微积分(第五版)教案8

《微积分》 教案编号课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题：第四章中值定理与导数的应用中值定理教学目的要求：掌握中值定理的内容和应用教学重点、难点：拉格朗日中值定理，各中值定理之间的关系教学方式、手段、媒介：教学过程：导入（10）新授内容（75）一、罗尔定理罗尔定理若函数f(x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导；f(a)f(b)则在a,b内至少存在一点f0．罗尔定理应用举例二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理若函数f(x)满足在闭区间a,b上连续；(2)在开区间a,b则在a,b内至少存在一点，使得ffaf'a (1)成立。几点说明：显然，公式(1)对于ba也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．x为区间a,bxx（x0或x0)，则公式(1)可写成

f(xf(x)fxxx (2)(3)fxy，则yf(xxf(x)，于是(2)式又可写成fxxx (3)公式(3)又称为有限增量公式。定理若函数fx在区间I上的导数恒为零，则fx在区间I上是一个常数．拉格朗日中值定理应用举例举例三、柯西中值定理f(x)F(x满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导；(3)xa,bFx0则在a,b内至少存在一点，使得f(b)f(a) fF(b)F(a)

F．柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广．柯西中值定理应用举例总结(5分钟)讨论、思考题、作业：教学总结：《微积分》 教案编号课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题：第四章中值定理与导数的应用教学目的要求：掌握洛必达法则并能利用洛必达法则计算函数极限教学重点、难点：洛必达法则的内容和使用原则和方法教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体辅助教学加板书教学过程：复习（10分钟）函数极限计算的各种方法讲授新内容（75一、洛必达法则定理1 设xafxFx都趋于零；在点afxFxFx0；fxxaFxa则fx fxlimFxlimFx．xa xa定理2 设xfxFx都趋于零；xNfxFxFx0；fxxlimFxx则fx fxlimFxlimFx．x x0 0 除了, 型未定式外，还有0，()，00,0型的未定式．这些未定式可0 0 转化为或型的未定式来计算．0 讲解相关例题注意1：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好．注意2：洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定理的条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．总结（5分钟）讨论、思考题、作业：思考题：洛必达法则一定比其他方法有效吗?教学总结《微积分》 教案编号课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题：第四章中值定理与导数的应用4.44.5教学目的要求：掌握如何利用导数判断函数单调性，熟悉函数极值与最值教学重点、难点：函数的单调性判定、函数极值存在的必要条件及判别极值的两个充分条件、及极值与最值的求法教学方式、手段、媒介：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）一、函数单调性的判定法定理1设函数fx在a,b上连续，在a,b上可导．如果在a,bfx0yf(x在a,b上单调增加；如果在a,bfx0yf(x在a,b上单调减少．讲解例题如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程fx0的根及导数不存在的点来划分函数fx的定义区间，就能保证fx在各个部分区间内保持固定的符号，因而函数fx在每个部分区间上单调．讲解例题一般地如果fx在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正（或负）时那么fx在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的．二、复习引入上节中的例子看到，在函数单调区间分界点的左右两侧临近，函数的单调性是不一样的，具有这类性质的点，在应用上有着重要的意义，值得我们对此做一般性的讨论。函数极值的定义定义设函数f(x)在点x0

的某邻域U(x0

)内有定义，如果对于去心邻域U(x0

)内的任x,若f(x)f(x0f(x)f(x0

x0x0

f(x0f(x0

)为函数的极大值；)为函数的极小值。极大值点和极小值点统称为极值点。由本章第一节费马引理可知，如果函数在x0

f(x)x0

处取得极值，那么f(x0

)0。这就是可导函数取得极值的必要条件。此结论叙述成如下定理1（必要条件）f(x)x0

x0

处取得极值，那么f(x0

)0提出疑问：除驻点外，还有没有其他的点是可能的极值点？在可能的极值点中究竟哪些点是极值点？是极值点时，是极大值点还是极小值点呢？研究极值的作用是什么？画图说明。下面研究函数极值点的两个充分条件，并在此基础上讨论最值问题。三、极值第一充分条件第一充分条件）f(x)x0

x0

的某去心邻域U(x0

,)内xx时，0f(x)f(x)x0f(x)f(x)x0

处取极大值；处取极小值；f(xf(x)x0

处没有极值。3除驻点是函数可能的极值点外，导数不存在的点也可能是函数的极值点例7 求函数f(x)(x1x2的极值。3四、极值第二充分条件第二充分条件f(x)x0

处具有二阶导数且f(x0

)0，f(x0

)0，那么那么f(x0f(x)x处取极大值；0 0f(x0f(x)x处取极小值；0 0注1本定理可用函数极限的局部保号性加以证明。2f(x)0时，本定理失效。可利用第一充分条件判定。另外，极值判别法0的两个条件都是充分的，当这些充分条件不满足时，不等于极值不存在。现总结出求函数极值点的步骤：求出函数的一阶导数，找出驻点和导数不存在的点；判断上述个点是否为极值点方法一：根据点左右两边的导数值判断。方法二：根据该点的二阶导数值判断。讨论、思考题、作业：教学总结：《微积分》教案编号课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题：第四章中值定理与导数的应用函数的凹向与拐点教学目的要求：掌握如何利用导数判断函数凹向与拐点教学重点、难点：函数的凹向判定、拐点的求法教学方式、手段、媒介：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等曲线的凹向与拐点介绍函数上凹与下凹的定义定理设fx在a,b上连续在a,b内具有一阶和二阶导数那么若在a,bfx0fx在a,b上的图形是上凹的；(2)若在a,bfx0fx在a,b上的图形是下凹的．yfx上凹与下凹的分界点称为这曲线的拐点yfx的凹向区间和拐点的步骤：(1)yfx的定义域；(2)fx；(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断确定出曲线凹向区间和拐点．讨论、思考题、作业：教学总结：《微积分》 教案编号：课时安排： 2 学时 教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它题目（教学章、节或主题：第四章中值定理与导数的应用函数图形的作法教学目的要求：掌握函数渐近线计算与函数图像的绘制教学重点、难点：求函数渐近线，绘制函数图像教学方式、手段、媒介：教学过程：复习（5分钟）新授课内容（75一、渐近线及例题1.水平渐近线 2.铅垂渐近线 3.斜渐近二、绘制函数图像及例题绘制函数图像的步骤：确认函数的定义域，奇偶性求函数的单调区间，极值点判断函数的凹向区间，求拐点求函数的渐近线总结（5）讨论、思考题、作业：教学总结：微积分 教案课时安排： 2 学时

编号：教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它题目（教学章、节或主题：§4.8变化率及相对变化率在经济中的应用- 边际分析与弹性分析介教学目的要求：了解边际和弹性的概念，熟悉常见的几个边际函数和弹性函数。教学重点、难点：边际和弹性的计算和经济解释教学方式、手段、媒介：教学过程：一、边际概念平均变化率为y；在xx

处的瞬时变化率为lim

xf(x0

0x)f(x)0

f(x)，x0 x 0fxxx0

处的边际函数值.设在点xx0

xx0

改变一个单位时y的增量y的准确值为yxx0，当x改变量很x1小时，则由微分的应用知道，y的近似值为0yxx0x1

dyf(x)x

0xx0x1

f(x)0当x1xx0

减小一个单位.fxxx0

xyfx0

)个单位．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．定义.yfxxfxfxfxx处的0值f(x0

)为边际函数值．即当xx0

xyf(x0

)个单位．二、经济学中常见的边际函数1)边际成本总成本函数C(Q)的导数C(Q)LimC

LimC(QQ)C(Q)Q0Q Q0 Q2)边际平均成本：平均成本C(Q)的导数C(Q) QC(Q)C(Q)C(Q) 称为平均边际成本 Q Q2讲解例题边际收益R(Q)R(Q)Lim

Lim

R(QQ)R(Q)称为边际收益函数.Q0Q Q0 Q设P为价格，PP(Q)，因此R(Q)PQQP(Q)，R(Q)P(Q)QP(Q)讲解例题定义：总利润函数L(Q)的导数L(Q)Lim

Lim

L(QQ)L(Q)称为边际利润.Q0Q Q0 QQ单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．L(Q)R(Q)C(Q)之差．即L(QR(QC(Q),L(QR(QC(Q)显然,边际利润可由边际收入与边际成本决定,C(Q)R(QC(Q) CQ)

0L(Q)00讲解例题定义：若Qf(P)是需求函数，则需求量 Q对价格的导数dP fP)称为边际需求函数.dQ显然，f(P) 1 f1Q)讲解例题二、弹性概念弹性的定义yfx)x0

x0

0y

fxxfx)

x

y y0

x

x两点间0 y f(x0 0 0

x xx 0 00 0的平均相对变化率xx0 0

x两点间的弹性．当x0时称y y0的极限为函数yf(x)在x

处的相对变化率，也就是相对导xx 00yfxxx0

处的弹性．记作 EyEx

或xx0

E f(x)Ex 0即Ey

y0

y

y0 fx) x0Ex x0x x00

0 f(x)x0 0 0弹性函数的定义一般的，若函数yfx)(ab)可导，且fx)Eylim

y/

lim

yx

y

x为函数yfx)(a.Ex x0x/x x0x y y2函数弹性的图解方案yfm

)tanmfx)

tan

tan m

tan m,x ,

Ex tan

Ex tan如果我们知道了一条函数yf(x)所示的曲线，则在曲线上任一点A处对应的弹性，通过A作曲线AB的切线和线段OA，就可得夹角

和

Ey.m Ex四、经济学中常见的弹性函数需求弹性需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为E limQ

dQP.P p0P Q dP Q注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向需求的价格弹性算出来总是负值了讨论方便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常用符号η 表示。需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系10，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入；此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；当需求价格弹性等