二次函数与一元二次方程、不等式专题复习与训练

《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》专题复习与训练第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养.掌握一元一次不等式的解法(重点)..能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.【新课导入】I新知初探工j.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不竺小等式..一元二次不等式的一般形式(1)ax2+bx+c>0(a=0).(2)ax2+bx+c三0(a=0).(3)ax2+bx+c<0(aW0).(4)ax2+bx+cW0(a=0).思考1：不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式..一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.思考2：类比“方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立..三个“二次”的关系

设y=ax2+bx+c(a>0),方程axz+bx+c=0的判别式△=b2—4ac判别式 A>0 A=0 A<0解不等式y>0或y<0的步骤求方程丫=0的解有两个不相等的实数根x」x2（x1<x2）有两个相等的实数根x1=x2=—b2a没有实数根画函数y=ax?+bx+c(a>0)的图象坏土V义得等的集不式解y>0{xlxVx1或x>xjlxXW一旦¥,型iRy<0{xx<x<x}T 200思考3：若一元二次不等式ax2+x—1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件?|a>0,则1l1+4a<0,提示:结合二次函数图象可知，若一元二次不等式|a>0,则1l1+4a<0,解得a£。，所以不存在a使不等式ax2+x—1>0的解集为R.匚盘］过身手_J1.不等式3+5x—2xzW0的解集为（）1x>3或x<一豆B.ixWxW3B.ixWxW3C.1xxN3或xW—.D.[3+5x—2x2W002x2—5x—3三00(x—3)(2x+1)三00xN3或xW一2.不等式32.不等式3x2—2x+1>0的解集为（）1—1<X<-oC.0jx1<x<l1—1<X<-oC.0D.RD［因为△=(—2)2—4X3X1=4—12=—8<0,所以不等式3x2—2x+l>0的解集为R.］.不等式X2—2x—5>2x的解集是.{x［x>5或x〈一1}［由X2—2x-5>2x,得X2—4x-5>0,因为X2—4x—5=0的两根为一1,5,故X2—4x—5>0的解集为{x|x〈一1或x>5}.］.不等式一3X2+5X—4>0的解集为.0［原不等式变形为3x2—5x+4<0.因为△=(—5)2—4X3X4=—23<0,所以3x2—5x+4=0无解.由函数y=3x2—5x+4的图象可知，3x2-5x+4<0的解集为【合作探究】一元二次不等式的解法类型1【例1】解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0；/、 81、(2)—4x2+18x—1三0；(3)—2x2+3x—2<0.［解］(1)因为A=72—4X2X3=25〉。，所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x=—3,x=一：.又二次函数y=2xz+7x+3的图象开口向上，所以原不1 2Z⑵原不等式可化为2x9\2J<0,所以原不等式的解集为x⑵原不等式可化为2x9\2J<0,所以原不等式的解集为x9x=-(3)原不等式可化为2X2—3x+2>0,因为A=9—4X2X2=—7<0,所以方程2x2—3x+2=0无实根，又二次函数y=2x2—3x+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.◎跟踪训练1.解下列不等式(1)2x2—3x-2>0；⑵x2—4x+4>0；—x?+2x—3<0；—3x2+5x—2>0.[解](1)・・・八>0,方程2x2—3x—2=0的根是x=—J,x=2,1 2 2•・不等式2x2—3x—2>0的解集为卜x<一；或x>2 ].(2)VA=0,方程x2—4x+4=0的根是x1=x2=2,•・不等式x2—4x+4>0的解集为｛x|x/2).(3)原不等式可化为xz—2x+3>0,由于A<0,方程xz—2x+3=0无解，•・不等式一xz+2x—3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2—5x+2<0,2由于4>0,方程3x2—5x+2=0的两根为x=弓，x=1,13 2・•・不等式一3x2+5x—2>0的解集为｛x|<x<1[.含参数的一元二次不等式的解法、类型2/［例2］解关于x的不等式ax2-(a+l)x+l<0.［思路点拨］①对于二次项的系数a是否分a=0,a<0,a>0三类进行讨论？②当a/0时，是否还要比较两根的大小？［解］当a=0时，原不等式可化为x>l.当a/0时，原不等式可化为(ax—1)(x—1)<0.当a〈0时，不等式可化为x—［(x—1)>0,ka7v1<L・・・x</x>l.(n当a〉0时，原不等式可化为x—1(x-l)<0.ka7若％,即a>l,则Lx<l；a a若』=1,即a=l,则x£Qa若工>1,即0<a<l,则l<xj.a a综上所述，当a<0时，原不等式的解集为［卜或x>"；当a=0时，原不等式的解集为｛x|x>l｝；当0<a<l时，原不等式的解集为卜l〈x(］；当a=1时，原不等式的解集为。；当@>1时，原不等式的解集为1x，<x<lj.解含参数的一元二次不等式的一般步骤

提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并.跟踪训练2.解关于x的不等式：ax2—2三2x—ax(a<0).［解］原不等式移项得axz+(a—2)x—2三0,化简为(x+1)(ax—2)三0.,.、(2、一・・・a<0,・・・(x+1)x——<0.a)当一2<a<0时，—<x<一1；a当a=-2时，x=—1；2当a<一2时，一1<x<—.a综上所述，当一2<a<0时，解集为卜|<xW—1 ］；当a=—2时，解集为｛x|x=—1｝；当|<—2时，解集为卜—1<x<|］.三个“二次”的关系M型3［探究问题］.利用函数y=x2—2x—3的图象说明当y>0、y<0、y=0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系?提示：y提示：y=X2—2x—3的图象如图所示.函数y=X2—2x—3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y=X2—2x—3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合｛x|x<—1或x>3｝；同理，满足y<0时x的取值集合为｛x|—1<x<3｝,满足y=0时x的取值集合，亦即y=x2-2x-3图象与x轴交点横坐标组成的集合｛—1,3｝.这说明：方程ax2+bx+c=0(a=0)和不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax?+bx+c<0(a>0)是函数y=ax2+bx+c(a/0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y=0时，函数y=ax2+bx+c(a=0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式..方程x2-2x-3=0与不等式x2-2x-3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x2-2x-3=0的解集为｛-1,3｝.不等式x2-2x-3>0的解集为｛x|x<-1或x>3｝，观察发现不等式x2-2x-3>0解集的端点值恰好是方程x2-2x-3=0的根..设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为｛xlxVx】或x>xj,｛xlxJxVxjajx),则xj+xjxe为何值？提示：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别即不等式的解,bx+x=--,J1 2a即不等式的解为{x|x<x或x>x},{x|x<x<x}(x<x),则U1 2 1 212 cxx二一，12a集的端点值是相应方程的根.【例3】 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|2<x<3｝,求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.

［思路点拨］由给定不等式的解集形式确定a［思路点拨］由给定不等式的解集形式确定a<0及关于a，b，c的方程组用a表示b,c代入所求 求解cx2+bx+a<0一|不等式|一|的解集［解］法一：由不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|2<x<3｝可知，a<0,且2bc和3是方程axz+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知g=-5,二=6.由a<0aa.b—5 ba 5.1知c<0，c=丁故不等式cx2+bx+a<0，即x2+cx+c>0，即*—|五|>0，解得x<（或x>2，所以不等式cxz+bx+a<0的解集为卜xV，或x〉1法二：由不等式axz+bx+c>0的解集为｛x|2<x<3｝可知，a<0，且2和3是方程@*2+匕乂+。=0的两根，所以ax2+bx+c=a(x—2)(x—3)=ax2—5ax+6aob1丫

3人<0， 1丫

3人<0，=-5a，c=6a，故不等式cx2+bx+a<0，即6ax2—5ax+a<006axI故原不等式的解集为卜x<1或x>；母题探究］1.（变结论）本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2—bx+a>0的解集. b c［解］由根与系数的关系知二=—5,1=6且a<0.aab5・・.c<0，c=—6,故不等式cx2—bx+a>0，b,a,-xH--<0,即x2+|xb,a,-xH--<0,即x2+|x即x2cc2.（变条件）若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|2<x<3｝变为“关于x的不等式axz+bx+cM的解集是，x-j<x<2，.求不等式cxz+bx+a<0的解集.

TOC\o"1-5"\h\zf1 1 f1［解］法一：由axz+bx+cNO的解集为x— 知aVO.又一万J J I。C r,X2=-<0,则c>0.又一(2为方程ax2+bx+c=0的两个根,O・b_5eb__5•'一「I'・,£=一§,・,•不等式变为一JX2+--ax+a<0,即2ax2+5ax—3a>0.又・.泡<0,.・.2x2+5x—3<0,法二:由已知得a<0且一鼻+2=法二:由已知得a<0且一鼻+2=X2=一知c>0,TOC\o"1-5"\h\z设方程cx2+bx+a=0的两根分别为x,x,1 2, b a贝l］x+x=-—,X•X=一，b(口—— ——2ba13厂1_1__5c=~^=( —=(IV2=一Q- -tX2-Tf 1，不等式cx2+bx+a<0的解集为x—3<x<-规律方法

已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.匚课堂4』.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a〉0)；②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根，并画出对应函数y=axz+bx+c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m<n时，若(x—m)(x—n)>0,则可得｛x|x>n或x<m｝；若(x—m)(x—n)<0,则可得｛x|m<x<n｝.有口诀如下：大于取两边，小于取中间..含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(△>0),一根(△=0),无根(A<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2,x1<x2..由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.【课堂达标】.思考辨析(1)mx2—5x<0是一元二次不等式.( )⑵若a>0,则一元二次不等式axz+1>0无解.( )

(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,xjxjx),则一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为｛x|x1<x<x2｝.( )(4)不等式xz—2x+3>0的解集为R.()［提示］(1)错误.当m=0时，是一元一次不等式；当m/0时，是一元二次不等式.(2)错误.因为a>0,所以不等式axz+1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误.当a>0时，axz+bx+c<0的解集为｛xlx^xVxJ,否则不成立.(4)正确.因为八=(—2)2—12<0,所以不等式x2—2x+3>0的解集为R.［答案］(1)X(2)X(3)X(4)J一 (八 .设a<—1,则关于x的不等式段『巾—)<0的解集为——x<a或x〉1aTOC\o"1-5"\h\z一x<a或x〉1a［因为a<—1,所以a(x—a)・x—-<01a)(a)・x1…(a)・x11>0.又a<—1,所以一>a，所以x>-或x<a.］a) a a.已知关于x的不等式axz+bx+c<0的解集是卜x<—2或x>—1 1,则ax2—bx+c>0的解集为1<x<2-2+(1、1<x<2-2+(1、(—2)X［由题意，一2,1是方程axz+bx+c=0的两个根且a<0,_1、__b2)-a，(1、c—2-，12)a解得a=c,b=|a.所以不等式ax2—bx+c>0,即为2x2—5x+2<0,解得1<x<2,即不等式ax2-bx+c>0的解集为卜；<x<2J.］.解下列不等式：(1)x(7—x)三12；(2)x2>2(x—1).［解］(1)原不等式可化为xz—7x+12W0,因为方程x2—7x+12=0的两根

为x1=3,x2=4,所以原不等式的解集为{x|3WxW4}.(2)原不等式可以化为xz—2x+2>0,因为判别式八=4—8=—4<0,方程xz—2x+2=0无实根，而抛物线y=x2—2x+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.《一元二次不等式及其解法》专题训练［合格基础练］一、选择题1.不等式9xz+6x+1W0的解集是(B.ixA.卜xB.ixC.D.IC.D.Ix1x=—3D [(3x+1)2<0,.•・3x+1=0,，x=—..]32.若集合A2.若集合A={x|(2x+1)(x—3)<0}B={x|x£N*,xW5},则AnB等于()A.{1,2,3}B.{152}C.{455}D.{1,2,3,4,5}A.{1,2,3}B.{152}C.{455}D.{1,2,3,4,5}3.若3.若0<t<1,则不等式(x—t)A.Jx；<x<t[(2x+1)(x—3)<0,A—j<x<3,又x£N*且xW5,则x=1,2.](1、 .x—t<0的解集为(I t7B.lxx〉；或x<t

x<t或x<t或x>t1t<x<-LD[0<t<1时，t<：,・••解集为卜t<x<t[.]4.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为一2,3,a<0,那么axz+bx+c>0的解集为(){x{x|x>3或x<—2}C.{x|—2<x<3}{x|x>2或x<—3}D.{x|—3<x<2}b cC[由题意知，一2+3=—,—2X3=—,，b=—a,c=—6a,a a，ax2+bx+c=ax2—ax—6a>0,\*a<0,Ax2—x—6<0,・・・(x—3)(x+2)<0,・・・一2<x<3.]5.在R上定义运算“。"：aOb=ab+2a+b,则满足x0(x—2)<0的实数x的取值范围为()A.0Vx<2 B.—2<x<1C.x<—2或x>1 D.—1<x<2B[根据给出的定义得，x0(x—2)=x(x—2)+2x+(x—2)=x2+x—2=(x+2)(x—1),又x0(x—2)<0,则(x+2)(x—1)<0,故不等式的解集是一2<x<1.]二、填空题.不等式一x2—3x+4>0的解集为.{x|—4<x<1}[由一x2—3x+4>0得x2+3x—4<0,解得一4<x<1.].若关于x的不等式一3x2+2x>mx的解集是{x|0<x<2},则实数m的值是.1[将原不等式化为1x2+(m—2)x<0,即x(x+2m—4)<0,故0,2是对应方程x(x+2m—4)=0的两个根，代入得m=1.].已知集合A={x|3x—2—x2<0},B={x|x—a<0},且BA,则a的取值范围为.{a|aW1}[A={x|3x—2—X2<0}={x|x2—3x+2>0}={x|x<1或x>2},B={x|x<a}.若BA,如图，则aW1.。। 」■,,,］三、解答题.求下列不等式的解集：x2—5x+6>0；--x2+3x—5>0.［解］(1)方程x2-5x+6=0有两个不等实数根5=2,3=3,又因为函数y=x2-5x+6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为⑵0)和(3,0),其图象如图(1).根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}.(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,对于方程x2-6x+10=0,因为△=(-6)2-40<0,所以方程无解，又因为函数y=x2-6x+10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为.(I) ⑷10.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0.[解]原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0,讨论a+1与2(a-1)的大小(1)当a+1>2(a-1),即a<3时，x>a+1或x<2(a-1).(2)当a+1=2(a-1),即a=3时，x/4.(3)当a+1<2(a-1),即a>3时，x>2(a-1)或x<a+1,综上：当a<3时，解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)},当a=3时，解集为{x|x/4},

当a>3时，解集为{x|x>2(a—1)或x<a+1}.［等级过关练］1.不等式mx2-ax-1>0（m>0）的解集可能是（）A.jxx<-1或x>4j B.Rxl-1<x<lA[因为A=a2+4m>0,所以函数y=mx2—ax—1的图象与x轴有两个交点，又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D,故选A.］2.关于x的不等式axz+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则关于x的不等式bx2-ax-2>0的解集为（）{x|-2<x<1}{x|x>2或x<-1}{x|x>1或x<-2}{x|x<-1或x>1}C［Vax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},2一=—2,ab二1a|a=-1,解得h二1,.,.bx2—ax—2>0,即x?+x—2>0,解得x>1或x<-2.]3.已知不等式3.已知不等式ax2-bx-1N0的解集是jx，则不等式x2-bx-a<0的解集是{x|2<x<3）［由题意知一［-《是方程ax2-bx-1=0的根，且a<0,由23根与系数的关系，得—,解得a=—6,b=5,，不等式X2一bx—a<0,即为X2—5x+6<0的解集为{x|2<x<3}.］4.设不等式X2—2ax+a+2W0的解集为A,若Au{x11WxW3},则a的取值范围为.—l<aW=［设y=X2—2ax+a+2,因为不等式X2—2ax+a+2W0的解集为A,且A/{x|lWxW3},所以对于方程X2—2ax+a+2=o.若A=0,则A=4a2-4(a+2)<0,即a?—a—2<0,解得一l<a<2.若AW。，△=422—4(a+2)三0,12—2a+a+220,贝U32—3X2a+a+2N0,lWaW3,aN2或a《一l,a<3,即］a^—,lWaW3,所以5综上，a的取值范围为一55.已知M是关于x的不等式2*2+(33—7"+3+a—2@2<0的解集，且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.［解］原不等式可化为(2x-a-1)(x+2a-3)<0,由x=0适合不等式得(a+1)(2a—3)>0,3所以a<—1或a>-

若@<-1,则一2a+3=5（—a+1）>5,乙 乙a41所以3—2a>T,乙此时不等式的解集是4此时不等式的解集是4xa+1 I-2-<x<3—2a 卜3 a+15 5若@>5，由一2a+3 --=5（—a+1）<一『乙 乙乙 <t所以3-2a<:,乙此时不等式的解集是｛x3—2a<x<? （a+1 \ 3 综上，当a<—1时，原不等式的解集为「厂，3—2a,当a>5时，原不等式I2 7 2 （的解集为3—2a,I第2课时一元二次不等式的应用学习目标核心素养.掌握一兀一次不等式的实际应用（重点）..理解三个“二次”之间的关系..会解一元二次不等式中的恒成立问题（难点）..通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养..借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.【新课导入】I新知初探_j.分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式

类型同解不等式ax+b/ 、—T3>0«0)cx+d(其中a,b,c,~为常数),11,法一：,ax+b>0(<0)[cx+d>0 或,ax+b<0(>0)、cx+d<0法二：(ax+b)(cx+d)>0(<0)ax+b, 、,^^0«0)cx+d/、,11,1法一：[ax+bN0(W0)[ax+d>0 或ax+bW0(三0)、cx+d<0法二：'(ax+b)(cx+d)三0(W0)、cx+d=0（<k]axE>k三女（其中k为非零实数）Cx--1~d- 卜,1wM先移项通分转化为上述两种形式一..x—3.. 、， x—3 、，思考1：：,°>0与(x3)(x+2)>0等价吗？将丫,。>0变形为&3)(x+2)>0,x+2 x+2有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式..（1）不等式的解集为R（或恒成立）的条件不等式ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0a=0b=0,c>0b=0,c<0a/0fa>0[△<0fa<0[△<0⑵有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

设二次函数若axz+bx+cWk恒成立=y<ky=axz+bx+c若axz+bx+cNk恒成立=yi三k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤（1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系.（2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）.（3）解不等式（或求函数最值）.（4）回扣实际问题.思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.1.若集合A={1.若集合A={x|—1W2x+1W3},B=x—21——<0x，则AnB等于（）A.{x|—1<x<0} B.{x|0<x<1}C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}B[VA={x|—1<x<1},B={x|0<xW2},，AnB={x|0<x<1}.]x412.不等式--三5的解集是x2.0<x<4x(4x—1)0<x<4x(4x—1)<0,解x/0,[原不等式=丁三7=\<°=得0<x<|.].不等式x?+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是.a>4或a<—4[Vx2+ax+4<0的解集不是空集，即不等式xz+ax+4<0有解，・・・A=a2—4X1X4>0,解得，a>4或a<—4.].在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 ’300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值 豕:血范围是. I-如nT'

x40—y一{x|10WxW30}［设矩形高为y,由三角形相似得：.=40，且x>0,y>0,x<40,y<40,xy三300,整理得y+x=40,将丫=40—乂代入乂丫三300,整理得x2—40x+300W0,解得10WxW30.］【合作探究】分式不等式的解法类型1【例1】解下列不等式:(1)x—3

x+2(1)x—3

x+2<0;x+1

2x—3<1.x—3［解］(1)^^<00(x—3)(x+2)<0Q—2<x<3,x2・•・原不等式的解集为{x|—2<x<3}./\ x+1⑵;一W1,x+1rzc2x—3—1\0，—x+42x—3<0,x—4即一3三0.x—2此不等式等价于(x此不等式等价于(x—4)(3\

x—I 273三0且x一$力0,3解得x<2或xN4,・•・原不等式的解集为卜x<|或xN4规律右推Xl-A--ft—Al—J

.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零..对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练x+1 5x+11.解下列不等式：⑴三.⑵E<3.x*1［解］(1)根据商的符号法则，不等式三三0可转化成不等式组x—3(x+1)(x—3)三0,x/3.解这个不等式组，可得xW—1或x>3.即知原不等式的解集为{x|xW—1或x>3}.⑵不等式5x+1

x+1<3⑵不等式5x+1

x+1<3可改写为5x+1

x+13<0,2(x—1)

x+1<0.可将这个不等式转化成2(x—1)(x+1)<0,解得一1<x<1.所以，原不等式的解集为{x|—1<x<1}.元二次不等式的应用【例2元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.［思路点拨］将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8—x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1+2x%)吨，”原计划的78%”即为2400mx8%X78%.［解］设税率调低后“税收总收入”为y元.y=2400m(1+2x%)・(8—x)%12,. 、，一、=一后m(X2+42x—400)(0<xW8).25依题意，得yN2400mx8%X78%,12即——m(x2+42x—400)^2400mx8%X78%,25整理，得xz+42x—88W0,解得一44WxW2.根据x的实际意义，知x的范围为0<xW2.求解一元二次不等式应用问题的步骤跟踪训练2.某校园内有一块长为800m,宽为跟踪训练2.某校园内有一块长为800m,宽为600m的长方形地面，现要对该地面解不绊式，得钊数学结沦，要注践数学模型中元源的实际意义阅读理斛、认其审噩.把握问题中的关键发找桂不等关系同打实际问题,将数学结沦还原为实际同题的给果将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等美系，不立相应的数学模型进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.［解］设花卉带的宽度为xm(0<x<600),则中间草坪的长为(800—2x)m,宽为(600—2x)m.根据题意可得(800—2x)(600—2x)三1义800义600,整理得x2—700x+600X100三0,即(x—600)(x—100)三0,所以0<xW100或xN600,xN600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为0<xW100.不等式恒成立问题［探究问题］1.若函数丫=@乂2+2乂+2对一切x£R,f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a=0,显然y>0不能对一切x£R都成立.所以a/0,此时只有二次函数y=ax2+2x+2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，|a>0, 1才满足题意，则L 。小 解得a》》［△二4—8a<0, 22.若函数y=x2—ax—3对一3WxW—1上恒有x2—ax—3<0成立，如何求a的范围？提示：要使x2—ax—3<0在一3WxW—1上恒成立，则必使函数y=x2—ax—3在一3WxW—1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足1(—3>+3a—3<0, 13a+6<0,1(-1X+a-3<0, 11a-2<0,解得a<—2.故当a<一2时，有f(x)<0在一3WxW—1上恒成立.3.若函数y=xz+2(a—2)x+4对任意一3WaW1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x,所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y=2x-a+x2—4x+4.要使对任意一3WaW1,y<0恒成立，只需满足2x+x2—4x+4<0(—3)X2x+x2—4x+4<0,|x2—2x+4<0,即《lx2—10x+4<0.因为x2—2x+4<0的解集是空集，所以不存在实数x,使函数y=xz+2(a—2)x+4对任意一3WaW1,y<0恒成立.【例3】已知y=x?+ax+3—a,若一2WxW2,x?+ax+3—a三0恒成立，求a的取值范围.［思路点拨］对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问

题，可以利用函数的图象与性质求解.［解］设函数y=x2+ax+3—a在一2<x<2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a),则(1)当对称轴x=—5<—2,即a>4时，g(a)=(—2)2+(—2)a+3—a=7—73@三0,解得@<于与a>4矛盾，不符合题意.3(2)当一2<一《<2,即一4<a<4时，g(a)=3—a—§三0,解得一6<a<2,乙 X.此时一4<a<2.a(3)当一］>2,即a<—4时，g(a)=2z+2a+3—a=7+a三0,解得a三一7,乙此时一7<a<一4.综上，a的取值范围为一7<a<2.母题探究］.(变结论)本例条件不变，若y=X2+ax+3—aN2恒成立，求a的取值范围.［解］若一2<x<2,xz+ax+3—aN2恒成立可转化为:当一2<x<2时，丫出三2a5<一2,乙iy=(—2/—2a+3—a=7—3a三2,min或|a

—2<--<2,乙(a\或|a

—2<--<2,乙(a\--2+a•2)—+3—a=3—a2)a2『2,iy=22+2a+3—a=7+aN2,min解得a的取值范围为一5Wx<—2+2\「..(变条件)将例题中的条件“y=xz+ax+3—a,—2<x<2,yM恒成立”

变为“不等式X2+2x+a2—3>0的解集为R”，求a的取值范围.［解］法一：•・•不等式X2+2x+a2—3>0的解集为R,・•・函数y=X2+2x+a2—3的图象应在x轴上方，，A=4-4(a2—3)<0,解得a>2或a<—2.法二：令y=x2+2x+a2—3,要使x2+2x+a2—3>0的解集为R,则a满足yi=a2—4>0,解得a>2或a<—2.法三：由x2+2x+a2—3>0,得a2>—x2—2x+3,即a2>—(x+1”+4,要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于一(x+1)2+4的最大值，即a2>4,故a>2或a<—2..不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0,c>0；当a当a/0时，a>0,

A<0..不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0,c<0；当a当a/0时，a<0,

A<0..解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.中堂小结.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零..对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)&则a>f(x)恒成立=a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立=a<f(x)min..在某集合A中恒成立问题设y=ax2+bx+c(a=0)若ax2+bx+c>0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).【课堂达标】1.思考辨析(1)不等式1>1的解集为x<1.()x(2)求解m>ax2+bx+c(a<0)恒成立时，可转化为求解y=axz+bx+c的最小值，从而求出m的范围.()1x—1［提示］(1)一>1=——1>0=——<0={x|0<x<1}.故(1)错.xx x(2)m>ax2+bx+c(a<0)恒成立转化为m>ym,故⑵错.［答案］(1)X(2)X.不等式(x+1)(；］：)2(x+3)>0的解集为 .x十4{x|—4<x<—3或x>—1}［原式可转化为(x+1)(x+2)2(x+3)(x+4)>0,根据数轴穿根法，解集为一4<x<—3或x>—1.］.对于任意实数x,不等式(a—2)x2—2(a—2)x—4<0恒成立，则实数a的取值范围是.—2<a<2［当a—2=0,即a=2时，一4<0恒成立；当a—2W0,即a/2时，则有Ja—2<0,［△=［—2(a—2)］2—4X(a—2)X(—4)<0,解得一2<a<2.综上，实数a的取值范围是一2<aW2.］4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？［解］设每盏台灯售价x元，则xN15,并且日销售收入为乂［30—2&—15)］,由题意知，当xN15时，有x[30—2(x—15)]>400,解得：15Wx<20.

所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15WXV20.《一元二次不等式的应用》专题训练

［合格基础练］一、选择题1.11.1—I—x不等式E三°的解集为（C.{x|—IWxWl} D.{x|—1<x<1}［原不等式Ql1Wx〈l.]2.不等式（X—一“a的解集为（）X十i{x|—Kx<2或2<x<3}{x|l<x<3}{x|2<x<3}{x|-l<x<2}［原不等式Q［原不等式Q(x+l)(x-3)<0,x—2N0,fxfx—1>@2,3.不等式组[x-4<2aA.—l<a<3C.13VaVl・•・一l〈x<3且x/2.]有解，则实数a的取值范围是（）B.a<-l或a>3D.aV—3或a>lA[由题意得，82+l<x<4+2a.1•只须4+2a>@2+1,即@2—2a-3<0,

・・・一1<a<3.].二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数的条件是()|a>0b.LIA<0||a>0b.LIA<0|a<0d.LIA<0IA>0|a<0'IA>0D[二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数等价于二次函数y=ax2+|a<0bx+c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要|A<0 .].在R上定义运算。：A0B=A(1—B),若不等式(x—a)0(x+a)<1对任意的实数x£R恒成立，则实数a的取值范围为()A.-1<aA.-1<a<1B.0<a<2C.31D.—2<a<2C.乙乙[V(x—a)O(x+a)=(x—a)(1—x—a),，不等式(x—a)0(x+a)<1,即(x—a)(1—x—a)<1对任意实数x恒成立，即x2—x—a2+a+1>0对任意实数x恒成立，所以A=1—4(—a2+a+1)<0,13解得一5<a<2故选C.]二、填空题.当1<x<2时，不等式xz+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是mW—5[设y=x?+mx+4,要使1<x<2时，不等式xz+mx+4<0恒成立.[1+m+4W0,则有|4+2m+4W。，解得Mf]7.若0<a<1,则不等式(a7.若0<a<1,则不等式(a-x)(Dx一—Ia)>0的解集是xa<x<a[原不等式为(x-a)(nx一—Ia)<0,由0<a<1,得a<一,，a<x<—.］a a8.某地每年销售木材约20万m3,每立方米价格为2400元.为了减少木材5消耗，决定按销售收入的1%征收木材税，这样每年的木材销售量减少5t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是3WtW5［设按销售收入的1%征收木材税时，税金收入为丫万元，则y=251400X20--tXt%=60(8t—t2).1 27令yN900,即60(8t—t2)三900,解得3WtW5.］三、解答题9.若不等式(1—a)X2—4x+6>0的解集是{x|—3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2—a)x—a>0；(2)b为何值时，axz+bx+3三0的解集为R?［解］(1)由题意知1—a<0,且一3和1是方程(1—a)x2—4x+6=0的两根，1—a<0,4K=4K=-2,解得a=3.6G=-3,・••不等式2x2+(2—a)x—a>0,3即为2*2—乂一3>0,解得x<—1或x>7；,・•・所求不等式的解集为・•・所求不等式的解集为4