经济数学极限的性质与运算法则

经济数学极限的性质与运算法则第1页，共29页，2023年，2月20日，星期四一、极限的性质定理1（唯一性）若极限定理2（有界性）若极限存在，则函数在某个空心邻域内有界。定理3（保号性）若，则在的某空心邻域内恒有。若且在的某空心邻域内恒有则

一.极限的性质与四则运算法则存在，则极限值唯一。第2页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC

一.极限的性质与四则运算法则二、设,,则.(1)代数和的极限存在,且(2)乘积的极限存在,且..特别地,有(i)常数因子可提到极限符号的前面,即(ii)若是正整数,有.二、极限的四则运算法则第3页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC设,,则(3)

若,商的极限存在,且.要注意极限的四则运算法则使用的前提条件！

一.极限的性质与四则运算法则第4页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC和的极限=极限的和求例1.解由极限的四则运算法则

原式

常数因子可提到极限符号之前.由该题计算结果知，对多项式有,

一.极限的性质与四则运算法则第5页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC不能直接用极限的四则运算法则解显然,分子与分母的极限都是0.原式

求例2应将分子分母分解因式,约去极限为0的公因子商的极限=极限的商

一.极限的性质与四则运算法则第6页，共29页，2023年，2月20日，星期四例3求解：当时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以得到分子分母同时除以分母的最高次项

一.极限的性质与四则运算法则第7页，共29页，2023年，2月20日，星期四例4求解：当时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以得到分子分母同时除以分母的最高次项

一.极限的性质与四则运算法则第8页，共29页，2023年，2月20日，星期四一般地，当时，有理分式（）的极限有以下结果：练习：求下列极限

一.极限的性质与四则运算法则，，．第9页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC

一.极限的性质与四则运算法则解原式例6解：原式例5求第10页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC

一.极限的性质与四则运算法则例7解：原式练习：求下列极限第11页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC

一.极限的性质与四则运算法则答案：第12页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC二.无穷大量与无穷小量

定义1.5

若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中,

为无穷小量．简称无穷小．例如，当时，，，是无穷小量；当时，是无穷小量；当时，，是无穷小量．第13页，共29页，2023年，2月20日，星期四

ESC我们经常用希腊字母，，来表示无穷小量．定理4函数以为极限的充分

必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和．即其中．二.无穷大量与无穷小量

第14页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC二.无穷大量与无穷小量

定义1.6若在自变量的某个变化过程程中,函数是无穷小量,即，则称在该变化过程中，为无穷大量，简称无穷大，记作．第15页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC二.无穷大量与无穷小量

例如，当时，是无穷大量；当时，，是无穷大量；当时，，是无穷大量．当时，是无穷小量，而是无穷大量；当时，是无穷大量，而是无穷小量．这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系．第16页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC二.无穷大量与无穷小量

例8

求．

解

先求分母的极限．,先考虑原来函数倒数的极限.第17页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC二.无穷大量与无穷小量

即是时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到．第18页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC三.无穷小量的性质

性质1.1

有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量．性质1.2

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量．性质1.3

常数乘无穷小量仍是无穷小量．性质1.4

无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量．第19页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC例7

求．解因为，所以是有界变量；根据性质1.2，乘积是无穷小量．即．三.无穷小量的性质

第20页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC四.无穷小量的比较

我们记，，，它们都是时的无穷小量．但，，．第21页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC，，趋于零的情况110100100010000

10.10.010.0010.0001

20.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.00000001四.无穷小量的比较

第22页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC定义1.7

设、是同一变化过程中的两个无穷小量，

(1)若,则称是比高阶的无穷小量．也称是比低阶的无穷小量．

(2)若(是不等于零的常数)，则称与是同阶无穷小量．若，则称与是等价无穷小量．记为～。四.无穷小量的比较

第23页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC思考：1.当时，相比哪一个是高阶无穷小？2、当时，无穷小是否同阶？是否等价？3.下列变量，在趋于何值时是无穷小？在趋于何值时是无穷大？四.无穷小量的比较

第24页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC内容小结

1.极限四则运算法则（注意使用条件）2.求函数极限的方法分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去零因子时,对型，分子分母同除以分母的最高次幂第25页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC内容小结

（3）无穷小量与无穷大量的关系3.无穷小量与无穷大量（2）无穷小量的性质（1）无穷小量与无穷大量的定义4.无穷小量的比较第26页，共29页，2023年，2月20日，星期四ESC课堂练习1.求下列函数的极限2.指出下列变量，当