人教版版八年级数学下册第十七章《勾股定理》章末训练（含答案）

人教版版八年级数学下册第十七章《勾股定理》章末训练（含答案）1．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，△ABC的三个顶点都在格点上，则AC边上的高为（）A． B． C． D．2．如图，在中，点是上一点，连结，将沿翻折，得到，交于点．若，，，，的面积为1，则点到的距离为（）A．1 B． C． D．3．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤124．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，415．如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）．A． B．11 C．7 D．86．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则小正方形的面积为（）．A． B．2 C．4 D．7．如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（）A．50 B．56 C．60 D．728．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（）A．29 B．32 C．36 D．459．如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（）A． B．2 C． D．110．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④11．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则点到的距离________．12．如图，l1∥l2∥l3，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC＝BC，则AB的长是_____．13．如图，在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形．其中正确答案的序号有__________．14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝_____．15．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．17．设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．18．如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______．19．如图，在直角三角形中，，，点在边上，将沿着直线对折，使得点刚好落在直线上的点处，则__．20．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．21．如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米．（1）求BD的长；（2）求小路DE的长．22．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当AC＝6，AB＝10时，求△ACD的面积；（2）如图2，当∠B＝45°，取AD中点为F，连接FC，EF，CE，试判断△CEF的形状，并说明理由；（3）如图3，取AD中点为F，当∠B＝x°，∠CFE＝y°，确定两者之间的函数关系式．24．在中，，点D在射线上（不与点重合），连接，将绕点D顺时针旋转90°得到，连接．（1）如图1，点D在边上．①求证：；②若，求的长．（2）如图2，点D在边的延长线上，用等式表示线段之间的数量关系（直接写出结论）．25．阅读理解题：（几何模型）条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题；在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A'P+PB＝A'B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．（模型应用）如图2所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．（拓展延伸）如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（唯一选项正确）A．∠APC＝∠EPDB．PA＝PEC．∠APE＝90°D．∠APC＝∠DEP26．（背景）在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．（研究）点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系．（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是，数量关系是；（2）如图（2），当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论；（3）（应用）如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝2，AC＝4，求DE的长．参考答案题号12345678910答案CBBBACADDD11．3解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．∴AC′=10-6=4．在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理得（8-x）2=x2+42．解得x=3．∴DC′=CD=3，故答案为3．12．2．解:如图，过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，则∠CAD+∠ACD＝90°，∵AC⊥BC，∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，∵在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴BE＝CD，∵l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，∴CD＝3，AD＝2+3＝5，在Rt△ACD中，AC，∵AC⊥BC，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴ABAC2．故答案为：2．13．①②③④解：如图连接，，点为中点，，．，．，，．在和中，，，，，．，，．，．①，，．，，始终为等腰直角三角形．④，．②，．③正确的有①②③④．故答案为：①②③④．14．解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图，∵BC＝6，EC＝1，∴BE＝BC－EC＝5．∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°．∵AE⊥DE，∴∠DEF＋∠AEB＝90°．∴∠BAE＝∠DEF．∵AE＝DE，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE≌△EFD（AAS）．∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5．∴CF＝EF－EC＝2．∴CD＝．故答案为：．15．12解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：1216．13解:将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，过B作于点，则，在中，由勾股定理得，故答案为：13．17．48解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，∴a＋b＋10＝24，∴a＋b＝14，∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2＋b2＝102，则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，即142−2ab＝102，∴ab＝48．故答案为：48．18．．解：由题意可得在中，∴同理可得：∴故答案为：19．解:∵直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，

∴BC=，

∵将△DBC沿着直线BD对折，使得点C刚好落在直线AB上的点E处，

∴CD=ED，BC=BE，

∴AE=BE-AB=5-3=2，

设AD=，则CD=DE=，

∵，

∴，

解得：．

∴AD．故答案为：．20．12米解：设AD为x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，∵BC=15-10=5（米），则列方程：，解得：x=2，∴AB=10+2=12（米），答：树高AB是12米．21．（1）米；（2）米．解：（1）为米．（2）为米．22．10千米解：设，则，∵、两村到站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，站应建在距点A10千米处．23．（1）9；（2）△CEF为等腰直角三角形；（3）y＝180﹣2x．解:（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AD＝AE＝6，BE＝4，令CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x，∵DE2+BE2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴DE＝3，∴S△ACD＝AC•CD＝×6×3＝9．（2）解：△CEF为等腰直角三角形．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∵∠ACB＝90°，F为AD的中点，∴CF＝AF＝DF＝EF＝AD，∴∠CAF＝∠ACF，∠FAE＝∠AEF，∵∠B＝45°，AD平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAF＝22.5°，∴∠CFD＝∠ACF+∠CAF＝2∠CAF＝45°，∠EFD＝∠EAF+∠AEF＝2∠EAF＝45°，∵∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠CAF+2∠CAF＝90°，∴△CEF为等腰直角三角形．（3）由（2）知∠CFE＝2∠CAF+2∠CAF＝2∠CAB＝2（90°﹣x），∴y＝2（90﹣x）＝180﹣2x．24．（1）①；②；（2）解：（1）①过点D作交于点F，如图，则，由题意可知，．∵∠ADF+∠EDF=90°，∠EDB+∠EDF=90°∴，∵，，∴，∴．在和中∴．∴．在等腰直角中，，∴．②∵∴BD=1，∴BF=由①得，在等腰直角中，∴，∴．（2）过点E作于G，如图所示，∵∴∠，∴∠∵∴△∴，∴∴∴△EGB为等腰直角三角形，∴∴25．解:模型应用：作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置，作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，则四边形CA′ED为矩形，∴DE＝A′C＝AC＝1，A′E＝CD＝3，∴BE＝BD+DE＝4，由勾股定理得，A′B＝＝＝5，则PA+PB＝A′B＝5，∴最省的铺设水管的费用W＝200×5＝1000（元）；拓展延伸：延长ED至E′，连接AE′交BC于点P，则点P即为所求，连接EP，∵点E与点E′关于BC对称，∴∠E′PD=∠EPD，∵∠E′PD=∠APC，∴∠APC=∠EPD，A正确；∵唯一选项正确，∴其余选项均错误,故选：A．26．（1）DM⊥EM，DM＝EM；（2）DM⊥EM，DM＝EM；见解析；（3）DE＝＋解：（1）如图1，延长EM到点F，使得MF＝ME，∵点M为BC的中点，∴BM＝CM，又∵∠BMF＝∠CME，∴△ECM≌△FBM（SAS），∴BF＝CE，∠FBM＝∠ECM，∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∴DF∥EC，∴∠DBC＋∠ECM＝180°，∴∠DBC＋∠FBM＝180°，∴点D，点B，点F共线，∵AE＝CE，∴BF＝AE，∵AD＝DB，∴DF＝DE，∴△DEF是等腰直角三角形，又∵EM＝FM，∴DM⊥EM，DM＝EM；（2）如图2，延长EM到F，使FM＝EM，连接BF，DF，∵点M为BC的中点，∴BM＝CM，在△EMC和△FMB中，，∴△EMC≌△FMB（SAS），∴BF＝CE，FM＝ME，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴DA＝DB，EA＝EC，∠ABD＝∠BAD＝∠ACE＝∠CAE＝45°，∴FB＝EA．∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE＋∠BAC＝90°＋∠BAC，又∠FBM＝∠ECM，∴∠DBF＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠FBM＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣（∠ACB