2023版高考数学一轮复习课件：第七章不等式

第一节不等关系与不等式必备知识—基础落实关键能力—考点突破·最新考纲·了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．·考向预测·考情分析：不等式性质在高考中单独命题较少，多出现在解题过程中，其中不等式性质与指数、对数函数性质结合将是高考的热点，题型以选择题为主．学科素养：通过不等式性质的应用考查逻辑推理的核心素养．必备知识—基础落实一、必记2个知识点1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔________．(2)a＝b⇔a－b＝0.(3)a<b⇔________．a－b>0a－b<0

b<aa>ca＋c>b＋dac>bd

√√×××××

答案：A

答案：A

答案：A

(－π，0)

(四)走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]若a>b，则(

)A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a3－b3>0D．|a|>|b|答案：C解析：由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.关键能力—考点突破

答案：B

2．已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(

)A．M<NB．M>NC．M＝ND．不确定答案：B解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.故选B.

答案：B

反思感悟

用作差法比较两个实数大小的四步曲

答案：(1)D

答案：C

反思感悟不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．

答案：D

考点三利用不等式性质求范围[应用性][例2]

已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．(－4，2)(1，18)解析：∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.一题多变

1．(变条件)将本例的条件改为“－1<x<y<3”，则x－y的取值范围为________．(－4，0)解析：∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4①又∵x<y，∴x－y<0，②由①②得－4<x－y<0，故x－y的取值范围是(－4，0)．2．(变条件)将本例的条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，则3x＋2y的取值范围为__________．

反思感悟利用不等式的性质求取值范围的方法由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x，y)的取值范围．

第二节一元二次不等式及其解法必备知识—基础落实关键能力—考点突破微专题·最新考纲·1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．·考向预测·考情分析：不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下．学科素养：通过一元二次不等式及恒成立问题的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养．必备知识—基础落实一、必记1个知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集________________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅

√√××

答案：D

－14

(三)易错易混4．(不等式变形必须等价)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________．(－5，3)解析：原不等式等价于(x＋5)(x－3)<0，解得－5<x<3，即该不等式的解集为(－5，3)．5．(注意二次项系数的符号)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为_____________．

答案：A

关键能力—考点突破

答案：C

答案：B

反思感悟

解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法[综合性][例1]

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

反思感悟含参数的一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．

{x|x≥3或x≤2}

2．解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．

考点三一元二次不等式恒成立问题[综合性]角度1在R上的恒成立问题[例2]

对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2)

B．(－∞，2]C．(－2，2)D．(－2，2]答案：D

反思感悟

一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度2在给定区间上的恒成立问题[例3]

已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为___________．

角度3给定参数范围的恒成立问题[例4]

若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为___________．

反思感悟给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．

答案：C

2．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(

)A.(－∞，4]B．(－∞，－5)C.(－∞，－5]D．(－5，－4)答案：C

微专题26转化与化归思想在不等式中的应用转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．

答案：D名师点评(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想；函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．[变式训练]

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．9

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识—基础落实关键能力—考点突破·考向预测·考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，主要以选择题和填空题的形式出现．学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数学运算的核心素养．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．必备知识—基础落实一、必记3个知识点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域,不包括________Ax＋By＋C≥0包括________不等式组各个不等式所表示平面区域的________边界直线边界直线公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_______________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对(x，y)有序数对(x，y)3．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的________线性约束条件由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的________解析式可行解满足线性约束条件的解________可行域所有可行解组成的________最优解使目标函数取得________或________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题不等式(组)一次一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值二、必明2个常用结论1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．判断二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(

)(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(

)√√××

答案：C解析：x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．

4

5

1解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.

答案：C

关键能力—考点突破

答案：C

答案：D

答案：B

反思感悟二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)线定界：二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线；(2)点定域：在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，代入不等式检验，若满足不等式，则包含此点的半平面为不等式所表示的平面区域，否则为另一侧所表示的平面区域；(3)交定区：若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，求这些区域的公共部分，这个公共部分即为所求．

答案：C解析：(1)如图，画出可行域(如图，阴影部分含边界)，令z＝2x－y，y＝2x－z.当z＝0时，画出初始目标函数表示的直线y＝2x，当直线平移至点A(0，1)时，z＝2x－y取得最小值zmin＝2×0－1＝－1，根据可行域可知，无最大值，所以2x－y的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：B

2．求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：(1)将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；(2)将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．

一题多变1．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝x2＋y2”改为“z＝x2＋y2＋6x－4y＋13”，如何求解？

答案：D解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，且目标函数仅在点A(2，3)处取到最大值，所以－a<kAB，即－a<1，所以a>－1，故选D.(2)已知实数x，y满足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，3]B．[1，3]C．(－∞，2)D．(2，＋∞)答案：A

反思感悟

由目标函数的最值求参数的方法(1)把参数当常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数求出最值，通过构造方程或不等式求出参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，数形结合确定含参数的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[提醒]

参数可能在表示可行域的不等式中(影响可行域的形状)，也可能在目标函数中(影响最优解的位置)，求解时注意参数的影响，有时需要对参数进行分类讨论．

－28

62

答案：C

考点三线性规划的实际应用[应用性][例4]

某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．5

反思感悟1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【对点训练】[2022·河北省“五个一名校联盟”考试]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(

)A.15万元

B．16万元C．17万元D．18万元

甲乙原料限额A/吨3212B/吨128答案：D

第四节基本不等式必备知识—基础落实关键能力—考点突破微专题

·考向预测·考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中．学科素养：通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．必备知识—基础落实

a>0，b>0a＝b

x＝y小x＝y大

×××√

3

3．[必修5·P100练习T2改编]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____m2.25

3

关键能力—考点突破

5

(2)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为_____．

反思感悟配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

答案：A

反思感悟常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.角度3消元法[例3]

已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则(1)x＋3y的最小值为_____；6

(2)xy的最大值为________．3

反思感悟消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的取值范围．

答案：D