尖电路原理上课

第六章

周期性非正弦稳态电路分析6.1非正弦周期量的傅里叶级数分解6.2非正弦周期量的有效值和平均功率6.3非正弦周期电流电路的计算6.4滤波器第六章周期性非正弦稳态电路分析学习目标与要求

(1)充分理解和掌握周期函数分解为傅立叶的方法;(2)掌握有效值、平均值和平均功率的计算;(3)熟练掌握非正弦周期电流电路的计算;(4)理解滤波器的概念.6.1非正弦周期量的傅里叶级数分解前面讨论的是正弦交流电路，其中电压和电流都是正弦量。但在实际的应用中我们还常常会遇到非正弦周期的电压或电流。分析非正弦周期电流的电路，仍然要应用电路的基本定律，但和正弦交流电路的分析还是有不同之处；本章主要讨论的非正弦周期量可以分解为恒定分量（如果有的话）和一系列频率不同的正弦量。如：半波整流电路的输出信号1.特点:

按周期规律变化，但不是正弦量。2.非正弦周期交流信号的产生1)电路中有非线性元件；2)电源本身是非正弦；3)电路中有不同频率的电源共同作用。+-+-一、非正弦周期交流信号OO激励是是正弦电压，电路元件是非线性元件二极管整流电压是非正弦量。tuOT/2TtuOT/2T整流分半波整流和全波整流半波整流全波整流tiOtiO方波电流锯齿波

实验室常用的信号发生器 可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波计算机内的脉冲信号OOT

tO晶体管交流放大电路交直流共存电路u0t+Ucc+-+-u0+-tuit由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都不是正弦信号；非电量测量技术由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变化的规律，也是非正弦的；自动控制和电子计算机使用的脉冲信号都不是正弦信号。无线电工程和其他电子工程非正弦周期信号 f(t)=f(t+kT) k=0,±1,±2,…非正弦非周期信号 不是按正弦规律变化的非周期信号3.非正弦信号的分类4.非正弦周期交流电路的分析方法etE0e1问题1iReE0e1+++---此时电路中的电流也是非正弦周期量。即：不同频率信号可叠加成周期性的非正弦量。问题2：既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流电路来求解。谐波分析法应用傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为直流分量和一系列不同频率的正弦量之和；根据叠加定理，分别计算直流分量和各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量；把所得分量按时域形式叠加。二周期函数分解为傅立叶级数1.周期函数的傅里叶级数数学工具：傅里叶级数f(t)=f(t+kT)T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，……。如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛的傅里叶级数。电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。狄里赫利条件在一周期内有有限个极大、极小值，有限个第一间断点。2．傅里叶级数(Fourierseries)的两种形式(1)第一种形式式中系数的计算公式(2)第二种形式直流分量基波（或一次谐波）二次谐波（2倍频）高次谐波(3)两种形式系数之间的关系第一种形式第二种形式3.f(t)的频谱傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但不很直观。为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，得到的图形称为f(t)的频谱。(1)幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。(2)相位频谱 把各次谐波的初相用相应线段依次排列。０Akmkω4ω3ω2ωω例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)tωtEm-Emπ2πT解：f(t)在第一个周期内的表达式为f(t)=Em-Em0根据公式计算系数f(t)OtωtEm-Emπ2πT=0当k为偶数时：cos(kπ)=1bk=0当k为奇数时：cos(kπ)=－1由此求得0f(t)Em-Emωt0f(t)tωtEm-Emπ2πTf(t)=Em-Em令Em=1，ωt=π/2矩形信号f(t)的频谱OAkmkω7ω5ω3ωω11/31/51/7(1)偶函数 f(t)=f(-t) 纵轴对称的性质f(t)Otf(t)Ot4.非正弦函数波形特征与展开式系数之间的关系可以证明： bk=0展开式中只含有余弦顶分量和直流分量f(t)=-f(-t)原点对称的性质f(t)Otf(t)Ot(2)奇函数可以证明： ak=0展开式中只含有正弦项分量f(t)=-f(t+T/2)镜对称的性质Of(t)tT(3)奇谐波函数可以证明： a2k=b2k=0展开式中只含有奇次谐波分量f(t)=f(t)=f(t+T/2)Of(t)tT(4)偶谐波函数可以证明： a2k+1

=b2k+1

=0展开式中不含有奇次谐波分量f(t)=判断下面波形的展开式特点f(t)是奇函数 展开式中只含有正弦分量f(t)又是奇谐波函数 展开式中只含有奇次谐波f(t)=f(t)OtT系数Akm与计时起点无关（但φk是有关的）。这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的变动而变动；因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。由于系数ak和bk与初相φk有关，所以它们也随计时起点的改变而改变。 系数和计时起点的关系矩形波、三角波、锯齿波、全波整流电压的傅里叶级数展开式矩形波电压三角波电压uOUmTOUmT锯齿波电压全波整流电压OTUmOTUm6.2非正弦周期量的有效值和平均功率一、非正弦周期量的有效值1、有效值的定义对于一个周期性电流i(t)，其有效值为2、有效值与各次谐波有效值之间的关系假设非正弦周期电流i(t)可以分解为傅里叶级数则得电流的有效值为有效值与各次谐波有效值之间的关系式中：同理，非正弦周期电压的有效值为：结论：非正弦周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。二、非正弦周期量的平均值1、平均值的定义非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值。2、正弦量的平均值=2Im/π=0.637Im=0.898I它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个值变为对应的正值。ωtOiIavIm3、不同类型仪表的不同测量结果用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的恒定分量；用电磁系或电动系仪表测量时，所得结果将是电流的有效值；用全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是电流的平均值。由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表，并注意各种不同类型仪表的读数所示的含意。例：计算下图所示电流的有效值和平均值0ti(A)T/4T解：有效值为10=5A平均值为三、非正弦周期电流电路的功率1、瞬时功率无源二端网络u(t)i(t)设则2、平均功率结论：平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。说明:1.Uk和Ik各次谐波分量的有效值；2.是各次谐波电压和电流的相位差；例：已知某网络端口的电压和电流如图所示，求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。解：×电流的有效值无源二端网络u(t)i(t)电压的有效值平均功率P0=50×1=50所以6.3非正弦周期电流电路的计算一、非正弦电流电路的计算具体步骤

利用傅里叶级数，将非正弦周期函数分解为恒定分量和各次正弦谐波分量相加的形式；1、傅氏分解2、单独求解利用直流和正弦交流电路的计算方法，对恒定分量和各次谐波分量分别计算。3、叠加将以上计算结果，用瞬时值叠加。1、傅氏分解说明；(1).高次谐波取到哪一项为止，要看所需要准确度的高低而定。

利用傅里叶级数，将非正弦周期函数分解为恒定分量和各次正弦谐波分量相加的形式；(2).傅里叶级数应展开成第二种形式。2、单独求解利用直流和正弦交流电路的计算方法，对恒定分量和各次谐波分量分别计算。说明；(2).对各次谐波分量，求解时可以用相量法进行，但要注意，感抗XL、容抗XC与频率有关。(1).直流分量单独作用时电感L相当于短路;电容C

相当于开路.3、叠加将以上计算结果，用瞬时值叠加。说明；把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的，最终求得的响应是用时间函数表示的。在图示电路中，，，例：输入电源为求电流i和电阻吸收的平均功率P。各次谐波是正弦量，采用的方法是相量法电流相量的一般表达式分析iRC输入电源为iRC直流分量U０=10V，I0=0P0=0I0RC解：电路如右图所示．基波k=1时，电路如右图所示．Ìm(1)305.02W输入电源为iC输入电源为三次谐波k=3时，Ìm(1)175.93WÌm(3)同理求得:P(5)=95.52WP(7)=56.55WP(9)=36.60W最后结果应该按时域形式叠加I0=0例:

方波信号激励的RLC串联电路中,已知：求电流。+RC-L第一步：将激励信号展开为傅里叶级数解：T/2TtO等效电源+-+-+-+-T/2TtO直流分量基波最大值代入已知数据：得三次谐波最大值五次谐波最大值角频率电压源各频率的谐波分量为

第二步

对各种频率的谐波分量单独计算(1)直流分量U0作用：对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：U0I0+-U0作用的等效电路(2)基波作用+RC-L(3)三次谐波作用+RC-L(4)五次谐波作用+RC-L第三步

各谐波分量计算结果瞬时值叠加例:如图所示电路为一低通滤波电路。设L=32.5mH，C=10F，R1=160，R2=2k。=628rad/s。当电压时，求负载电阻R2上电压u2。u1u2+CLR1+CR2计算非正弦周期交流电路

应注意的问题1.最后结果只能是瞬时值叠加。不同频率正弦量不能用相量相加。2.不同频率对应的XC、XL不同。6.5

滤波器的概念

滤波器的概念滤波器的分类6.5

滤波器的概念将含有电感和电容的电路接在电源与负载间用以抑制不需要的谐波分量、将需要的谐波分量传送给负载，这种电路称为滤波器。（1）低通滤波器：保留恒定分量和低于某一定频率的分量

（2）高通滤波器：保留高于截止频率的谐波分量

（3）带通滤波器：保留两个截止频率之间的各谐波分量

（4）带阻滤波器：滤去两个截止频率之间的各谐波分量例

截止频率的确定为幅频特性为相频特性截止频率：幅频特性曲线下降到最大值的时的频率为截止频率.例图示电路中，激励u1(t)=u11(1)+u12(

2)，包含

1、

2两个频率分量，且

1<

2，要求响应u2(t)只含有

1频率电压，如何实现？+_u1(t)u2(t)可由下列滤波电路实现：CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)并联谐振，开路串联谐振，短路例电路如图所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在稳态时，uR中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波电压相同，求：（1）us的有效值；（2）电感L1和L2；（3）电源发出的平均功率。+-usL1L