数学物理方法课件第一章 复数与复变函数

PAGEPAGE22《数学物理方法》(2013级材料物理专业)上课地点：5101任课教师：胡梁宾联系电话Email:lbhu2@126.com课程简介物理规律通常都需要以数学为语言来表述。如电磁场的基本规律可用麦克斯韦方程组来表述,这是一组关于电场、磁场的偏微分方程组;量子力学的基本规律可用薛定谔方程表述,这是微观粒子波函数所满足的偏微分方程；经典力学中牛顿定律的普遍形式也需要用微分方程来进行表述；等。由于现代物理理论通常都是以数学为语言来表述的,因此学习现代物理学必须具有一定的数学技能。数学物理方法是物理类本科各专业在高等数学课程基础上的又一重要基础数学课程，是物理类本科各专业学生必修的重要基础课。在高等数学课程的基础之上,数学物理方法课程将为学习现代物理理论提供进一步的基础数学处理工具。数学物理方法涉及到的内容相当多。由于课时的限制，作为一门本科生专业基础课程，数学物理方法的教学内容通常主要包括两部分，第一部分为复变函数论，第二部分为数学物理方程。在很多工程技术领域(如电磁场理论、量子力学、流体力学、信号分析等)经常会遇到复变量的函数。复变函数研究复变量之间的关系,它是实变函数理论在复数域内的推广。在复变函数论部分主要学习如何将高等数学中的微积分方法推广到复变函数。在数学物理方程部分,主要学习物理学中经常遇到的几种典型的数学物理偏微分方程(如波动方程、热传导方程、稳定场方程等)的导出及其求解方法。这部分内容是高等数学中已经学习过的常微分方程的推广。学习《数学物理方法》必须具有一定的高等数学（特别是微积分和常微分方程）基础。有些内容还涉及到一定的物理背景，因此也需要对大学物理有一定了解。教材:刘连寿、王正清编“数学物理方法”(高等教育出版社)。教材中包含的内容较多，由于受学时限制以及专业要求的不同，在课堂上将重点选取教材中一些比较基本的内容进行学习。一些难度较大的内容留给有兴趣的同学自学（不作要求）。由于对教学内容进行了精简，在课程内容的编排上将与教材的编排顺序有所不同。请同学们在学习时注意这一点。考核方式:平时成绩（30%）+期末考试成绩（70%）。平时成绩包括出勤、听课、作业。平时要按时、准时上课,按时完成作业,不得无故迟到、早退和缺席(上课时会不定期抽查并将出勤情况记录)。教学内容第一部分:复变函数第一章复数与复变函数（教材第1章第1-2小节）第二章解析函数（教材第1章第3小节）第三章复变函数的积分（教材第1章第4-5小节）第四章复变函数的级数（教材第2章）第五章留数定理及其应用（教材第4章）第六章傅里叶级数与傅里叶积分（教材第10章第1小节）第二部分:数学物理方程第七章数学物理方程的导出与定解问题（教材第5章）第八章分离变量法（教材第6章）第九章二阶线性常微分方程（教材第7章）第十章球函数（教材第8章）复数与复变函数（教材第1章第1-2小节）第一节复数§1-1复数的定义和基本四则运算在实数范围内有些数学方程没有解。如一元二次方程,其解为，当时，因在实数范围内负数不能开平方,方程在实数范围内就无解。为了使方程在这种情况下也有解,就必须扩充数的范围。为此,在数学上引入了复数的概念。(一)复数的定义虚数单位:,为虚数单位。纯虚数：,(为实数)。复数：形如(为实数)的数为复数,分别称为复数的实部与虚部，记为，。每一个复数都由一对有序实数唯一地确定,如由确定。实数:虚部为零的复数，;纯虚数：实部为零的的复数，复数0：实部和虚部都为零的的复数，.若,必须复数的相等：设，则.。复数没有大小，两个复数不能比较大小。共轭复数：若两复数的差别仅仅是它们的虚部异号，称这两个复数为共轭复数，或称这两个复数互相共轭。，(二)复数的基本四则运算规则：设，其基本四则运算规则为：加减：乘法：【类似于多项式相乘，利用合并同类项。如:】除法：，（其中,即）。例：设，，则：,，，，。【共轭复数的一些简单而重要的性质。】§1-2复平面在直角坐标系下，复数可用平面上的点来表示。轴称为实轴，它上面的点对应实数，轴称为虚轴，它上面的点对应纯虚数。这种表示复数的平面称为复平面或平面。复数的矢量表示：对于一个复数，若把当作一个矢量的直角坐标分量，则复数可用复平面上的矢量来表示。由复数的矢量表示可知，复数加减法满足平行四边形法则（或三角形法则）,与矢量的加减法则相同。§1-3复数的模与幅角表示复数的矢量的长度称为复数的模，以或表示，设，则：。幅角：不为零的复数所对应的矢量与实轴（轴）正向的夹角称为复数的幅角，记为。设，则：。幅角的非唯一性:若为复数（）的幅角，则也是的幅角，即复数的幅角不是唯一的。主值幅角（主幅角）：通常把满足条件的幅角称为的主幅角，记为。的任意幅角可以表示为:.模不为的复数（）的主幅角是唯一确定的。复数（模为的复数）的幅角则完全不确定。例：下列方程表示复平面上的什么曲线?(1);(2);(3).解：(1)以点为圆心、半径为2的圆周;(2)以点、为焦点、长轴为10的椭圆;(3)以点、为焦点、实轴为8的双曲线的一支.§1-4复数的指数表示欧拉公式欧拉公式:,【该定义为数学家欧拉首先引入，故称为欧拉公式。】利用欧拉公式,可把复数表为指数形式：。共轭复数：对于复数的乘法和除法，用指数表示比代数表示方便:设，则：（模相乘，幅角相加）。（模相除，幅角相减）。小结：复数的三种基本表示方法代数表示:，三角表示:,指数表示：，(=，)例：求的三角表示式与指数表示式.解：设，则：，，于是：§1-5复数的乘方和开方复数的乘方复数的次方:（是正整数）。两种计算方法:一是利用代数表示式进行计算，将按次多项式进行展开，再利用合并同类项，即可得到的实部和虚部。另一种方法利用指数表示式进行计算：设,则。如令，即得：，（棣摩弗公式）例1：求.解：因为：，所以：例2：设，，求解：因为：所以：(2)复数的开方若复数的次方等于复数,，则称复数为复数的次方根，记为。除少数简单的情况外，利用复数的代数表示式（）进行开方运算很困难。与之相反，利用复数的指数表示式进行开方运算则比较方便。计算方法如下：设：,,因:两个相等的复数，模必定相等，而幅角可以相差2的整数倍（但主幅角相等），即:，，如此可得:（在实数范围内开次方），，取，得到个不同的根。由于当取的正整数或取的负整数时，仅增加的整数倍或减少的整数倍，所以并不产生新的根。因此在复数范围内一个不为零的复数（）的次方根一定有（并且只有）个不同的值：。【注意：对一个实数开次方根，需要指明是在实数范围内开方还是在复数范围内开方。如，在实数范围内开方只有一个根，在复数范围内开方有n个不同的根。】例3：计算解：因为：，所以：即：§1-6复数的指数运算与三角运算（P14-17）(1)复数的指数运算欧拉公式定义了纯虚数的指数运算：，（），在定义了纯虚数的指数后，对任意复数（），定义其指数为：.(2)复数的正弦、余弦三角运算根据欧拉公式，对于任意实数，，，于是：，。仿照这一形式，定义任意复数的余弦、正弦三角运算为：，。根据这个定义不难看出，对于任意复数，欧拉公式都成立：在复数的正弦、余弦三角运算的基础上，可以进一步定义复数的其他类型的三角运算：，，，，例：求和的实部和虚部。解：,的实部为，虚部为0.的实部为，虚部为.第二节复平面上的区域在复变函数中，自变量和因变量的取值范围通常都是复平面上的区域。在学习复变函数之前,先介绍一下与复平面上区域有关的几个基本概念：邻域；区域；区域的边界；单连通区域；多连通区域。邻域:复平面上以为中心，d为半径的圆的内部的点所组成的集合称为的d-邻域。(如果不包含点，则称之为点去心领域。)z00z00<|z-z0|<|z-z0|<z0区域:区域是满足以下两个条件的复平面上的点的集合：（1）该集合中的每一个点，都有以它为圆心的一个充分小的圆（即该点的一个充分小的邻域），圆内所有的点都属于该集合D；（2）集合中的任意两个点，都可以用一条由该集合内的点组成的线连接起来，即该集合中的任意两个点都是连通的。区域的边界:设D为复平面上的一个区域，如果点p的任何邻域内都即包含有属于D的点，也包含有不属于D的点，这样的点p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用¶D来表示。闭区域：区域D连同它的边界D一起构成闭区域，记为(=)。开区域：不包括边界D，只包括区域内的点。单连通区域,复连通区域:设B为复平面上的一个区域，如果在其中任作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为复连通区域（如图所示）.几何直观上，单连通区域和复连通区域的本质区别是：单连通区域内任一闭曲线可通过连续变形而收缩为一点，简而言之，区域内没有空洞和缝隙。复连通区域内至少有一闭曲线不能通过连续变形而收缩为一点，简而言之，区域内有空洞。【连续变形：曲线变形时不能越出区域之外。】）通过作一些适当的割线将复连通区域的不相连的边界线连结起来，就可以降低区域的连通阶数，使之变成单连通区域。【用处:可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。】例：几个典型区域的数学表示:xxyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOy21第三节复变函数【《数学物理方法》P9-19】（一）复变函数的定义设有两个复变数z和w，当复变数z在复平面上某个范围内取值时，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于复变数z的每一值，另一个复变数w都有一个（或多个）确定的值与之对应，那么称复变数w是复变数z的复变函数，记为。若与w是一一对应的，则称为单值函数。若对于一个有几个w的值与之对应，则称为多值函数。后面我们主要学习单值函数。复变函数的几种表示方法：1.，将复变函数直接表示用复自变量z的数学式子表示出来。2.因为一个复变函数实际上代表了两个实变函数，所以也可将它表示为：，其中，分别代表的实部与虚部（都是，的实函数）。3.当，则又可表示为：。例1：，，，，，,，,。例2：，，，，，，。例3：，，,。，,。 （二）复变函数的几何意义:如果复数z和w分别用z平面和w平面上的点表示，则复变函数w=f(z)函数在几何上，可以看成是将z平面上的定义域变换到w平面上的函数值域的一个变换或映射，它将D内的一点z变换为G内的一点w.（三）初等函数多项式函数、有理函数、指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数、双曲函数、…等等称为基本初等函数。由以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项复合而得到的函数称为初等函数。基本初等函数（教材p14-p17页）多项式函数：有理函数：指数函数：，（设）【复变量的指数函数有些什么性质？）三角函数：，，，【复变量的三角函数有些什么性质？与实变量三角函数有些异同之处？】双曲函数：，，，*对数函数：（多值函数，不要求）*反三角函数（多值函数，不要求）*根式函数（多值函数，不要求）（四）复变函数的连续性如果函数在点处满足下列条件：（1）存在；（2）存在;（3）,则称函数在处连续。由于，故在点处连续又可定义为：，。注意：复变函数“在某点连续”的定义比实变函数中相应的定义要求更严格,因为极限的定义要求以任意方式趋于时，的极限均为。而在实变函数中，一个实变函数在处连续仅要求当x从小于和大于两个方向趋于时，有相同的极限值。因此复变函数“在某点连续”的定义比实变函数中相应的定义要求严格得多。例:证明函数在时极限不存在.证：设，,而,,考虑二元实函数当沿着（为任意实数）趋向于0，即：.显然，极限值随值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在趋向于0时的极限不存在，即得结论。第一章习题1.下列式子在复平面上代表什么样的区域?(1)(2);(3)2．给出复数和复数的代数式、三角式及指