2019届高考数学复习专题6选考2.6.1坐标系与参数方程课件

第一页，共110页。热点考向一极坐标方程及其应用考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程的应用.考查抽象概括能力(nénglì)和运算求解能力(nénglì),为中档题,分值为10分.第二页，共110页。 2019年的高考仍将以解答题形式(xíngshì)出现,主要考查求极坐标方程及其应用、特别是与极径几何意义有关的问题.第三页，共110页。【典例1】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线(qūxiàn)C1:ρcosθ=3,曲线(qūxiàn)C2:ρ=4cosθ(1)求C1与C2交点的极坐标.(2)设点Q在C2上,,求动点P的极坐标方程.第四页，共110页。【审题导引】(1)看到求C1与C2交点(jiāodiǎn)的极坐标,联想到解_______.(2)看到联想到_________相等.方程组对应(duìyìng)坐标第五页，共110页。【解析】(1)联立因为0≤θ≤所以(suǒyǐ)所求交点的极坐标为第六页，共110页。(2)设P(ρ,θ),Q(ρ0,θ0)且ρ0=4cosθ0,θ0∈由所以(suǒyǐ)ρ=4cosθ,点P的极坐标方程为ρ=10cosθ,θ∈第七页，共110页。【名师点睛】1.极径的几何意义及其应用(1)几何意义:极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离.(2)应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交,所得的弦长问题,需要用极径表示出弦长,结合根与系数(xìshù)的关系解题.第八页，共110页。2.极坐标化直角坐标的常用技巧(1)通常要用ρ去乘方程的两边,使之出现(chūxiàn)ρ2,ρcosθ,ρsinθ的形式.(2)含关于tanθ的方程用公式tanθ=第九页，共110页。提醒:(1)根据题目(tímù)的需要可规定ρ∈R,此时(-ρ,θ)与(ρ,θ)关于极点对称.(2)极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意变形的等价性.第十页，共110页。【考向精炼】在直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程.(2)假设直线C2与曲线C1交于A,B两点,求第十一页，共110页。【解析】(1)曲线C1的普通方程(fāngchéng)为(x-2)2+(y-2)2=1,那么C1的极坐标方程(fāngchéng)为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0.由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标为θ=(ρ∈R(或tanθ=)第十二页，共110页。(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,故ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,所以(suǒyǐ)第十三页，共110页。【易错警示】解答此题容易无视以下两点:(1)根据图象直观判断直线(zhíxiàn)C2的方程,极坐标方程是θ=;(2)无视极径的几何意义ρ1=|OA|,ρ2=|OB|.第十四页，共110页。【加练备选】1.(2018·吉林梅河口五中一模)圆O:x2+y2=4,将圆O上每一点(yīdiǎn)的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,得到曲线C.第十五页，共110页。(1)写出曲线C的参数方程.(2)设直线l:x-2y+2=0与曲线C相交于A,B两点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立(jiànlì)极坐标系,直线m过线段AB的中点,且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,求直线m的极坐标方程.第十六页，共110页。【解析】(1)设曲线C上任意一点P(x,y),那么点Q(x,2y)在圆O上,所以x2+(2y)2=4,即+y2=1,所以曲线C的参数(cānshù)方程是(θ为参数(cānshù))第十七页，共110页。(2)解得,A(-2,0),B(0,1),所以线段AB的中点(zhōnɡdiǎn)N的坐标为设直线l的倾斜角为α,那么tanα=第十八页，共110页。所以直线(zhíxiàn)m的方程为y=(x+1)+,即8x-6y+11=0,所以直线(zhíxiàn)m的极坐标方程为8ρcosθ-6ρsinθ+11=0.第十九页，共110页。2.(2018·合肥三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点(jídiǎn),x轴正半轴为极轴建立极坐标系.第二十页，共110页。(1)求直线(zhíxiàn)l及圆C的极坐标方程.(2)假设直线(zhíxiàn)l与圆C交于A,B两点,求cos∠AOB的值.第二十一页，共110页。【解析】(1)由直线(zhíxiàn)l的参数方程得,其普通方程为y=x+2,所以直线(zhíxiàn)l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2.又因为圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,第二十二页，共110页。将代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ,所以(suǒyǐ)圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ.第二十三页，共110页。(2)将直线(zhíxiàn)l:ρsinθ=ρcosθ+2,与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立,得(4cosθ+2sinθ)(sinθ-cosθ)=2,整理得sinθcosθ=3cos2θ,所以θ=,或tanθ=3.第二十四页，共110页。不妨记点A对应(duìyìng)的极角为,点B对应(duìyìng)的极角为α,且tanα=3.于是,cos∠AOB=cos第二十五页，共110页。3.在平面直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系xOy中,抛物线C的方程为x2=4y+4.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=8,求l的斜率.第二十六页，共110页。【解析(jiěxī)】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ-4ρsinθ-4=0.第二十七页，共110页。(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程(fāngchéng)为θ=α(ρ∈R),设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程(fāngchéng)代入C的极坐标方程(fāngchéng)得ρ2cos2α-4ρsinα-4=0,第二十八页，共110页。因为cos2α≠0(否那么(nàme),直线l与抛物线C没有两个公共点),于是ρ1+ρ2=,ρ1ρ2=|AB|=|ρ1-ρ2|=

由|AB|=8得cos2α=,tanα=±1,所以l的斜率为1或-1.第二十九页，共110页。4.以平面直角坐标系的原点为极点(jídiǎn),x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位,圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρ=点P在l上.第三十页，共110页。(1)过P向圆C作切线,切点(qiēdiǎn)为F,求|PF|的最小值.(2)射线OP交圆C于R,点Q在OP上,且满足|OP|2=|OQ|·|OR|,求Q点轨迹的极坐标方程.第三十一页，共110页。【解析】(1)圆C的参数方程为(θ为参数),可得圆C的普通(pǔtōng)方程为x2+y2=4,直线l的极坐标方程为ρ=即有ρsinθ+ρcosθ=4,即直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.第三十二页，共110页。由|PO|2=|PF|2+|OF|2,由P到圆心O(0,0)的距离(jùlí)d最小时,|PF|取得最小值.由点到直线的距离(jùlí)公式可得dmin=可得|PF|最小值为第三十三页，共110页。(2)设P,Q,R的极坐标分别(fēnbié)为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),由ρ1=,ρ2=2,又|OP|2=|OQ|·|OR|,可得=ρρ2,第三十四页，共110页。即有ρ=

即Q点轨迹(guǐjì)的极坐标方程为ρ=第三十五页，共110页。热点考向二参数方程及其应用考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查直线、圆、椭圆的参数方程及其应用.考查抽象概括(gàikuò)能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.第三十六页，共110页。 2019年的高考仍将以解答题形式(xíngshì)出现,主要考查参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数几何意义的应用.第三十七页，共110页。【典例2】(2018·全国卷Ⅲ)在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围.(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.第三十八页，共110页。【审题导引】(1)看到求α的取值范围(fànwéi),联想到根据l与☉O相交求_____的取值范围(fànwéi).(2)看到求线段AB中点P的轨迹的参数方程,联想到点P对应的_____,代入直线l的_____方程.斜率(xiélǜ)参数(cānshù)参数第三十九页，共110页。【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.当α≠时,记tanα=k,那么(nàme)l的方程为y=kx-.l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是第四十页，共110页。(2)l的参数(cānshù)方程为(t为参数(cānshù),<α<).设A,B,P对应的参数(cānshù)分别为tA,tB,tP,那么tP=且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.第四十一页，共110页。于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹(guǐjì)的参数方程是(α为参数,<α<).第四十二页，共110页。【名师点睛】1.参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法:利用(lìyòng)sin2α+cos2α=1消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.第四十三页，共110页。(3)常见(chánɡjiàn)消参数的关系式:第四十四页，共110页。2.关于直线参数方程中参数t的几何意义及应用(1)几何意义:参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离(jùlí),假设t>0,那么的方向向上;假设t<0,那么的方向向下;假设t=0,那么点M与M0重合.第四十五页，共110页。(2)应用:一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A,B两点,与弦长|AB|及其相关的问题,解决的方法是首先用t表示(biǎoshì)出弦长,再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题.第四十六页，共110页。【考向精炼】在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ-ρ=0.第四十七页，共110页。(1)写出曲线C1的普通方程(fāngchéng)和曲线C2的直角坐标方程(fāngchéng).(2)曲线C1和曲线C2交于A,B两点(P在A,B之间),且|PA|=2|PB|,求实数a的值.第四十八页，共110页。【解析】(1)C1的参数方程消参得普通(pǔtōng)方程为x+y-a-1=0,C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ-ρ=0,两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ-ρ2=0,即y2=2x.第四十九页，共110页。(2)将曲线(qūxiàn)C1的参数方程代入曲线(qūxiàn)C2:y2=2x得t2+2t+1-2a=0,设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|且P在A,B之间,那么t1=-2t2,由题意得解得a=第五十页，共110页。【加练备选(bèixuǎn)】1.(2018·湖北八校第二次联考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:为参数,0∈[0,π),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为:ρ=第五十一页，共110页。(1)在直角坐标系xOy中,求圆C的圆心的直角坐标.(2)设点P(1,),假设直线(zhíxiàn)l与圆C交于A,B两点,求证:|PA|·|PB|为定值,并求出该定值.第五十二页，共110页。【解析】(1)圆C:x2+y2-4x-4y=0,圆心(yuánxīn)坐标C(2,2).第五十三页，共110页。(2)将代入C:x2+y2-4x-4y=0,所以t2-(2sinθ+2cosθ)t-12=0,设点A,B所对应(duìyìng)的参数为t1,t2,那么t1t2=-12,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=12.第五十四页，共110页。2.(2017·衡水一模)直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(α为参数).(1)假设直线l与圆C的相交弦长不小于,求实数(shìshù)m的取值范围.(2)假设点A的坐标为(2,0),动点P在圆C上,试求线段PA的中点Q的轨迹方程.第五十五页，共110页。【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数),普通(pǔtōng)方程为y=mx,圆C的参数方程为(α为参数),普通(pǔtōng)方程为x2+(y-1)2=1.圆心到直线l的距离d=第五十六页，共110页。相交(xiāngjiāo)弦长=所以所以m≤-1或m≥1.第五十七页，共110页。(2)设P(cosα,1+sinα),Q(x,y),那么x=(cosα+2),y=(1+sinα),消去α,整理(zhěnglǐ)可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x-1)2+第五十八页，共110页。3.(2017·惠州一模)曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立(jiànlì)平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).第五十九页，共110页。(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)方程.(2)假设直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.第六十页，共110页。【解析】(1)因为ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,所以曲线(qūxiàn)C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4.第六十一页，共110页。(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4得:(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化简得t2-2tcosα-3=0.设A,B两点对应(duìyìng)的参数分别为t1,t2,那么第六十二页，共110页。所以(suǒyǐ)|AB|=|t1-t2|

因为|AB|=,所以(suǒyǐ)所以(suǒyǐ)cosα=±.第六十三页，共110页。因为(yīnwèi)α∈[0,π),所以α=或α=π.所以直线的倾斜角α=或α=π.第六十四页，共110页。热点考向三极坐标与参数(cānshù)方程的综合应用 高频考向考情分析2016年2017年2018年ⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢT23T23T23T22T22T22T22T22T22考向解读本考向考查形式为解答题,主要考查极坐标方程、参数方程的应用,特别是极径的几何意义与解三角形等知识的综合应用,参数方程换元求最值等问题.考查抽象概括能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.2019年的高考仍将以解答题形式出现,主要考查极径几何意义和参数方程的灵活应用.第六十五页，共110页。类型一极径和参数几何意义的灵活应用

【典例3】在平面直角坐标系xOy中,曲线(qūxiàn)C的参数方程为(α为参数),A,B在曲线(qūxiàn)C上,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,A,B两点的极坐标为第六十六页，共110页。(1)求曲线(qūxiàn)C的极坐标方程.(2)设曲线(qūxiàn)C的中心为M,求△MAB的面积.第六十七页，共110页。【大题小做(dàtíxiǎozuò)】难点拆解第(1)问①根据极角和极坐标方程求点A,B的坐标;②用余弦定理求AB的长;③根据圆的性质求AB边上的高第六十八页，共110页。【解析】(1)由消去α,得(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0,将x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入得曲线(qūxiàn)C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ-8ρsinθ=0,即ρ-6cosθ-8sinθ=0.第六十九页，共110页。(2)将代入(1)所得的极坐标方程,得ρ1=4+3,ρ2=8,所以|AB|=曲线(qūxiàn)C的中心M到弦AB的距离为d=所以S△MAB=第七十页，共110页。类型二求最值或取值范围问题

【典例4】(2018·信阳二模)直线l的参数(cānshù)方程为(其中t为参数(cānshù)),曲线C1:ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-3=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同长度单位.第七十一页，共110页。(1)求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)方程.(2)在曲线C1上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最大?假设存在,求出距离的最大值及点P的直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo);假设不存在,请说明理由.第七十二页，共110页。【审题导引】(1)要求直线l的普通方程需要用加减消去参数t,要求曲线C1的直角坐标方程需要根据__________,__________进行转化(zhuǎnhuà).

(2)要求点P到直线l的距离最大,需要借助曲线C1的_____方程,转化(zhuǎnhuà)为三角函数的最值问题.x=ρcosθy=ρsinθ参数(cānshù)第七十三页，共110页。【解析(jiěxī)】(1)直线l的普通方程为x-y+1=0,曲线C1的直角坐标方程为+y2=1.第七十四页，共110页。(2)由(1)可知C1:(其中φ为参数),所以点P到直线l的距离(jùlí)d=所以dmax=此时cos=1,即φ+=2kπ(k∈Z),第七十五页，共110页。即φ=2kπ-(k∈Z),所以(suǒyǐ)xP=cosφ=,yP=sinφ=-,即P〔，-〕.故存在这样的点P〔，-〕,使点P到直线l的距离最大且为.第七十六页，共110页。【探究追问】1.假设(jiǎshè)将例4直线l的方程改为“〞,曲线C1的方程改为“ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4=0〞,其他条件不变,试求点P到直线l的距离的最大值.第七十七页，共110页。【解析】将曲线C1的极坐标方程(fāngchéng)ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4=0化为普通方程(fāngchéng)为+y2=1,化为参数方程(fāngchéng)为(θ为参数),直线l的普通方程(fāngchéng)为x+y+1=0.第七十八页，共110页。设P到直线(zhíxiàn)l的距离为d,d=所以P到直线(zhíxiàn)l的距离的最大值为.第七十九页，共110页。2.假设将例4曲线(qūxiàn)C1的方程改为“ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-9=0〞,曲线(qūxiàn)C2的极坐标方程是ρ=2cosθ,P,Q分别是曲线(qūxiàn)C1和C2上的任意点,求|PQ|的最小值.第八十页，共110页。【解析】曲线C1的直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)方程为=1,参数方程是(α为参数),曲线C2的直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2中,因为ρ=2cosθ,所以ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.第八十一页，共110页。设C1上任意(rènyì)点P所以P到C2圆心(1,0)的距离所以|PQ|min=-1.第八十二页，共110页。【名师点睛】1.巧解与三角形知识的综合(zōnghé)问题(1)数形结合明确极径和极角的几何意义,并表示三角形的有关元素.(2)利用正弦、余弦定理找到变量ρ,θ的关系.第八十三页，共110页。2.三角换元求最值问题(1)适用情景涉及直线(zhíxiàn)与圆、直线(zhíxiàn)与椭圆位置关系的最值问题.第八十四页，共110页。(2)两种方法①三角换元转化为三角函数求最值问题(wèntí)②转化为普通方程或直角坐标方程,利用直线与圆、椭圆的知识直接解答.第八十五页，共110页。【考向精炼】1.(2018·宜宾二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立(jiànlì)极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρsinθ=第八十六页，共110页。(1)求曲线(qūxiàn)C1的极坐标方程.(2)设C1和C2的交点为A,B,求△AOB的面积.第八十七页，共110页。【解析】(1)曲线(qūxiàn)C1的参数方程为(α为参数)消去参数的C1的直角坐标方程为x2-4x+y2=0,所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ.第八十八页，共110页。(2)解方程组有4sinθcosθ=得sin2θ=,所以(suǒyǐ)θ=2kπ+(k∈Z)或θ=2kπ+(k∈Z),当θ=2kπ+(k∈Z)时,ρ=2,当θ=2kπ+(k∈Z)时,ρ=2,第八十九页，共110页。所以(suǒyǐ)C1和C2交点的极坐标所以(suǒyǐ)S△AOB=|AO||BO|sin∠AOB=·2·2sin=.故△AOB的面积为.第九十页，共110页。2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:=1,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立(jiànlì)极坐标系. 世纪金榜导学号第九十一页，共110页。(1)求曲线C1,C2的极坐标方程(fāngchéng).(2)射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(且A,B均异于原点O),当0<α<时,求|OB|2-|OA|2的最小值.第九十二页，共110页。【解析】(1)曲线C1的普通(pǔtōng)方程为(x-1)2+y2=1,C1的极坐标方程为ρ=2cosθ,C2的极坐标方程为=1,ρ2cos2α+2ρ2sin2α=8,ρ2(1+sin2α)=8,即ρ2=第九十三页，共110页。(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程(fāngchéng)得|OA|2=4cos2α,联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程(fāngchéng)得|OB|2=第九十四页，共110页。那么(nàme)|OB|2-|OA|2=-4cos2α=-4(1-sin2α)=+4(1+sin2α)-8

(当且仅当sinα=时取等号).所以|OB|2-|OA|2的最小值为8-8.第九十五页，共110页。【加练备选】1.(2018·沈阳二中一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t>0,α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度(chángdù)单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为第九十六页，共110页。(1)当t=1时,求曲线C上的点到直线l的距离(jùlí)的最大值.(2)假设曲线C上的所有点都在直线l的下方,求实数t的取值范围.第九十七页，共110页。【解析(jiěxī)】(1)直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,曲线C:x2+y2=1,所以曲线C为圆,且圆心O到直线l的距离d=所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1+.第九十八页，共110页。(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方,所以对∀α∈R,有tcosα+sinα-3<0恒成立.即cos(α-φ)<3(其中(qízhōng)tanφ=)恒成立.所以<3.又t>0,所以解得0<t<2.所以实