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成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存,自动更新,一劳永逸第二节不等式的证明·最新考纲·通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.·考向预测·考情分析:综合法、分析法、比较法证明不等式是高考考查的热点,题型仍将以解答题为主.学科素养:通过不等式的证明考查逻辑推理的核心素养.积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔a-b>0a<b⇔a-b<0a=b⇔a-b=0b>0,ab>1⇒a>b<0,ab>1⇒a<适用类型适用于具有多项式特征的不等式证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明证明步骤作差→变形→判断符号→得出结论作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论2.综合法和分析法(1)综合法一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)分析法证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.二、必明3个常用结论1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等.3.几个重要不等式(1)ba+ab≥2(a,(2)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一综合法、分析法证明不等式[基础性、应用性][例1]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.听课笔记:反思感悟用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.【对点训练】设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.(1)求集合A;(2)若a,b,c∈A,求证:1-abcab-c>考点二反证法证明不等式[基础性、应用性][例2]若x,y都是正实数,且x+y>2,求证:1+xy<2和1+yx<2听课笔记:反思感悟利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论;(2)从假设出发,导出矛盾;(3)证明原命题正确.【对点训练】已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0.考点三放缩法证明不等式[基础性、应用性][例3]若a,b∈R,求证:a+b1+听课笔记:反思感悟在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧,常见的放缩变换有:(1)变换分式的分子和分母,如1k2<1kk-1,1k2>1kk+1,1k<(2)利用函数的单调性.(3)真分数性质“若0<a<b,m>0,则ab<a+mb+m[提醒]在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.【对点训练】设n是正整数,求证:12≤1n+1+1第二节不等式的证明提升关键能力考点一例1解析:(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1当且仅当a=b=c=1时等号成立.所以1a+1b+1c≤a2(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.当且仅当a=b=c=1时等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.对点训练解析:(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=2由|f(x)|<2得-1<x<1,即A={x|-1<x<1}.(2)要证1-abcab-c>1,只需证|1-abc|>|ab-c|只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1-a2b2>c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,由a,b,c∈A,得-1<ab<1,c2<1,所以(1-a2b2)(1-c2)>0恒成立,综上,1-abcab-c>考点二例2证明:假设1+xy<2和1+yx<则有1+xy≥2和1+yx≥因为x>0且y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x.两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2.这与已知条件x+y>2矛盾,因此1+xy<2和1+yx<对点训练证明:(1)设a<0,因为abc>0,所以bc<0.又由a+b+c>0,则b+c>-a>0,所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与题设矛盾.(2)若a=0,则与abc>0矛盾,所以必有a>0.同理可证:b>0,c>0.综上可证a,b,c>0.考点三例3证明:当|a+b|=0时,不等式显然成立.当|a+b|≠0时,由0<|a+b|≤|a|+|b|
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