数学分析-浙江大学数学系

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐数学分析-浙江大学数学系数学分析（甲）简介

课程号：06110010，06110020，06110030

课程名称：数学分析英文名称：Calculus

周学时：4-1，4-1，4-0学分：4.5，总学分：13

预修要求：无

内容简介：数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向同学介绍最基本的概念、定律、理论与办法，同时通过本课程的学习，提高同学的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础

选用教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年）

教材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社R.柯朗，F.约翰，2022年

参考教材：《数学分析》（其次版），华东师范高校数学系编

《数学分析》（其次版），复旦高校数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中

《数学分析》教学大纲

一、课程的教学目的和基本要求

数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向同学介绍最基本的概念、定律、理论与办法，同时通过本课程的学习，提高同学的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础

二、相关教学环节支配

第一学期主要内容：实数延续统、函数的概念、序列的极限概念、函数的极限概念、延续函数的概念和相关定理、积分的概念、积分的基本法则、不定积分的基本

概念、导数的概念、积分、原函数和微积分基本定理、延续函数的定积

分的存在性

其次学期主要内容：微分法则及其应用、反函数的导数、复合函数的微分法、指数函数的某些应用、最大值和最小值问题、函数的量阶、初等积分法、有理函数的

积分法、几类特别函数的积分法、反常积分概念及其判别法、三角函数

的微分方程、幂级数、泰勒定理、余项的表示式及其估量、插值问题、

拉格朗日插值公式

第三学期主要内容：积分的数值计算、方程的数值解法、斯特林公式、无穷和与无穷乘积收敛与发散的概念、肯定收敛和发散的判别法、函数与曲线序列的极限过

程、复数项幂级数、级数的乘法和除法、无穷级数与反常积分、无穷乘

积、含有伯努利数的级数、傅里叶级数、三角多项式和有理多项式的近

似法、傅里叶积分定理、非延续点上的吉布斯现象、傅里叶级数的积分、

伯努利多项式及其应用

第四学期主要内容：平面和空间的点和点集、多元函数延续性、函数的偏导数、函数的全微分及其几何意义、多元复合函数、多元函数的中值定理与泰勒定理、依

赖于参量的函数的积分、微分与线积分、线性微分型的可积性的基本定

理、多维空间的聚点原理及其应用、延续函数的基本性质、点集论的基

本概念

第五学期主要内容：隐函数、函数组、变换与映射、曲线族，曲面族，以及它们的包络、交叉微分型、求最大与最小值、平面上的面积、二重积分、三维及高维区

域上的积分、空间微分、质量与密度、化重积分为累次单积分、重积分

的变换、广义多重积分、在曲线坐标中的重积分、随意维数的体积和曲

面面积、作为参数的函数的广义单积分

第六学期主要内容：傅里叶积分、欧拉积分（伽玛函数）、多元函数的积分、面积与积分的变换、高斯，斯托克斯和格林的积分定理、散度定理的向量形式，斯托

克斯定理、二维分部积分公式，格林定理，散度定理、面积微分，将u

?变到极坐标的变换、用二维流淌解释格林和斯托克斯公式、曲面的定向、

曲面上微分形式和数量函数的积分、空间情形的高斯定理和格林定理、

空间斯托克斯定理、高维积分恒等式、三维空间中的曲面和曲面积分、

散度定理、在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分、高维空间中容易曲面

上的积分，高斯散度定理和普通的斯托克斯公式

（宋体五号）

三、课程主要内容及学时分配

第一学期：

第1章引言

1.1实数延续统（2学时）

a.自然数及其扩充，计数和度量

b.实数和区间套

c.十进小数，其他进位制

d.邻域的定义

e.不等式

1.2函数的概念（2学时）

a.映射——图形

b.单延续变量的函数概念的定义，函数的定义域和值域

c.函数的图形表示，单调函数

d.延续性

e.中间值定理，反函数

1.3初等函数（1学时）

a.有理函数

b.代数函数

c.三角函数

d.指数函数和对数函数

e.复合函数，符号积，反函数

1.4数学归纳法（1学时）

1.5序列的极限（2学时）a.1nan

=

b.21mam=，2112mam

-=c.11nan=+

d.na=

e.nna=α

f.n

a和

g.几何级数

h.na=i.na=j.nn

na=α，其中1α>1.6再论极限概念（2学时）

a.收敛和发散的定义

b.极限的有理运算

c.内在的收敛判别法，单凋序列

d.无穷级数及求和符号

e.数e

f.作为极限的数π

1.7单延续变量的函数的极限概念（1学时）

a.初等函数的一些注记

1.8极限和数的概念（2学时）

a.有理数

b.有理区间套序列定义实数

c.实数的挨次，极限和算术运算

d.实数延续统的完备性，闭区间的紧致性，收敛判别法则

e.最小上界和最大下界

f.有理数的可数性

1.9关于延续函数的定理（1学时）

1.10极坐标（1学时）

1.11关于复数的注记（1学时）

第2章积分学和微分学的基本概念

2.1积分（2学时）

a.引言

b.作为面积的积分

c.积分的分析定义，表示法

2.2积分的初等实例（2学时）

a.线性函数的积分

b.2

x的积分

c.xα的积分（α是不等于1-的有理数）

d.sinx和cosx的积分

2.3积分的基本法则（2学时）

a.可加性

b.函数之和的积分

c.函数与常数乘积的积分

d.积分的估值

e.积分中值定理

2.4作为上限之函数的积分——不定积分（1学时）

2.5用积分定义对数（1学时）

a.对数函数的定义

b.对数的加法定理

2.6指数函数和幂函数（2学时）

a.数的e的对数

b.对数函数的反函数，指数函数

c.作为幂的极限的指数函数

d.正数的随意次幂的定义

e.任一底的指数

2.7x的随意次幂的积分（1学时）

2.8导数（2学时）

a.导数与切线

b.作为速度的导数

c.微分法举例

d.一些基本的微分法则

e.函数的可微性和延续性

f.高阶导数及其意义

g.导数和差商，莱布尼兹表示法

h.微分中值定理

i.定理的证实

j.函数的线性近似，微分的定义

k.关于在自然科学中的应用的一点评述

2.9积分、原函数和微积分基本定理（2学时）

a.不定积分的导数

b.原函数及其与积分的关系

c.用原函数计算定积分

2.10延续函数的定积分的存在性（1学时）

其次学期：

第3章微分法和积分法

3.1最容易的微分法则及其应用（1学时）

a.微分法则

b.有理函数的微分法

c.三角函数的微分法

3.2反函数的导数（1学时）

a.普通公式

b.n次幂的反函数，n次根，反三角函数——多值性

c.相应的积分公式

d.指数函数的导数与积分

3.3复合函数的微分法（1学时）

a.定义

b.链式法则

c.广义微分中值定理

3.4指数函数的某些应用（1学时）

a.用微分方程定义指数函数

b.延续复利，发射性蜕变

c.物体被周围介质冷却或加热

d.大气压随地面上的高度的变化

e.化学反应过程

f.电路的接通或断开

3.5最大值和最小值问题（1学时）

a.曲线的下凸和上凸

b.最大值和最小值——极值问题，平稳点

3.6函数的量阶（1学时）

a.量阶的概念，最容易的情形

b.指数函数与对数函数的量阶

c.一点注记

d.在一点的邻域内函数的量阶

e.函数趋向于零的量阶

f.量阶的“O”和“o”表示法

3.7一些特别的函数（1学时）

a.函数

2

1

xye-=

b.函数

1

xye-=

c.函数

1

sin

yx

x

=

，

(0)0

y=

3.8关于函数可微性的注记（0.5学时）3.9初等积分表（0.5学时）

3.10换元法（1学时）

a.换元公式，复合函数的积分

b.换元公式的另一种推导办法

c.积分公式

3.11换元法的其他实例（1学时）

3.12分部积分法（1学时）

a.普通公式

b.分部积分的其他例子

c.关于

()()

fbfa

+的积分公式

d.递推公式

e.π的沃里斯（Wallis）无穷乘积表示

3.13有理函数的积分法（1学时）

a.基本类型

b.基本类型的积分

c.部分分式

d.分解成部分分式举例，待定系数法

3.14其他几类函数的积分法（1学时）

a.圆和双曲线的有理表示法初阶

b.

(cos,sin)

Rxx的积分法

c.

(Rx的积分法

d.

(Rx的积分法

e.

(Rx的积分法

f.

(Rx的积分法

g.化为有理函数积分的其他例子

h.注记

3.15初等函数的积分（1学时）

a.用积分定义的函数

b.椭圆积分和椭圆函数

c.关于微分和积分

3.16积分概念的推广（1学时）

a.引言，反常积分的定义

b.无穷间断的函数

c.作为面积的解释

d.收敛判别法

e.无穷区间上的积分

f.Γ（伽马）函数

g.狄利克雷（Dirichlet）积分

h.变量置换，菲涅尔（Fresnel）积分

3.17三角函数的微分方程（2学时）

a.关于微分方程的初步说明

b.由微分方程和初始条件定义的sinx和cosx第4章泰勒绽开式

4.1引言：幂级数（1学时）

4.2对数和反正切的绽开式（1学时）

a.对数函数

b.反正切函数

4.3泰勒定理（2学时）

a.多项式的泰勒表示

b.非多项式函数的泰勒公式

4.4余项的表示式及其估量（2学时）

a.柯西和拉格朗日余项

b.泰勒公式的另一种推导法

4.5初等函数的绽开式（1学时）

a.指数函数

b.sinx，cosx的绽开式

c.二项式级数

4.6几何应用（1时）

a.曲线的接触

b.关于相对极大值和相对微小值的理论

4.7不能展成泰勒级数的函数的例（1学时）

4.8函数的零点和无线点（1学时）

a.n阶零点

b.ν阶无限

4.9不定式（1学时）

4.10各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性（1学时）

4.11插值问题，唯一性（1学时）

4.12解的构造，牛顿插值公式（1学时）

4.13余项的估量和拉格朗日插值公式（1学时）

第三学期：

第5章数值办法

5.1积分的计算（1学时）

a.矩形近似公式

b.改进的近似式——辛普森法则

5.2数值办法的另一些例（1学时）

a.误差计算

b.π的计算

c.对数的计算

5.3方程的数值解法（1学时）

a.牛顿法

b.假位法

c.迭代法

d.迭代与牛顿程序

5.4斯特林公式（1学时）

第6章无穷和与无穷乘积

6.1收敛与发散的概念（1学时）

a.基本概念

b.肯定收敛与条件收敛

c.项的重新罗列

d.无穷级数的运算

6.2肯定收敛和发散的判别法（1学时）

a.比较判别法，控制级数

b.与几何级数相比较的收敛判别法

c.与积分相比较

6.3函数序列（1学时）

a.函数与曲线序列的极限过程

6.4全都收敛与不全都收敛（1学时）

a.普通说明和定义

b.全都收敛的一个判别法

c.延续函数的全都收敛级数之和的延续性

d.全都收敛级数的积分

e.无穷级数的微分法

6.5幂级数（1学时）

a.幂级数的收敛性质——收敛区间

b.幂级数的积分法和微分法

c.幂级数的运算

d.绽开式的唯一性

e.解析函数

6.6给定函数的幂级数绽开式，待定系数法（1学时）

a.指数函数

b.二项式级数

c.arcsinx的级数

d.级数乘法的例

e.逐项积分的例（椭圆积分）

6.7复数项幂级数（1学时）

a.在幂级数中引进复数项，三角函数的复数表示

b.复变函数普通理论一瞥

6.8级数的乘法和除法（1学时）

a.肯定收敛级数的乘法

b.幂级数的乘法和除法

6.9无穷级数与反常积分（2学时）

6.10无穷乘积（1学时）

6.11含有伯努利数的级数（1学时）

第7章三角级数

7.1周期函数（1学时）

a.普通说明，函数的周期开辟

b.一个周期上的积分

c.谐振

7.2谐振的叠加（1学时）

a.谐波，三角多项式

b.拍

7.3复数表示法（1学时）

a.普通说明

b.沟通电上的应用

c.三角多项式的复数表示法

d.一个三角公式

7.4傅里叶级数（2学时）

a.傅里叶系数

b.基本引理

c.

0sin

2

z

dz

z

∞π

=

?的证实

d.函数()xxφ=的傅里叶绽开式

e.关于傅里叶绽开的主要定理

7.5傅里叶级数的例（2学时）

a.预先说明

b.函数2()xxφ=的绽开式

c.cosxx的绽开式

d.函数()fxx=

e.一个分段常数函数

f.函数sinx

g.cosxμ的绽开式，余切分解为部分分式，正弦的无穷级数

h.进一步的例

7.6收敛性的进一步研究（2学时）

a.结果

b.贝塞耳不等式

c.推论的证实

d.傅里叶系数的量阶，傅里叶级数的微分法

7.7三角多项式和有理多项式的近似法（2学时）

a.关于函数表示法的普通说明

b.魏尔斯特拉斯靠近定理

c.按算术平均值的傅里叶多项式的费耶三角近似式

d.在平均意义下的靠近和帕塞瓦尔关系式

7.8周期区间的伸缩变换，傅里叶积分定理（1学时）

7.9非延续点上的吉布斯现象（1学时）

7.10傅里叶级数的积分（1学时）

7.11伯努利多项式及其应用（2学时）

a.定义及傅里叶展式

b.生成函数，三角余切的泰勒级数

c.欧拉-麦克劳林求和公式

d.应用，渐近表达式

e.幂级数的和，伯努利数的递推公式

f.欧拉常数和斯特林技术

第四学期：

第8章多元函数及其导数

8.1平面和空间的点和点集（2学时）

a.点的序列：收敛性

b.平面上的点集

c.集合的边界，闭集于开集

d.闭包作为极限点的集合

e.空间的点与点集

8.2几个自变量的函数（2学时）

a.函数及其定义域

b.最容易的函数

c.函数的几何表示法

8.3延续性（2学时）

a.定义

b.多元函数的极限概念

c.无穷小函数的阶

8.4函数的偏导数（2学时）

a.定义，几何表示

b.偏导数的延续性与存在性

c.微分次序的转变

8.5函数的全微分及其几何意义（2学时）

a.可微性的概念

b.方向导数

c.可微性的几何解释，切平面

d.函数的微分

e.在误差计算方面的应用

8.6函数的函数（复合函数）与新自变量的引入（2学时）

a.复合函数，链式法则

b.自变量的替换

8.7多元函数的中值定理与泰勒定理（2学时）

a.关于用多项式作近似的准备学问

b.中值定理

c.多个自变量的泰勒定理

8.8依靠于参量的函数的积分（2学时）

a.例和定义

b.积分关于参量的延续性和可微性

c.积分（次序）的互换，函数的光洁化

8.9微分与线积分（2学时）

a.线性微分型

b.线性微分型的线积分

c.线积分对端点的相关性

8.10线性微分型的可积性的基本定理（4学时）

a.全微分的积分

b.线积分只依靠于端点的须要条件

c.可积条件的不足

d.单连通集

e.基本定理

8.11多维空间的聚点原理及其应用（4学时）

a.聚点原理

b.柯西收敛准则，紧性

c.海涅-波莱耳笼罩定理

d.海涅-波莱耳定理在开集所包含闭集上的应用

8.12延续函数的基本性质（2学时）

8.13点集论的基本概念（4学时）

a.集合与子集合

b.集合的并与交

c.应用于平面上的点集

d.齐次函数

第五学期：

第9章微分学的进展和应用

9.1隐函数（2学时）

a.普通说明

b.几何解释

c.隐函数定理

d.隐函数定理的证实

e.多余两个自变量的隐函数定理

9.2用隐函数形式表出的曲线与曲面（2学时）

a.用隐函数形式表出的平面曲线

b.曲线的奇点

c.曲面的隐函数表示法

9.3函数组、变换与映射（4学时）

a.普通说明

b.曲线坐标

c.推广到多于两个变量的情形

d.反函数的微商公式

e.映射的符号乘积

f.关于变换及隐函数组的逆的普通定理，分解成素映射

g.用逐次靠近法迭代构造逆映射

h.函数的相依性

i.结束语

9.4应用（2学时）

a.曲面理论的要素

b.普通保角变换

9.5曲线族，曲面族，以及它们的包络（2学时）

a.普通说明

b.单参量曲线的包络

c.曲面族的包络

9.6交叉微分型（2学时）

a.交叉微分型的定义

b.微分型的和与积

c.微分型的外微商

d.随意坐标系中的外微分型

9.7最大与最小（2学时）

a.须要条件

b.带有附加条件的最大与最小

c.最容易情形下不定乘数法的证实

d.不定乘数法的推广

第10章多重积分

10.1平面上的面积（1学时）

a.面积的若尔当测度的定义

b.一个没有面积的集合

c.面积的运算法则

10.2二重积分（2学时）

a.作为体积的二重积分

b.积分的普通分析概念

c.记号，推广，基本法则

d.积分估量与中值定理

10.3三维及高维区域上的积分（1学时）

10.4空间微分、质量与密度（1学时）

10.5化重积分为累次单积分（2学时）

a.在矩形上的积分

b.积分交换次序，积分号下求微分

c.在更普通的区域上化二重积分为单重积分

d.在多维区域中的推广

10.6重积分的变换（1学时）

a.平面上的积分的变换

b.高于二维的区域

10.7广义多重积分（1学时）

a.有界集上函数的广义积分

b.广义积分普通收敛定理的证实

c.无界区域上的积分

10.8在几何中的应用（1学时）

a.体积的初等计算

b.体积计算的普通性附注，旋转体在球坐标系中的体积

c.曲面的面积

10.9在物理中的应用（1学时）

a.矩和质心

b.惯性矩

c.复合摆

d.吸引质量的势（1学时）

10.10在曲线坐标中的重积分

a.重积分的分解

b.应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积，古鲁金公式，配

极求积仪

10.11随意维数的体积和曲面面积（2学时）

a.高于三维的曲面面积和曲面积分

b.n维空间中的球风光积和体积

c.推广，参数表示

10.12作为参数的函数的广义单积分（2学时）

a.全都收敛性，对参数的延续依靠性

b.广义积分对参数的微分法和积分法

c.菲涅尔积分值的计算

第六学期：

10.13傅里叶积分（2学时）

a.引言

b.傅里叶积分定理的证实

c.傅里叶积分定理的收敛速度

d.傅里叶变换的帕塞瓦尔等式

e.多元函数的傅里叶变换

10.14欧拉积分（伽玛函数）（2学时）

a.定义和函数方程

b.凸函数，波尔-摩尔路波定理的证实

c.伽玛函数的无穷乘积

d.延拓定理

e.贝塔函数

f.分数次微商和积分，阿贝尔积分方程

10.15面积（2学时）

a.平面的分划和相应的内、外面积

b.若尔当可测集及其面积

c.面积的基本性质

10.16多元函数的积分（2学时）

a.函数

(,)

fxy的积分的定义

b.延续函数的可积性与在集合上的积分

c.重积分的基本法则

d.化重积分为累次单积分

10.17面积与积分的变换（2学时）

a.集