江苏省南通市启东市某实验学校2022-2023学年数学九上期末达标测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.将抛物线y=2（x—7）2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移中正确的是（）

A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位

C.向左平移7个单位D.向右平移7个单位

2.如图，A3是。。的直径，N是弧（异于A、B）上两点，。是弧MN上一动点，/4C3的角平分线

交。。于点。，N3AC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则。、E两点的运动路径长的比是

A.V2B.—C.-D.卫

222

44

3.如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=--的图象交于A,3两点，则不等式|-x+3|>--的解集为

XX

A.-IVxVO或x>4B.xV-1或0VxV4

C.x<-1x>0D.*<-1或*>4

4.如果某人沿坡度为3:4的斜坡前进10m,那么他所在的位置比原来的位置升高了（）

A.B.8mC.10mD.12m

5.图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形.将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改

变的是（）

A.主视图B.俯视图

C.左视图D.主视图、俯视图和左视图都改变

6.已知的半径为3cm,0P=4cm,则点P与。0的位置关系是（）

A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.无法确定

7.如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（）

8.若点3是直线y=—x+2上一点，已知A（0,—2）,则A6+QB的最小值是（）

A.4B.2加C.2GD.2

9.在RtaABC中，NC=90。，NA、E）B、NC所对的边分别为“、b、c,如果a=3从那么NA的余切值为（）

10.一元二次方程x2+bx-2=0中，若b<0,则这个方程根的情况是（）

A.有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大

C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大

11.为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育

经费的年平均增长百分率为x,则下列方程正确的是（）

A.7000(1+x2)=2317()B.7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=23170

C.7000(1+x)2=23170D.7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=2317

12.将0.000102用科学记数法表示为（）

A.1.02X10-4B.1.02x10-5C.-1.02xl04D.102x10-3

二、填空题（每题4分，共24分）

13.反比例函数y=三上的图象在一、三象限，则Z应满足.

14.如图，已知。O的半径是2,点A、B、C在。O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为.

15.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心，以AB长为半径画品，&若AB=1,则阴影部分图形

的周长为（结果保留兀）.

16.底面半径为1,母线长为2的圆锥的侧面积等于.

17.已知关于x方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为.

18.如果NA是锐角，且sinA=—,那么NA=______

2

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，。。是△A5C的外接圆，48是直径，0O_LAC,垂足为。点，直线0。与。。相交于E,尸两点,

尸是。。外一点，P在直线0。上，连接1%,PB,PC,且满足NPCA=N48C

（1）求证：PA=PCi

（2）求证：R1是。。的切线；

AQQ

（3）若8c=8,—求。E的长.

DF2

20.（8分）如图1,44C的余切值为2,AB=2#），点D是线段A8上的一动点（点D不与点A、B重合），以点

D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结8G,并延长BG,交射

线EC于点P.

（1）点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量（填序号）；

®AF；②FP；③BP；@ZBDG；®ZGAC；©ZBPA；

（2）设正方形的边长为x,线段AP的长为y,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果AP尸G与AAFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A,与）’轴交于点］且与反比例函数）=此在

K2；X

第一象限的图象交于点C,CD±），轴于点C。=2.

(1)根据函数图象，直接写出当反比例函数y的函数值y<5时，自变量x的取值范围；

(2)动点P在x轴上，PQ±x轴交反比例函数y=?的图象于点。.若S.A」S,Q=2.求点p的坐标.

22.(10分)如图，已知△A5C中，NACB=90。，AC=4,8c=3,点M、N分别是边AC、48上的动点，连接MN,

将△AMN沿“V所在直线翻折，翻折后点A的对应点为M.

图⑴图⑵图(3)

(1)如图1,若点工恰好落在边A8上，且4N='AC,求AM的长；

2

(2)如图2,若点A'恰好落在边8c上，且4'N//AC.

①试判断四边形AM4'N的形状并说明理由；

②求AM、MN的长；

(3)如图3,设线段NM、5c的延长线交于点尸，当网=之且坐=9时，求CP的长.

AB5AC7

23.(10分)如图，40是。。的弦，4C是。O直径，。。的切线80交AC的延长线于点3,切点为O,NZMC=30。.

(1)求证：AAOB是等腰三角形;

(2)若BC=6，求4。的长.

24.(10分)如图，以AB边为直径的。。经过点P,C是。。上一点，连结PC交45于点E,且NACP=60。，PA=PD.

(1)试判断尸。与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若点C是弧48的中点，已知48=4,求CE・CP的值.

25.(12分)如图，在10x10的网格中，有一格点AABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).

(1)将aABC先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C,请直接画出平移后的△A，B，C；

(2)将绕点C顺时针旋转90。，得到△A"B”C)请直接画出旋转后的△A“B”C；

(3)在(2)的旋转过程中，求点A，所经过的路线长(结果保留rt).

26.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛物线的对

称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使APBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发,

以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到

何处时，AMNB面积最大，试求出最大面积.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.

【详解】依题意可知,原抛物线顶点坐标为（7,3），平移后抛物线顶点坐标为（0,f）（f为常数）,则原抛物线向左平移7

个单位即可.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k（a,b,c为常数，a#0）,

确定其顶点坐标（力，&）,在原有函数的基础上值正右移，负左移；&值正上移，负下移”.

2、A

【解析】连接BE,由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得NAEB=135。，为定值，确定出点E的运动轨迹是

是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD,则CD_LAB,在CD

的延长线上，作DF=DA,则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE=DA=DF,点D为弓形AB所在圆的圆心,

设。O的半径为R,求出点C的运动路径长为万H,DA=V2R，进而求出点E的运动路径为弧AEB,弧长为宁万R,

即可求得答案.

【详解】连结BE,

■:点E是NACB与NCAB的交点，

...点E是△ABC的内心，

ABE平分NABC,

VAB为直径，

.,.ZACB=90",

.•.ZAEB=1800-y（ZCAB+ZCBA）=135°,为定值，AD=BD，

.•.点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，

...此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，

,:AD=BD，

，AD=BD,

如下图，过圆心O作直径CD,贝l」CD_LAB,

ZBDO=ZADO=45°,

在CD的延长线上，作DF=DA,

则NAFB=45°,

即NAFB+NAEB=180°,

:.A、E、B、F四点共圆，

/.ZDAE=ZDEA=67.5°,

.*.DE=DA=DF,

二点D为弓形AB所在圆的圆心，

设。。的半径为R,

则点C的运动路径长为：7lR,

DA=0R,

点E的运动路径为弧AEB,弧长为：90a*OR=包乃R,

1802

兀R二£

C、E两点的运动路径长比为：V2一，

——7lR

故选A.

【点睛】

本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点

E运动的路径是解题的关键.

3、C

y=-x+3

【分析】先解方程组4得A(-1,4),5(4,-1),然后利用函数图象和绝对值的意义可判断xV-1或x

y二一一

IX

Q4

>1时，|-x+3|>--

x

y=一1+3

x=-l或1x=4

【详解】解方程组4得7y=4「则A-(4,-1),

y二一—U=-1

x

4

当xV-1或x>l时，I-x+3|>--,

x

4-

所以不等式I-x+3|>--的解集为xV-1或x>L

x

故选：C.

【点睛】

考核知识点:一次函数与反比例函数.解方程组求函数图象交点是关键.

4、A

【解析】设斜坡的铅直高度为3x,水平距离为4x,然后根据勾股定理求解即可.

【详解】设斜坡的铅直高度为3x,水平距离为4x,由勾股定理得

9x2+16x2=100,

x=2,

/.3x=6m.

故选A.

【点睛】

此题主要考查坡度坡角及勾股定理的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度/I和水平宽/的比，我们把

h

斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用a表示坡角，可知坡度与坡角的关系是，=7=tana.

5、A

【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组

合体进行判断，可得答案.

【详解】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层

左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；

②的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正

方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；

所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变，

故选：A.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看

到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图.

6、C

【解析】由OO的半径分别是3,点P到圆心O的距离为4,根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与

OO的位置关系.

【详解】解：丁。。的半径分别是3,点P到圆心O的距离为4,

...点P与。。的位置关系是：点在圆外.

故选：C.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系.注意若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当d>i•时，点在圆外；当d=i•时，点

在圆上，当d<r时，点在圆内.

7、C

【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边.

8、B

【分析】根据题意先确定点B在哪个位置时AB+03的最小值，先作点A关于直线CD的对称点E,点B、E、O三点

在一条直线上，再根据题意，连结OE与CD的交点就是点B,求出OE的长即为所求.

【详解】解：在y=-x+2中，当x=0时，y=2,当y=0时，0=-x+2,解得x=2,

二直线y=-x+2与x的交点为C(2.0),与y轴的交点为D(0,2),如图，

AOC=OD=2,

VOC±OD,:OC±OD,

AAOCD是等腰直角三角形,

AZOCD=45°,

AA(0,-2),

AOA=OC=2

VOA±OC,

•••△OCA是等腰直角三角形，

AZOCA=45°,

JZACD=ZOCA+ZOCD=90°,

A.AC±CD,

延长AC到点E,使CE=AC,连接BE,作EF,轴于点F,

则点E与点A关于直线y=-x+2对称，NEFO=ZAOC=90,

点O、点B、点E三点共线时，OB+AB取最小值，最小值为OE的长,

在ACEF和ACAO中，

NEFC=ZAOC

<ZECF=ZACO

CE=AC

/.△CEF^OCAO(AAS),

AEF=OA=2,CF=OC=2

AOF=OC+CF=4,

:.OE=y/OF2+EF2=A/42+22=26

即OB+AB的最小值为2#).

故选:B

【点睛】

本题考查的是最短路线问题，找最短路线是解题关键.找一点的对称点连接另一点和对称点与对称轴的交点就是B点.

9、A

【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA=2,即可得出答案.

a

【详解】解：在RtZUBC中，ZC=90°,a=3b,

.“b1

■*cotA=—=-；

a3

故选择:A.

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

10、B

【解析】先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx-2=0的两个根为c、d,根据根与系数的关

系得出c+d=-b,cd=-2,再判断即可.

【详解】x2+bx-2=0,

△=b2-4xlx(-2)=b2+8,

即方程有两个不相等的实数根，

设方程x2+bx-2=0的两个根为c、d,

贝！Jc+d=-b,cd=-2,

由cd=-2得出方程的两个根一正一负，

由c+d=-b和b<0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，

故答案选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根的判别式及根与系数的关系.

11、C

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果设每年投入教育经费的年平均增

长百分率为X,再根据“2018年投入7000万元”可得出方程.

【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则2020年的投入为7000(1+x)2=23170

由题意，得7000(1+x)2=23170.

故选：c.

【点睛】

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有

关数量，b为终止时间的有关数量.

12、A

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlOT与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.000102=1.()2x10-4,

故答案为：1.02x10s

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlOT其中l4|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、k>-2

k+2

【分析】根据条件反比例函数丁=宇的图象在一、三象限，可知k+2>0,即可求出k的取值.

3x

k+D

【详解】解：•・•反比例函数,，=二上的图象在一、三象限，

Ak+2>0,

k>-2

故答案为：k>—2

【点睛】

难题考察的是反比例函数的性质，图象在一三象限时k>0,图象在二四象限时k<0.

14、%-2出

3

【分析】连接OB和AC交于点D,根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及NAOC的度数，然后求出菱形ABCO

及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案.

【详解】连接OB和AC交于点D,如图所示：

c

•.•圆的半径为2,

.,.OB=OA=OC=2,

又四边形OABC是菱形,

/.OB±AC,OD=-OB=L

2

在RtACOD中利用勾股定理可知:CD=V22-l2=G,AC=2CD=2G

sinZC(9D=—=—

OC2

.*.ZCOD=60",ZAOC=2ZCOD=120",

：•S菱形ABCO=-OBxAC=-x2x2^=2>/3

22

__120.4x4_4万

s…=7

则图中阴影部分面积为Sfi»AOC_sg®ABCO=-------2-\/3

故答案为f-2g

【点睛】

本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积和扇形的面积，有一定的难度.

6

15、―71+1.

5

[08

【详解】解：,五边形ABCDE为正五边形，AB=L：.AB=BC=CD=DE=EA=1,NA=NO=108。，BE=CE=——

180

3„__6

•nAB=-7T,.'C阴a影=3E+CE+BC=14+1・

故答案为1乃+1.

16、27r.

【解析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半，依此公式计算即可：圆锥的侧面积=LX2X2〃=2%.

2

17、1

【解析】分析：设方程的另一个根为m,根据两根之和等于-2,即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结

a

论.

详解：设方程的另一个根为m,

根据题意得：l+m=3,

解得：m=l.

故答案为1.

点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-2是解题的关键.

a

18、1

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

【详解】解：•••NA是锐角，且sinA='，

2

:.ZA=1°.

故答案为L

考点：特殊角的三角函数值.

三、解答题（共78分）

19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=1.

【分析】（D根据垂径定理可得4。=。，得尸。是AC的垂直平分线，可判断出抬=PC；

（2）由尸C=R1得出ND1C=NPC4,再判断出NACB=90。,得出NCAB+NCJ5A=90。,再判断出/PC4+NCA5

=90°,得出/C48+NR1C=9O°,即可得出结论；

（2）根据A5和OF的比设AB=3a,DF=2a,先根据三角形中位线可得0。=4,从而得结论.

【详解】（1）证明•••OO_LAC,

：.AD=CD,

二尸。是AC的垂直平分线，

：.PA=PC,

（2）证明：由（1）知：PA=PC,

:.NPAC=NPCA.

是。。的直径，

AZACB=90",

：.ZCAB+ZCBA=90a.

又•：NPCA=NABC,

：.ZPCA+ZCAB=90°,

：.ZCAB+ZPAC=90°,BPABLPA,

.•.»!是。。的切线；

(3)解：'：AD=CD,OA=OB,

：.OD//BC,0D=-BC=-xS=4,

22

..AB_3

•二，

DF2

设A5=3”，DF=2a,

•:AB=EF,

:・DE=3a-2a=a,

3cl

；.OD=4=——-〃，

2

a=l,

：.DE=1.

【点睛】

本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.

2x15

20、(1)@(§)；(2)y=^—(1,,x<2)；(3)-或一.

2-x54

【分析】(D作于M,交DG于N,如图，利用三角函数的定义得到”=2,设,BM=t,则AM=2r,

BM

利用勾股定理得(2。2+/=(2后)2,解得f=2,即8W=2,4W=4,设正方形的边长为X,贝！JAE=2X,AF=3x,

GF1

由于tan/GAF=—=—,则可判断NGAF为定值；再利用DG//AP得到NBDG=N84C,则可判断N3DG为

AF3

定值；在RtAiBMP中，利用勾股定理和三角函数可判断必在变化，在变化，P尸在变化；

(2)易得四边形OEMN为矩形，则NM=DE=x,证明AaDGsABAP,利用相似比可得到y与x的关系式；

(3)由于NAFG=NPEG=90°，APFG与A4FG相似，且面积不相等，利用相似比得到尸尸=,讨论：当点P

In2x1022rR

在点F点右侧时，则AP=TX,所以=当点P在点F点左侧时，则AP=「x,所以^—=-%,然

32-x332-x3

后分别解方程即可得到正方形的边长.

【详解】(1)如图，作BM_LAC于M,交。G于N,

,,,…八AMc

在RtAABM中，cotABAC=---=2,

BM

设=则AM=2r,

vAM2+BM2=AB2>

/.(2/)2+r2=(2>/5)2,解得f=2,

**•BM=2，AM=4,

设正方形的边长为x,

在RtAADE中，Vcot/DAE==2,

DE

:.AE=2x9

/•AF=3x,

丫1

在RtAGAf1中，tan^.GAF==—=—,

AF3x3

NG4F为定值；

■:DG//AP,

:./BDG=4BAC,

二N8OG为定值；

在P1ABMP中，PB=-PM2，

而尸M在变化，

二/归在变化，在变化，

二P尸在变化，

所以N6OG和NG4c是始终保持不变的量；

故答案为：④⑤

(2)VMN1AP,DEFG是正方形,

二四边形0EWV为矩形，

:.NM=DE—x,

■:DG//AP,

:.NBDGs岫AP,

.DGBN

…三小，1<2)

(3)VZAFG=ZPFG=90°,APFG与AAFG相似，且面积不相等,

.•.2=”,即'”，

AFGF3xx

：.PF=-x,

3

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF=-x+3x=-x,

33

.2x10

•.------=---X9

2—x3

7

解得x=M，

1Q

当点P在点F点左侧时，AP=AF-PF=3x一一x=-x,

33

.2x8

・・------=—x,

2—x3

解得x=*,

4

【点睛】

本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.

21、（1）x22或x<0.⑵P（-6,0）或（2,0）.

【分析】（1）根据函数图象即可得出答案

（2）由已知条件得出点C的坐标为（2,5）,再利用B,C的坐标求出直线AC的解析式，可求出A的坐标为（-2,0）,

由已知条件得出三角形POQ的面积为5,则三角形PAC的面积为10,再利用三角形面积公式可求出PA的值，进而

确定P点的坐标.

【详解】解：（1）由已知图象得出，

当x<0时，y<0,

当x=2时，y=5,，xN2时，y45

所以，x的取值范围为：尤之2或工<0.

（2）・••CDly轴于点D,CD=2..-.C点的横坐标为2.

把x=2代入反比例函数y=3，得y=J=5,;.C（2,5）.

设直线AC的解析式为y=kx+b,

5

r.5<KL=一

5/、b=—4

把B（0,5）,C（2,5）代入2，得;

22k+b=5b=）

1I2

•••直线AC的解析式为y=

y=>解得x=_2.

.-.A（-2,0）

••・PQ，x轴，点。在反比例函数y=W的图象上

X

•'•S"o°=gxl0=5

•0^PAC•0^POQ-乙

S^PAC=10

则;%.以=10,

2x10“

/.PnA4=------=4

5

P(FO)或(2,0).

【点睛】

本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，用到的知识点有一次函数的图象与二次函数的图象与性质，此类题

目往往需要利用数形结合的方法来求解.

22、(1)-；(2)①菱形，理由见解析；②AM=^,MN=M0；(3)1.

299

【分析】(1)利用相似三角形的性质求解即可.

(2)①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

②连接A4'交MN于。.设AM=MA'=x,由MA'//AB,可得"土=也，由此构建方程求出x,解直角三角

ABCA

形求出OM即可解决问题.

(3)如图3中，作于H.想办法求出NH,CM,利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可.

【详解】解：(1)如图1中，

在RtZkABC中，VZC=90°,AC=4,BC=3,

•••48=sjAC2+BC2=A/42+32=5'

：NA=NA,NANM=/C=90°,

：AANMs丛ACB,

.AN_AM

''^C~~AB'

1

'：AN=-AC

2

.1_AM

••一=9

25

5

：.AM=~.

图⑴

(2)①如图2中,

'：NA'//AC,

:.NAMN=NMNA',

由翻折可知：MA=MA',NAMN=NNMA',

:.NMNA'=NA'MN,

：.A'N=A'M,

：.AM=A'N,'：AM//A'N,

•••四边形AMA'N是平行四边形，

'：MA=MA',

四边形AMA'N是菱形.

②连接44'交MN于。设=x,

"：MA'//AB,

：.^ABC^^MA'C

.MA'_CM

''~AB~~CA'

.x_4-x

••一=,

54

解得了=2=0，

20

：.AM=——

9

：.CM=—

9t

•••CA'7MA1-CM?=

•,•A4=VAC2+C4'2=

•.•四边形AMA'N是菱形,

图(2)

(3)如图3中，作NZLL5C于

NH//AC,

△ABC^ANBH

NHBNBH

ACAB3

NH2BH

453

86

NH=~,BH=-

55

69

CH=BC-BH=3-

55

624

AM=—AC=——,

71

244

CM=AC-AM=4-----=—

77

VCM//NH,

.,.△CPM^AHPN

•PC_CM

••丽―丽’

9=

：.PC=1.

图(3)

【点睛】

本题考查了相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点，综合性较强,

难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点.

23、(1)见解析；(2)AD=i.

【分析】(1)根据切线的性质和等腰三角形的判定证明即可；

(2)根据含10°角的直角三角形的性质解答即可.

【详解】(1)证明：连接OD,

VZDAC=10°,AO=OD

.".ZADO=ZDAC=10°,ZDOC=60°

TBD是。O的切线，

.*.OD±BD,即NODB=90。，

.,.ZB=10°,

，NDAC=NB,

.,.DA=DB,

即AADB是等腰三角形.

(2)解：连接DC

A0CB

VZDAC=ZB=10°,

.".ZDOC=60°,

VOD=OC,

.'.△DOC是等边三角形

•••(DO的切线BD交AC的延长线于点B,切点为D,

，BC=DC=OC=G，

•••AD=4AC2-DC2=7(2>/3)2-(^)2=3•

【点睛】

本题考查切线的判定和性质，解题的关键是根据切线的性质和等腰三角形的判定，以及勾股定理进行解题.

24、(1)尸。是。。的切线.证明见解析.(2)1.

【解析】试题分析：(1)连结OP,根据圆周角定理可得NAOP=2NACP=120。，然后计算出NPAD和ND的度数，进

而可得NOPD=90。，从而证明PD是。O的切线；

(2)连结BC,首先求出NCAB=NABC=NAPC=45。，然后可得AC长，再证明△CAE^ACPA,进而可得一=—,

CPCA

然后可得CE«CP的值.

试题解析：(D如图，PD是OO的切线.

证明如下:

连结OP,VZACP=60o,.,.ZAOP=120°,VOA=OP,ZOAP=ZOPA=30°,VPA=PD,ZPAO=ZD=3