涉及的问题分三个区I区阱外波函数为0II区-a<x<0III区0<x<aIIIIIII第12页，共97页，2023年，2月20日，星期四其特征方程解为两个共轭复根考虑到不涉及平面波，故波函数可写为形式因为势函数满足对称性，故波函数具有确定的宇称。但在原点处波函数必为0，从而知道波函数是奇函数故可令利用边界条件得从而有归一化的波函数是﹟第13页，共97页，2023年，2月20日，星期四1.3求在半壁无限深方势阱中，求束缚态的条件。0aV0提示：（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解超越方程组。本题中方程组是（1）分区求解第14页，共97页，2023年，2月20日，星期四m1.4质量为的粒子在一维势场中运动，其中与均为正实数。(1)试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；(2)给出粒子处于区域中的几率.它是还是，为什么？0xV0提示：（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件（1）分区求解（3）δ函数的作用第15页，共97页，2023年，2月20日，星期四1.6谐振子势中心附加函数势，在原定态解中，哪些仍是解，哪些不再是解，需要重新求？提示：（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点（2）了解δ函数的作用，会使用跃变条件V(x)x0第16页，共97页，2023年，2月20日，星期四1.10质量为的粒子在势场中作一维运动，两个能量本征函数分别为

均为实常数。试确定参数的取值，并求这两个态的能量之差。提示：（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。第17页，共97页，2023年，2月20日，星期四关键：等效方法将长度变量变为角度变量会使用相应δ函数的跃变条件1.11一质量为的粒子在一圆周（周长为）上运动。如果还存在函数势

请求出系统的所有能级和相应的归一化波函数。1.14粒子在二维势场中运动，其中为粒子质量，求能量的本征值和本征函数。关键：两维问题，消去相互作用，用一维方法求解第18页，共97页，2023年，2月20日，星期四求解粒子能量本征值和本征函数；1.17质量为的粒子被约束在半径为的圆周上运动。

(1)设立路障，进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，m提示：两个思路（1）写出无障时任意时刻的波函数利用初条件（2）将有障波函数向无障波函数展开(2)设粒子处于情况(1)的基态，求突然撤去路障后粒子仍然处于最低能量态的几率。0(2π)

φ0

2π(0)φ第19页，共97页，2023年，2月20日，星期四1.18质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，某时刻弹性系数突然变为,

即势场变为。求此时刻粒子处于新势场的基态的几率。m1.22一个质量为的粒子处于的无限深方势阱中，时，归一化波函数为求(1)在后来某一时刻的波函数；(2)在与时体系的平均能量；(3)在时粒子处于内的几率。关键问题：所给波函数是体系的定态波函数吗？第20页，共97页，2023年，2月20日，星期四1.25已知一维运动的粒子在态中坐标和动量的平均值分别为和，求在态中和的平均值。1.31设一维粒子由处以平面波入射，在原点处受到势能的作用。(1)写出波函数的一般表达式；(2)确定粒子在原点处满足的边界条件；(3)求出该粒子的透射系数和反射系数；(4)分别指出与时的量子力学效应。第21页，共97页，2023年，2月20日，星期四补充例题：提示：这是个常规题，需要求出各区的波函数及反射系数，利用条件求解。1.33粒子被一维势垒散射。当粒子的能量时，有一半粒子被反射回去，求粒子的质量所满足的方程。0aV0x第22页，共97页，2023年，2月20日，星期四1、证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。

证明：令分别对应能量，；结论与势能的具体形式无关，应该从S.eq出发。并对空间积分第23页，共97页，2023年，2月20日，星期四

因为束缚态边界条件是由于，则有即正交。﹟第24页，共97页，2023年，2月20日，星期四2、在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为零（s态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢原子的能量。

解：三维有心力场系统波函数写成

其中满足方程

分析：求能量主要是求主量子数n，可通过与节点的关系来求。节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理：对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点，第n个激发态有n

个节点。第25页，共97页，2023年，2月20日，星期四对于本问题，，氢原子主量子数为氢原子能量为相当于范围内的一维运动,其行为可用径向量子数描述。从波函数的形式看，角度方向零点由提供，径向零点由提供。根据节点定理，对于确定的，径向基态无节点，第个径向激发态有个节点。﹟第26页，共97页，2023年，2月20日，星期四3、一质量为m的粒子，处在势能为的一维势场中运动，求粒子的本征能量和本征波函数。，为归一化常数）本征函数为其中

中，粒子的能量（提示：已知在势场另外，如果势能变为变化吗？本征函数呢？，本征能量发生第27页，共97页，2023年，2月20日，星期四第二部分力学量算符一、学习要点1.在经典力学中的任一力学量是坐标和动量的函数，它对应量子力学中的厄米算符。的本征值为力学量的可测值。如果粒子的波函数是力学量算符的本征函数,

本征值为，则测量该粒子的力学量时，得如果粒子的波函数不是力学量算符的本征函数，则测量该粒子的力学量时，得到的是平均值：第28页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.算符的厄米共轭算符的定义是其中与是任意波函数。3.算符的厄米算符的定义是其中与是任意波函数。比较以上两式可以看出，如果满足条件：则是厄米算符。厄米算符具有如下性质：(1)本征值是实数；(2)本征函数具有正交性。第29页，共97页，2023年，2月20日，星期四设力学量算符的本征函数为，相应的本征值为：如果，则是正交的：如果，则不一定是正交的。设本征值相同的个本征函数相互不正交，可将它们作线性组合，一定可以得到个新的相互正交并且归一的本征函数。因此厄米算符的本征函数一定可以使之满足正交归一条件第30页，共97页，2023年，2月20日，星期四(3)在一定条件下，厄米算符本征函数具有完备性厄米算符的本征函数具有完备性是指任意波函数可以通过的所有本征函数全体集合表示为其中如果的个数为有限的，则是完备的。如果，则在本征值无上限的条件下是完备的。(4)厄米算符与存在共同本征函数完备系的充分必要条件是与对易。第31页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.量子力学中的基本对易关系是5.算符函数的定义是其中第32页，共97页，2023年，2月20日，星期四6.算符与的不确定关系为其中不确定关系的一个重要例子是第33页，共97页，2023年，2月20日，星期四

力学量为守恒量的条件是不含，且与哈密顿对易。7.力学量平均值随时间的变化率为8.力学量完全集是一组线性无关的相互对易的力学量，它们的共同本征函数全体集合可以用来表示粒子的运动态。在力学量完全集中，力学量的个数为粒子运动的维数。例如对于在三维中心力场中运动的粒子，力学量完全集可以是或或。第34页，共97页，2023年，2月20日，星期四9.位力定理则在此势场中束缚定态上的动能与势能的平均值之间满足如下关系：10.F-H(Feynman-Hellmann)定理设粒子属于能量本征值的本征态为，即如势场为的次齐次函数第35页，共97页，2023年，2月20日，星期四第一式对求导得上式左乘，并利用第二式和归一化条件，得到对束缚态，有此式即为Feynman-Hellmann定理。比较重要！其共轭方程为又设是从而是的参数,第36页，共97页，2023年，2月20日，星期四二、例题2.5设算符，又设为的本征矢,相应本征值为.求证和也是的本征矢，并求出相应的本征值。2.2动量在径向方向的分量定义为求出在球坐标中的表达式注意三问题：1.求算符的表达式勿忘作用任意波函数

2.不论在何种坐标中，是不变的

3.拉普拉斯算符在球坐标中的表示第37页，共97页，2023年，2月20日，星期四第38页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.6粒子作一维运动，,定态波函数为(2)利用(1)推导求和公式(3)证明学会利用公式(1)证明并求系数思路：如何第39页，共97页，2023年，2月20日，星期四同理所以又因为利用对易关系即可证出。证明：由于第40页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.8已知是和的共同本征函数，本征值分别为和，令。(1)证明仍是和的共同本征函数，求出它们的本征值；关键是要理解下式是如何来的？(2)推导公式容易证明是算符属于本征值的本征函数,也是算符征值属于本的本征函数.但又知的本征值是非简并的,故这两个本征函数最多相差一常数。而第41页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.13设粒子处于状态,求轨道角动量分量及分量平均值与，以及与。关键是如何求常数考虑用球谐函数的正交归一性和角动量算符的对易关系将式两边取厄米共轭，有以上两式相乘并对全空间积分，有利用容易得到第42页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.19一维谐振子处于定态，计算，检验测不准关系。2.21已知束缚态波函数为，求动量与动能的几率分布函数的表达式。对一维谐振子基态，波函数算出动量与动能的几率分布函数，并算出动能平均值。注意适当时候会使用位力定理和F-H定理提示：第43页，共97页，2023年，2月20日，星期四已知Fourier变换其意义是：波函数按照动量算符的本征函数来展开展开系数是则动量的几率分布函数可表示为而由于的动能T相同，且若动能的几率分布函数用F(T)表示,则有而则由此给出动能平均值第44页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.23质量为的粒子在外场的作用下作一维运动，已知当其处于束缚态时，动能平均值为，并已知是实函数。试求当粒子处于态时动量平均值与动能平均值。另外，如何理解：束缚态中动量的平均值为零？思路比较明确，利用已知条件，并会证明束缚态中动量的平均值为零。第45页，共97页，2023年，2月20日，星期四补充题一电子在带电量为+Q

的真空点电荷势场中运动，设电子处于定态，利用位力(Virial)定理证明势能V与动能T存在关系

证明：题目实已给出中心力场势的形式利用位力定理因为所以代入位力定理，有即第46页，共97页，2023年，2月20日，星期四第三部分表象理论一、学习要点1.动量表象波函数的绝对值平方为动量几率密度。表示时刻粒子的三个动量分量在的几率。t动量表象波函数与坐标表象波函数之间的关系是第47页，共97页，2023年，2月20日，星期四对一维运动，以上两式变为3.满足方程应该学会把S方程直接从坐标表象变换到动量表象第48页，共97页，2023年，2月20日，星期四以一维运动为例，坐标表象中的S.Eq为方程两边取动量表象，上式成为按照约定，上式变为得证。第49页，共97页，2023年，2月20日，星期四对一维运动，以上两式变为如果势能不含t，则E

为定态能量，满足定态方程第50页，共97页，2023年，2月20日，星期四如果势能可以表示成的正幂次级数则定态方程为在本征值为分立的力学量表象中，波函数表示为一列矩阵其中第51页，共97页，2023年，2月20日，星期四

是的第个本征函数在表象中，力学量表示为方矩阵波函数与算符由表象到表象变换的公式为第52页，共97页，2023年，2月20日，星期四将它们依次排列起来得到注意：变换矩阵S的定义与教材中略有不同其中矩阵可以通过在表象求出的所有本征态矢第53页，共97页，2023年，2月20日，星期四则从原表象到新表象的变换矩阵元可表示为在教材中，原表象基矢用表示新表象基矢用表示意义：原表象第k个基矢在新表象第α个基矢中的分量。而在本参考书中，表示新表象的第1个基矢在原表象的第2个基矢上的分量。建议使用本教参中的定义。第54页，共97页，2023年，2月20日，星期四表象变换中基矢之间变换矩阵的问题,可简单证明如下：其中表示从Q表象（基矢为）到Q’表象（基矢为）的变换矩阵。

不失一般性，设F的本征态在Q表象的表示为，在Q’表象的表示为，则有第55页，共97页，2023年，2月20日，星期四或根据表示。显然是幺正矩阵S的行列矩阵元。是的本征态。由上式可知，的第个本征态在Q表象内用第56页，共97页，2023年，2月20日，星期四即有﹟因而在Q表象内解出的的第个本征矢正好是S矩阵的第列元素。故把在Q表象内解得的本征矢按照本征值的顺序并列，就得幺正变换矩阵第57页，共97页，2023年，2月20日，星期四二、例题3.1在表象求解势阱中的束缚态能量和波函数()。提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象不过对δ势采用动量表象好一些。解：利用在动量表象中的定态方程其中对应束缚态代入上式积分，得第58页，共97页，2023年，2月20日，星期四方程右边与无关，两边可对求导，有其解为为求能量，将上式代入前式中的积分，有由此得定态能量代入波函数的形式解内，并将其归一化，有不如坐标表象中的解简单第59页，共97页，2023年，2月20日，星期四试计算，验证测不准关系。3.2已知在势阱中的定态归一化波函数()为提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象要注意坐标算符在动量表象中的表示第60页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.4质量为的粒子在均匀力场中运动，运动范围限制在。试给出动量表象中的定态方程并求出定态波函数。3.5质量为的粒子在均匀力场中运动，为其在动量空间的几率密度，求与的关系。类比教材中在坐标表象下研究定域的几率守恒方法来做提示：将力场变为势场第61页，共97页，2023年，2月20日，星期四设时体系态矢为3.8有一量子体系，其态矢空间三维，选择基矢。体系的哈密顿及另两个力学量与为(1)在时测量体系能量可得哪些结果？相应几率多大？计算及。(2)如在时测量，可能值及相应几率多大？写出测量后体系的态矢量。(3)计算任意时刻与的平均值与根据测量结果写出态矢量第62页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.9厄米算符与满足且。求(1)在表象中算符与的矩阵表示；

(2)在表象中算符的本征值与本征态矢；

(3)求由表象到表象的幺正变换矩阵，并把矩阵对角化。解：(1)需要A表象的基矢是什么，即求A算符的本征基矢令本征值为α，本征态为ψ，则有显然由于在A表象中，A算符的矩阵表示为对角矩阵，对角元就是本征值，从而有第63页，共97页，2023年，2月20日，星期四而由于A，B算符不对易，故无共同的本征态，在A表象下B算符不是对角矩阵，令为代入可得从而有由于B是厄米算符，故有即所以从而有代入有其中φ为任意实数。取则这样在A表象下(2)A表象下B算符的本征值及本征态矢容易求出第64页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.10在的表象中，基矢为求与的矩阵表示。令本征值为β，本征矢为即有解得(3)求A表象到B表象的变换矩阵：将原表象A下求得的新表象B的本征态矢按照本征值的次序排列就是变换矩阵此矩阵可以将B算符对角化，即第65页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.12一个量子体系处于角动量的共同本征态上，总角动量平方值为。已知测量得值为0的几率是1/2，求测量得值为的几率。波函数用球函数展开3.13粒子处于态，其中为正实数，C为归一化常数。求(1)的取值；

(2)的平均值；(3)的几率；(4)的可能取值及相应的几率。角度部分波函数用Lx的本征函数展开需要掌握几个球函数的表达式第66页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.18在由正交基矢构成的三维态矢空间中，哈密顿算符与力学量的矩阵为(1)证明为守恒量；(2)求出与的共同本征态矢组。补充题：提示：注意利用曾书chap.5中的定理：非简并本征态必为某一守恒量的本征态。第67页，共97页，2023年，2月20日，星期四1、质量为的粒子在势场中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。

解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为（1）所以（2）将（2）代入（1）得已知以左乘上式得第68页，共97页，2023年，2月20日，星期四

其中定义上式即为表象中的能量本征方程。其中代入上式得（3）﹟第69页，共97页，2023年，2月20日，星期四证明：（1）2、如是哈密顿算符属于能量的本征函数，（），证明（1）（2）进一步证明i为简并指标第70页，共97页，2023年，2月20日，星期四（2）利用则有但由（1）得即代入前式得﹟第71页，共97页，2023年，2月20日，星期四第四部分中心力场问题一、学习要点1.在中心力场中，定态波函数可以表示为其中满足方程

满足方程与边界条件第72页，共97页，2023年，2月20日，星期四2.带有电荷的粒子在电磁场中的哈密顿为波函数为的粒子在电磁场中的几率流密度为或这里是粒子的速度算符。其中为正则动量，与分别是电磁场的矢势与标势。第73页，共97页，2023年，2月20日，星期四3.在三维无限深方势阱中，定态能量和定态波函数为第74页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.在三维各向异性谐振子势场中，定态能量和定态波函数为第75页，共97页，2023年，2月20日，星期四5.在类氢离子势场中，定态能量和定态波函数为其中是Bohr半径，分别是主量子数、轨道量子数和磁量子数，且另：若径向量子数用表示，则有第76页，共97页，2023年，2月20日，星期四二、例题提示：这是一个球方势阱问题，且l=0，利用到径向波函数u(r)所满足的方程。另外，有限深势阱问题一般要涉及求解超越方程！4.1质量为的粒子在三维方势阱中运动，求存在s波束缚态的条件。解：s波束缚态必定是l=0的基态。设波函数为则u(r)所满足的方程为边条件是作为束缚态，能量范围应该令第77页，共97页，2023年，2月20日，星期四则分区写出的u(r)所满足的方程为容易求出满足边条件的解为由波函数连续得由波函数导数连续得上下两式相比，有令上式变为另外由上页的定义可得这是我们知道的超越方程组，其存在束缚态的条件是第78页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.2粒子处于三维球壳势阱中，求存在束缚态的条件。提示：这仍是一个球方势阱问题思路同上题。另外，要考虑到利用δ势中波函数导数的跃变条件。解：则u(r)所满足的方程为其中满足条件的解是如何求得？利用边界条件（包含跃变条件）得第79页，共97页，2023年，2月20日，星期四两式相比化简，并令x=2ka得其解可通过求超越方程得到0x0xy将交点x0代入x=2ka求得k并代入求得本征能量何时有解？显然唯有此时容易解出存在束缚态的条件第80页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.4设粒子的定态波函数，其中与是常数。已知。求定态能量和势能。分析：这显然是一个中心力场问题。给出的是定态波函数，去求势函数，因而是一个反问题。其基本思路是，写出径向定态方程，代入定态波函数，利用所给条件，求出定态能量和势能函数。思考：如何处理？第81页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.7质量为电荷为的粒子在方向互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，求定态能量与波函数。分析：这是一个粒子在电磁场中的运动问题。其中有电场，也有磁场，故H取其完全形式。解：设电场方向沿y轴，强度为ε；磁场方向沿z轴，强度为B。取不对称规范，即其中则这样，电磁场的矢势和标势分别为相应的电场和磁场分别为哈密顿的完全形式是第82页，共97页，2023年，2月20日，星期四显然同对易，三量存在共同本征态。而由于是守恒量，可以认为粒子在x,z方向的运动是自由粒子运动—平面波函数，故它们的共同本征态可以写为代入哈密顿算符的本征值方程可以得到所满足的方程第83页，共97页，2023年，2月20日，星期四这里可以作为常数处理。令上式可变为进一步令上式就简化为这是我们熟知的形式---一维谐振子的定态方程。其解为将上述变量进行相应代换，就得到粒子的定态能量和波函数。第84页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.8(1)已知带有电荷的粒子在磁场与势场中运动。求带电粒子速度分量算符的对易关系的表达式。

(2)质量带电荷的粒子在磁场中的哈密顿为

请问在什么情况下它可以写成的形式？

(3)设，略去第二式中的项，求出与相应的Schördinger方程的解。对第三问进行分析：第85页，共97页，2023年，2月20日，星期四设方向为z方向，则S-方程为因势函数中含有时间，无法进行分离变量。

可用动量表象试一下。方程变为

为有利于求解，方程可化为

积分后得这就是动量表象中S-方程的解。第86页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.9处于基态的类氢原子经衰变，核电荷数突然由变为，求原子处于态的几率。已知类氢原子定态波函数为4.10氢原子处于基态。假定库仑作用在时突然消失，电子离开原子像自由电子那样运动。试求时测量电子动量大小在内的几率。提示：可以认为动量方向是沿z方向，从而有问题：电子离开原子后，动量分布还会发生变化吗？第87页，共97页，2023年，2月20日，星期四4.13在势场中粒子处在定态,证明粒子动能的平均值为；如果是的次齐次函数，证明，并利用此式计算氢原子基态的。4.12一粒子被束缚在半径为的钢球盒内。求处于基态的