辽宁省大连市2023届高三下学期适应性测试数学试题及参考答案

年大连市高三适应性测试数学本试卷共6页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄波，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.第I卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，满足，则（）A.B.C.D.2.已知复数为虚数单位，则的共轭复数为（）A.B.C.D.3.设命题，则为（）A.B.C.D.4.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A.B.C.D.5.某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如表所示：宣传费用（万元）2345销售额（万元）24304250根据上表可得回归方程，则宣传费用为6万元时，销售额最接近（）A.55万元B.60万元C.62万元D.65万元6.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.7.已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为2，则（）A.12B.24C.42D.1268.已知向量与的夹角为，且，向量满，且，记向量在向量与方向上的投影数量分别为.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（）A.①不成立，②成立B.①成立，②不成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立二､多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某城市有甲､乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”.则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件B.与是互斥事件，且是对立事件C.与不是互斥事件D.与是互斥事件10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列结论正确的是（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相切C.设，则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条11.已知正方体的棱长为为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为B.若到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线C.若直线与所成的角为，则点的轨迹为双曲线D.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为椭圆12.甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（）A.若且，则B.若且，则C.若，则甲比赛胜利D.若，则甲比赛胜利第II卷三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知随机变量，且，则__________.14.已知，且，则的最小值为__________.15.定义：对于各项均为整数的数列，如果均为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：①数列的前项和；②数列③数列.具有“性质”的为__________；具有“变换性质”的为__________.（第一空2分，第二空3分）16.已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为__________.点是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为是函数一个零点.（1）求；（2）在中，角的对边分别为，求面积的最大值.18.（本小题满分12分）某大学有两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲､乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假设甲､乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.（1）分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率；（2）记为甲､乙在一天中就餐餐厅的个数，求的分布列和数学期望；（3）假设表示事件“餐厅推出优惠套餐”，表示事件“某学生去餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：.19.（本小题满分12分）在①②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答.已知等差数列的前项和为，__________，数列是公比为2的等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）数列的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，求数列的前项和.20.（本小题满分12分）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点且，点在直线上，为的中点，且直线平面.（1）设，试用基底表示向量；（2）证明：四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明：对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.21.（本小题满分12分）已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.（1）求的轨迹的方程；（2）若过的直线分别交轨迹与和，且直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围.22.（本小题满分12分）（1）非零实数，满足：.证明不等式：.（2）证明不等式：.2023年大连市高三适应性测试参考答案与评分标准数学参考答案一､单项选择题：1.（B）2.（B）3.（C）4.（D）解：由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点，设，则，所以，解得，所以点的坐标为，故选：.5.（B）解：，由回归方程过点，故，得，即.当时，，所以最接近的是60，故选：B.6.（C）解：如图，连接.因为为中点，且，所以四边形为矩形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角.设圆的半径为1，则.因为，所以.在直角中，，得.所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.7.（D）解：方法一令，有，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选D方法二：抽象出特殊函数，快速求得答案，故选D.8.（A）解：由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；设，因为，由向量共线定理可知，点在线段上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点满足，又，，所以，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.故选：A.二､多项选择题：9.（BC）解：事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，包含为订甲报纸，订乙报纸，订甲乙两种报纸，事件为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”.A.与不互斥不对立事件，所以与是互斥事件，不正确；.与是互斥事件，且是对立事件，正确；与不互斥不对立事件，所以与不是互斥事件正确；与既不互斥也不对立事件.所以与是互斥事件不正确；10.（ABC）解析：对于选项A，因为，所以，则，故A正确；对于选项B，设为的中点，设点在1上的射影为，点在1上的射影为，则由梯形中位线的性质可得，故B正确；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立消去并整理，得，令，则，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选.11.（BC）解：对于，所以，则的中点到中点的距离为，中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，其面积为，故A错误；对于平面即为到直线的距离，在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，所以点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故B正确；对于，如图，建立空间直角坐标系，设，所以，化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故C正确；对于与平面所成的角为，所以，则，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故D错误.故选：BC.12.（ABD）详解：对于A，若且，则，即，所以，由可得，即A正确；对于，当时根据中的结论可知，所以乙方实力先为0，即，化简可得，即两边同时取对数可得，即，所以比赛持续时长为，所以B正确；对于，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，设甲方实力为0时所用时间为，乙方实力为0时所用时间为，即可得同理可得即，解得又因为都为正实数，所以可得，甲方获得比赛胜利；所以可得错误，D正确.故答案为：.三､填空题：13.14.15.①；②解：对于①，当时，，为完全平方数数列具有“性质”；对于②，数列，具有“变换性质”，数列为，具有“性质”，数列具有“变换性质”；对于③，都只有与3的和才能构成完全平方数，，不具有“变换性质”.故答案为：①；②.16.解：（1）根据，可知，即为直角三角形.设，依题意有，解得，根据勾股定理得，解得，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为.（2）当时，双曲线，设直线，联立方程组，化简得，因为为定值，所以法一：，解得法二：，解得四､解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）因为，所以，因为，且，所以，（2）因为，所以，因为，所以，由余弦定理得，因为，所以（当且仅当时，有最大值4），因为，所以面积的最大值为.18.（本小题满分12分）解：（1）设事件为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择餐厅就餐”，事件为“乙员工午餐和晩餐都选择餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晩餐都选择餐厅就餐的天数为40，所以.（2）由题意知，甲员工午餐和晩餐都选择餐厅就餐的概率为0.1，乙员工午餐和晩餐都选择餐厅就餐的概率为0.2，记为甲､乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则的所有可能取值为，所以，所以的分布列为：120.10.9所以的数学期望.（3）由题知，即，即，即，即，即，即.19.（本小题满分12分）解：（1）设等差数列的公差为，选择①，可知，所以.又，所以数列的公差，所以；选择②，可知，则所以；选择③，可知，则所以.又因为，所以数列的通项公式为.（2）由题意20.（本小题满分12分）（1），而，，所以.（2）不妨设是四面体最长的棱，则在中，，，即，故至少有一个大于不妨设，构成三角形.（3）设，由（1）知.又，有，，设，又因为平面，所以存在实数使得：，，消元：在有解.当时，，即；当时，，解得.综上，有.所以对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.21.（本小题满分12分）解：（1）因为线段的垂直平分线交半径与点，所以，所以，