第四讲估计与检验

第四讲估计与检验第1页，共41页，2023年，2月20日，星期三一、区间估计第2页，共41页，2023年，2月20日，星期三总体均值区间估计总体均值置信水平为100(1-α)%的置信区间为：注意：1、估计成立的条件是：样本必须是随机、独立的；2、使用t分布表时，要求总体必须是近似正态的，需对样本作正态性检验；3、置信水平不是概率（置信区间是确定的而不是随机的），可以认为以置信水平（如95%）相信总体均值在执行区间内；或是说，置信水平这一计算方法可以使得置信区间以95%的概率覆盖总体均值。大样本下：方差未知：或小样本下第3页，共41页，2023年，2月20日，星期三例1某小组随机抽样调查了250户家庭的年收入，样本均值为9.8万，样本标准差为4.8万。小组给出一个置信区间（9.2,10.4），但未给出置信水平。1、问该区间的置信水平？（试比较两种分布的情形）2、小组给出解释：该地区家庭平均年收入为9.2~10.4的概率为95%，这种说法对吗？3、若同时有10个小组在进行相同的独立调查，问9个或以上小组得出的95%置信区间都覆盖总体均值的概率是多少？提示：可以将每一个区间是否覆盖总体均值作为一次Bernoulli试验。令Y为覆盖总体均值的全金属区间数，显然Y~Bin(10,0.95)第4页，共41页，2023年，2月20日，星期三单侧置信区间总体均值100(1-α)%的置信区间：下限为：上限为：第5页，共41页，2023年，2月20日，星期三例21、同例1，问总体均值95%置信区间的下限？当置信水平提高时，估计的可靠性将（提高or降低）？精确性将（提高or降低）？第6页，共41页，2023年，2月20日，星期三比例置信区间若X~Bin(n,p)，由中心极限定理传统方法是以样本p代替总体p进行区间估计，最近的研究表明，Agresti–Coull区间有改进，置信水平为100(1-α)%的置信区间计算公式如下：若下限小于0则用0代替，上限大于1则用1代替。第7页，共41页，2023年，2月20日，星期三例3：某企业从所购买的元件中随机抽检了150份，有5份不合格，估计不合格品率95%置信区间。（试用传统方法和Agresti–Coull方法分别计算比较）第8页，共41页，2023年，2月20日，星期三根据指定精度确定所需样本数为获得总体平均100(1-α)%的置信区间，且要求区间宽度不超过D时，则需从这个总体中抽取随机样本数为：总体方差未知的两阶段法：阶段1：从总体中抽取n1个先期样本（如n1=30），计算这个样本的方差S2；阶段2：以S2替代总体未知方差计算所需样本数n，若n>n1，再补抽n–n1

份样本。另：请同学们自行计算确定总体比例所需样本数。第9页，共41页，2023年，2月20日，星期三例4例1中，若要求所获得总体均值99%置信区间的偏差为（+-）0.5万元，问至少要调查多少样本？例3中，若要求所获得总体不合格品率99%置信区间的偏差为（+-）0.5%万元，问至少要抽取多少样本？第10页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个总体均值之差的置信区间根据第三讲的知识，请同学们自行给出大样本情形下的计算公式。小样本不能使用中心极限定理，可以使用t分布，计算公式：第11页，共41页，2023年，2月20日，星期三例5欲比较A、B两医院住院病人的住院天数。随机抽取A医院64个住院病历，计算平均住院天数为6.54天，标准差为1.2；随机抽取B医院81个住院病历，计算平均住院天数为6.24天，标准差为0.96。则两个医院住院病人平均住院天数差的95%置信区间是多少？有人认为两个医院病人的住院时间没有差异，与上述数据矛盾吗？为什么？第12页，共41页，2023年，2月20日，星期三例6随机抽取A、B两地空气污染指数PSI，如下表所示A150146132164126128B9510411299109假设两地空气污染指数都服从正态分布，试估计两地PSI平均差95%置信区间。第13页，共41页，2023年，2月20日，星期三例7有文献给出一项对睡眠习惯的研究结果。在一个由87个成年人组成的样本中，每天躺在床上的平均时间为7.70小时（不管处于清醒状态还是睡眠状态），标准差为1.02小时，其中处于睡眠状态的平均时间为7.06小时，标准差为1.11小时。所以躺在床上的平均清醒时间为7.70-7.06=0.64小时。有可能建立平均清醒时间95%的置信区间吗？如果行，是多少？如不行，为什么？第14页，共41页，2023年，2月20日，星期三例8：数据对的置信区间某轮胎制造商希望比较新、旧材料制成的轮胎的磨损情况。从每种轮胎中各选一个随机安装在10辆前驱汽车左、右前轮上。4万公里后测量磨损情况如下（单位：mm）：12345678910新材料4.355.004.215.035.714.614.706.033.804.70旧材料4.194.624.044.725.524.264.276.243.464.50差值0.160.380.170.310.190.350.43-0.210.340.2问新、旧材料轮胎磨损差值95%的置信区间。第15页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个总体比例之差的置信区间若X~Bin(nx,px)，Y~Bin(ny,py)，则px-py

置信水平为100(1-α)%的置信区间的计算方法为：传统方法：改进方法：第16页，共41页，2023年，2月20日，星期三例9重复交易次数是顾客满意度的一个很好的度量。某企业随机抽取了今年的120个交易账户，有56个订购次数在2次以上。从去年抽取80个样本，有30个订购次数在2次以上。试计算这两年中订购次数在2次以上顾客的比例之差的置信水平为95%的置信区间。第17页，共41页，2023年，2月20日，星期三二、假设检验第18页，共41页，2023年，2月20日，星期三问题1某校新入学学生被随机分配进入高一两个班，人数都是70人，化学课分别由2个老师任教。期末考试的平均分分别是70.5和72.4分，标准差都为5.4分。其中第一个班有一个学生想找第2个班的老师补课，他的选择有道理吗？第19页，共41页，2023年，2月20日，星期三分析每一次考试都包含很多随机因素；老师1可以认为自己的教学水平（以学生考试平均分来测量）为72.4分；老师1可以认为老师2的教学水平其实和自己是一样的，这次考试的结果是因为自己班级发挥不好而对方班级发挥的好。对于这种具有随机性的结果的证明只能寻求统计意义上的检验。第20页，共41页，2023年，2月20日，星期三统计检验检验1：老师1的教学水平达不到72.4。零假设（nullhypothesis，也称原假设）H0：1≥72.4,备择假设（alternatehypothesis）

H1：1<72.4。检验2：老师1与老师2的教学水平有差异。零假设H0：1

-2=0,备择假设H1：1–2

≠0。第21页，共41页，2023年，2月20日，星期三假设检验的概念假设：对总体参数包括总体均值、比例、方差等的一种看法。假设检验：事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立。通常依据统计上的小概率不显著原理而对0假设作反证。0假设：待检验的假设，表示为H0备择假设：与0假设对立的假设表示为H1第22页，共41页，2023年，2月20日，星期三假设检验思想示例图因此我们拒绝假设

=50样本均值抽样分布这个值不像我们应该得到的样本均值20H0如果这是总体的真实均值

μ=50第23页，共41页，2023年，2月20日，星期三P-值（P-Value）首先我们假设0假设成立，P-值是观测到的随机样本与0假设不一致的强度的度量。计算步骤（以均值检验为例）：在0假设H0为真的条件下，求样本均值的分布，这个分布称为的0分布；在0假设为真的条件下，计算观察值与H0不一致（大于、小于或不等于）的概率即为P-值。当P-值充分小（如

），我们就放弃H0，而认为H1成立。判断阈值称为显著水平（significantlevel），当P<，此时我们称在显著水平下拒绝原假设。第24页，共41页，2023年，2月20日，星期三总体均值统计检验对总体和样本的假设同前。对形如H0：≤

0，或H0：≥0，或H0：=0的0假设进行检验，检验统计量为：P-值就是对应分布密度曲线下某一区域的面积，分别对应的是单尾检验（右侧面积），单尾检验（左侧面积），双尾检验（双侧面积）。大样本下：方差未知：或小样本下第25页，共41页，2023年，2月20日，星期三总体比例的统计检验对总体和样本的假设同前。对形如H0：p

≤

p0，或H0：p

≥p0

，或H0：p

=p0

的0假设进行检验，若np0和n(1-p0)都大于10，则有检验统计量为：P-值计算同上。第26页，共41页，2023年，2月20日，星期三例10某有线电视服务商在免费提供了一个月的某付费频道后进行了调查。他们随机抽取了400个家庭组成样本，其中25个家庭愿意付费续订该频道。该公司能够得出结论认为该地区有超过5%的家庭愿意付费观看该频道吗？第27页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个总体均值差的检验对总体和样本的假设同前。对形如H0：X-Y

≤D0

，或H0：X-Y≥D0

，或

H0：X-Y=D0

的0假设进行检验，检验统计量为：大样本下：方差未知：或小样本下或当两总体方差近似相等时，可以采用合并样本方差的方法：第28页，共41页，2023年，2月20日，星期三续P-值计算同上。第29页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个总体比例差的检验设X~Bin(nx,px)和Y~Bin(ny,py)相互独立且nx和ny都很大。对形如H0：pX-pY

≤0，或H0：pX-pY≥0，或

H0：pX-pY=0

的0假设进行检验，检验统计量为：P-值计算同上。第30页，共41页，2023年，2月20日，星期三例11为确定某燃油添加剂是否具有节油的功能，某司机记录了自己的油耗。6箱油的平均油耗为7.4升/百公里，标准差为0.63；使用添加剂后的4箱油平均油耗为7.0升/百公里，标准差为0.75。添加剂价格为200元，问是否有必要使用该添加剂？此外，该实验是否存在瑕疵？第31页，共41页，2023年，2月20日，星期三例12某课题组调查企业项目风险管理的方法。45个建筑企业样本中有17家企业采用了风险转移的方法，38个IT类企业中有16家企业采用了风险转移的方法。你能认为IT企业风险转移比例高于建筑企业吗？第32页，共41页，2023年，2月20日，星期三关于P-值P-值不能证明0假设的真实性；（科学方法本质上是否定虚假）例：某建筑工程师要为桥墩混凝土选定水泥，其抗压强度必须大于0

，在对某一品牌水泥进行多次试验后测度平均值和方差，然后进行假设检验。若他采用的假设检验为：H0：≥0，H1：<0

，计算得到P-值为0.168，他能否采用这一品牌水泥？P-值显著也不一定有现实的意义。例：调查2X200个某一学校两个专业学生毕业一年后平均月工资分别为1587元和1590元，方差都为100，这两个专业的毕业生工资差异显著吗？这种差异有实际意义吗？第33页，共41页，2023年，2月20日，星期三关于显著性水平a的值在固定的a水平下所作判断可能导致两类错误：第I类错误H0为真时拒绝了H0第II类错误H0为假时接受了H0犯第I类错误的概率不会大于a。通常我们选取a足够小，但我们也希望确定第II类错误是可控的，于是定义功效（Power）如下：功效=1-P(第II类错误)功效需在采样之前确定。第34页，共41页，2023年，2月20日，星期三多项分布与c2检验频数分析以下资料是从某工厂搜集而来的缺勤数。在0.05的显著水平之下，试判定一周内每天的缺勤率是否有差异。星期次数期望星期一12089星期二

4589星期三

6089星期四

9089星期五13089合计445445第35页，共41页，2023年，2月20日，星期三检验H0：p1=p2=……p5=1/5，当各单元格的期望次数﹙或理论次数﹚不小于5时，在0假设下有统计量其中：Oi为观察值，Ei为期望值第36页，共41页，2023年，2月20日，星期三列联表（contingencytab