课题学习最短路径问题

课题学习最短路径问题第1页，共28页，2023年，2月20日，星期四为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏爱护草坪两点之间，线段最短第2页，共28页，2023年，2月20日，星期四

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③第3页，共28页，2023年，2月20日，星期四

要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村河流泵站第4页，共28页，2023年，2月20日，星期四

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为

最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．第5页，共28页，2023年，2月20日，星期四将军饮马问题：

两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？

这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。第6页，共28页，2023年，2月20日，星期四P两点之间线段最短.

根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短路线：将军饮马：A---P---B.第7页，共28页，2023年，2月20日，星期四

例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧第8页，共28页，2023年，2月20日，星期四C河边B'●●AB利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．前面的问题就转化为：当饮马点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小做法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．

则点C即为所求．

第9页，共28页，2023年，2月20日，星期四证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴

AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′第10页，共28页，2023年，2月20日，星期四若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？第11页，共28页，2023年，2月20日，星期四

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′轴对称第12页，共28页，2023年，2月20日，星期四.....两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第13页，共28页，2023年，2月20日，星期四活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？●●BA第14页，共28页，2023年，2月20日，星期四B●AB1●c●●D●活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值第15页，共28页，2023年，2月20日，星期四

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？平移第16页，共28页，2023年，2月20日，星期四

活动二如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角内．现在要在河边建一个码头C，在公路边D修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．河流公路●A公司●B●C第17页，共28页，2023年，2月20日，星期四

活动二

抽象成数学模型：点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+CB+BA（即⊿ABC的周长）的距离最短。NM●A公司●B●CO提示一：求三角形周长的最小值可转化为一条直线上第18页，共28页，2023年，2月20日，星期四河流公路●A公司●A1●A2B●●C活动二

抽象成数学模型：点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+CB+BA（即⊿ABC的周长）的距离最短。利用对称：将三角形三边和，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值第19页，共28页，2023年，2月20日，星期四活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？

我思考,我进步变式思考活跃思维＊＊BA公路a公路bC●D●第20页，共28页，2023年，2月20日，星期四活动三

抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。

我思考,我进步变式思考活跃思维＊＊BA公路a公路bC●D●提示一：AB为定值，只需求折线AD、CD、BC和的最小值。第21页，共28页，2023年，2月20日，星期四

我思考,我进步变式思考活跃思维＊＊BA公路a公路bB1A1CD利用对称：三边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值活动四

抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。第22页，共28页，2023年，2月20日，星期四探究二：在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？●●AB两点在一条直线同侧●C'问：两边之差|C'B—C'A|是否存在最值问题？●C当A、B、C三点共线时，|CB－CA|最大第23页，共28页，2023年，2月20日，星期四探究二：在河两边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？●B●P1●A两点在一条直线两侧第24页，共28页，2023年，2月20日，星期四抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PB－PA最大。提示：●B●P1●A作B的对称点B1，将PB-PA转化到同侧探究二：两点在一条直线两侧第25页，共28页，2023年，2月20日，星期四●BB1●●P●P1●A抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PB－PA最大。利用对称：将两线段之差转化到三角形中比较，当三点共线时求线段差的最大值探究二：第26页，共28页，2023年，2月20日，星期四

小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．利用轴对称或平移实质是将折线段转化