联立方程模型

联立方程模型第1页，共55页，2023年，2月20日，星期四1前言前面各章所介绍的内容都是以单方程模型为研究对象的。在这些模型中，我们通常称X为自变量或者是外生变量，Y称为因变量，回归分析是使用X的变化解释Y的平均变化。

但是，单方程回归模型并不能研究所有的经济问题，如产品的价格通常会影响需求，需求同样也会影响该产品的价格。

第2页，共55页，2023年，2月20日，星期四2因此，有些变量之间是相互影响、共同决定的，这就是计量经济学所说的变量之间的联立性。本章着重介绍联立方程模型的性质、联立性偏误与检验以及联立方程模型的识别与估计等问题。

第3页，共55页，2023年，2月20日，星期四3§11.1联立方程模型

一、联立方程的概念以牛奶的供求为例。令QS表示牛奶供给量，P表示牛奶销售价格，则牛奶的供给模型可表述为(11.1.1)

其中X表示影响牛奶供给的其他因素，误差项e1表示影响牛奶供给的其他不可观察的随机因素。

方程(11.1.1)为结构方程，系数b被称为是结构系数，e1为结构误差项第4页，共55页，2023年，2月20日，星期四4(11.1.2)为了说明这一点，我们引入牛奶需求模型。答案在于模型中牛奶价格P并不是固定不变的。在市场出清条件下，牛奶价格是由供给和需求共同决定的。

方程(11.1.1)和我们先前所学的单方程模型有什么区别？其中Z表示影响牛奶需求的其他可观察变量，e2为模型扰动项。方程(11.1.2)也为结构方程。第5页，共55页，2023年，2月20日，星期四5由经济学理论我们知道，牛奶需求（或供给）和价格是相互影响的。只有当需求和供给相等时，价格才达到其均衡值：(11.1.3)以上分析可由如下图形给出PQ0Q1Q0SD0D1P0P1Q2第6页，共55页，2023年，2月20日，星期四6因此，价格P是由供给和需求共同决定的。上述三个方程构成了联立方程模型。在联立方程模型中，变量Q和P由方程系统（11.1.1）—（11.1.3）共同决定，这样的变量称为内生变量。变量X和Z是由联立方程模型以外的因素决定的，这样的变量称为外生变量。第7页，共55页，2023年，2月20日，星期四7二、例子：简单的凯恩斯宏观经济模型在一个两部门的产品市场中，我们将消费（Ct）、投资（It）和收入（Yt）模型分别设定为：(11.1.4)(11.1.5)(11.1.6)(11.1.5)(11.1.6)(11.1.4)(11.1.5)(11.1.6)思考：模型中哪些是内生变量？(11.1.4)第8页，共55页，2023年，2月20日，星期四8区分方法：如果某一变量的变化经过方程系统的传导后又回到了它本身，那么这一变量即为内生变量答案：Ct、It和Yt是内生变量问题：Ct-1和Yt-1呢？分析：从本期看，Ct-1和Yt-1是事先已知的，这些变量称为前定变量。为了统一，外生变量也称为前定变量，即前定变量包括外生变量和滞后的内生变量第9页，共55页，2023年，2月20日，星期四9三、联立方程模型与经典假设经典线性回归模型假设误差项与所有解释变量不相关，这一条件在联立方程模型中并不成立。

理论分析：以牛奶的需求为例。假设牛奶需求在某一时刻受到负的随机冲击（如三鹿奶粉事件）即e2小于0，使得需求曲线向左下方移动，导致均衡价格P下降，因此e2与P存在正相关。数理推导：将方程(11.1.2)和(11.1.3)代入方程(11.1.1)，整理得到如下等式

(11.1.7)第10页，共55页，2023年，2月20日，星期四10方程(11.1.7)被称为是简约式方程，其特点是将内生变量P仅仅表示为联立方程模型中所有前定变量（包括外生变量和滞后内生变量）X和Z，以及误差项的函数。方程(11.1.7)中的参数p被称为是简约参数。可见，简约式参数是结构参数的非线性函数。

从方程(11.1.7)中可以看出，简约式误差项u是结构误差e1

和e2

的函数，因此P和e1

、e2

是相关的

第11页，共55页，2023年，2月20日，星期四11§11.2OLS估计的联立性偏误一、理解联立性偏误联立性偏误：联立方程模型违背了解释变量与误差项不相关的基本假设，导致OLS估计产生有偏结果

例子解释：以上述牛奶的需求为例，假设我们要估计参数a1

。由经典回归内容可知该参数是度量了价格P对需求Qd的“净”影响，但是由于价格P与误差项e2

相关，e2的变化将通过价格P而影响需求Qd。因此，a1实际度量了价格变化和扰动项冲击对需求变化的“混合”影响。

第12页，共55页，2023年，2月20日，星期四12蒙特卡罗仿真说明：（1）设定总体参数真值，如a0=b0=0,

a1=b2=-1,a2=b1=1;（2）重复生成样本数据，在数据生成过程中假定X~N(10,169),Z~N(5,400),e1~N(0,4),e2~N(0,100),样本容量取20；（3）利用生成的样本数据估计需求和供给方程，获得上述结构参数的OLS估计结果;（4）计算参数估计的均值，并与总体真值比较以验证OLS估计存在联立性偏误。估计结果为：(11.2.1)结论：上述估计系数与真值差别较大，这就是联立性偏误。第13页，共55页，2023年，2月20日，星期四13程序范例第14页，共55页，2023年，2月20日，星期四14第15页，共55页，2023年，2月20日，星期四15二、联立性检验模型的联立性主要表现为某些解释变量是内生变量，并且与误差项相关。因此，模型联立性检验的关键就是检验解释变量是否与误差项相关。

豪斯曼设定检验：以前述凯恩斯宏观模型为例(11.1.4)(11.1.5)(11.1.6)其中Yt为内生变量，如何检验Yt与et相关？第16页，共55页，2023年，2月20日，星期四16第一步：将Yt表示为模型所有前定变量的简约式(11.2.2)由于前定变量Ct-1和Yt-1与误差项et不相关，因此检验Yt是否与et相关即可转化为检验式(11.2.2)中误差项wt

是否与结构误差et相关第二步：设定辅助回归模型(11.2.3)模型联立性检验转化为检验参数r

是否显著为0。若r

为0，说明wt

与et不相关，反之相关。第17页，共55页，2023年，2月20日，星期四17第三步：将方程(11.2.3)代入(11.1.4)得到(11.2.4)联立性检验即是检验方程(11.2.4)中系数r是否显著异于0。说明：简约式误差wt通常是不可观察的，因此，我们首先需要对方程(11.2.2)进行回归，得到wt的估计值，然后再把代入方程(11.2.4)进行回归，并对参数r进行t检验说明：简约式误差wt通常是不可观察的，因此，我们首先需要对方程(11.2.2)进行回归，得到wt的估计值，然后再把代入方程(11.2.4)进行回归，并对参数r进行t检验第18页，共55页，2023年，2月20日，星期四18三、应用实例以中国1978—2007年的收入、消费和投资数据，检验凯恩斯宏观经济模型(11.1.4)—(11.1.6)的联立性第一步：将Yt对所有前定变量Ct-1和Yt-1进行回归(11.2.5)Eviews操作如下：第19页，共55页，2023年，2月20日，星期四191）在命令窗口键入lsyccons(-1)y(-1)2）得到估计结果第20页，共55页，2023年，2月20日，星期四20第二步：计算方程(11.2.5)的残差，然后将其作为解释变量代入(11.2.4)，重新回归得到第二步：计算方程(11.2.5)的残差，然后将其作为解释变量代入(11.2.4)，重新回归得到(11.2.6)可以看出显著异于0，说明Yt和Ct之间存在联立性。可以看出显著异于0，说明Yt和Ct之间存在联立性。Eviews操作为第21页，共55页，2023年，2月20日，星期四211)生成残差w2)在命令窗口键入lsconscycons(-1)w3)得到估计结果第22页，共55页，2023年，2月20日，星期四22§11.3参数识别一、识别含义以牛奶的供求模型为例，假设现在牛奶的供给与需求只受价格变化的影响，因此联立方程模型可以设定为

供给方程：(11.3.1)需求方程：(11.3.2)均衡方程：(11.3.3)遗憾的是，对于一组样本数据，上述供求模型是不可识别的，虽然我们标识出了供求模型(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)需求方程：均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)供给方程：需求方程：均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)第23页，共55页，2023年，2月20日，星期四23对于任意一个给定的常数l(0<l<1)，如果我们用l去乘供给方程(11.3.1)两边，而用(1-l)去乘需求方程(11.3.2)两边，然后相加(11.3.4)混合方程(11.3.4)与(11.3.1)和(11.3.2)并没有区别，因为满足(11.3.1)和(11.3.2)方程的样本数据同样也满足于混合方程

如果去掉供给方程(11.3.1)和需求方程(11.3.2)的标识，二者并没有本质区别方程(11.3.1)和(11.3.2)都是不可识别的第24页，共55页，2023年，2月20日，星期四24在供给方程中引入一个额外变量X，变为(11.3.5)X的变化会使得供给曲线发生移动，而需求曲线是固定不变的，图示DPQ0S1S2S3第25页，共55页，2023年，2月20日，星期四25供给和需求形成的均衡即两条曲线的交点，就可以确定出需求曲线的形状

供给曲线的移动为我们提供了足够的信息来识别需求曲线！需求方程是可以识别的，或者说是恰好识别的

X的变化并没有为识别供给曲线本身提供任何信息，因此供给方程仍然是不可识别的。

第26页，共55页，2023年，2月20日，星期四26再看供给方程的识别问题我们仍然用l去乘新的供给方程(11.3.5)两边，而用(1-l)去乘需求方程(11.3.2)两边，然后相加(11.3.6)从表面上看混合方程(11.3.6)与供给方程(11.3.5)也并没有区别

也就是说，对于给定的一组样本数据，我们并不能确定估计的是混合方程(11.3.6)还是供给方程(11.3.5)。因此，方程(11.3.5)是不可识别的。

第27页，共55页，2023年，2月20日，星期四27上例说明在供给方程中引入一个外生变量X

导致需求方程变成是可识别的

如果在供给方程中再引入另外一个外生变量W，在这种情况下，我们既可以利用X的信息来识别需求曲线也可以利用W的信息来识别需求曲线，因此我们称此时的需求方程是过度识别的

如果将外生变量W放入需求方程中呢？此时X的变化仍然为我们识别需求方程提供了信息，而W的变化为识别供给方程提供了信息，因此两个方程都是可识别的。如图示：第28页，共55页，2023年，2月20日，星期四28X和W变化使供求曲线发生移动，导致供给方程和需求方程变成是可识别的D1PQ0S2S1OMND2X变化W变化第29页，共55页，2023年，2月20日，星期四29二、识别条件阶条件：在一个由M个内生变量和K个前定变量（包括外生变量和滞后的内生变量）构成的联立方程模型中，假设模型总共含有M

个方程，其中某一待识别的方程含有m个内生变量和k个前定变量，那么该方程可被识别的阶条件是：该方程所不包含的前定变量的个数至少不低于它所包含的内生变量的个数减去1，即。当K–k=m–1时，该方程是恰好识别的；当K–k>m–1时，该方程是过度识别的。

第30页，共55页，2023年，2月20日，星期四30例子：牛奶的供求模型供给方程：需求方程：均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)分析：供给方程含有2个内生变量Qs和P(m=2)，但不含有前定变量(k=0)，并且整个联立方程模型(11.3.1)—(11.3.3)中也不含有任何前定变量(K=0),满足条件K–k<m–1，因此供给方程是不可识别第31页，共55页，2023年，2月20日，星期四31在供给方程中引入外生变量X，变为(11.3.5)分析供给方程：供给方程仍然含有2个内生变量Qs和P，1个外生变量X，此时供给方程不包含的外生变量个数为0，该值仍然小于它所包含的内生变量个数减去1，因此按照阶条件，供给方程仍然是不可识别的。分析需求方程：需求方程不包含外生变量X，因此它所不包含的外生变量个数即为1，该值刚好等于需求方程所包含的内生变量个数减去1，因此按照阶条件，需求方程是可以识别的，并且是恰好可以识别的。

第32页，共55页，2023年，2月20日，星期四32注意：阶条件只是方程识别的必要条件。

秩条件（充分必要条件）：在一个含有M个内生变量且由M个方程构成的联立方程模型中，如果在由某一方程所不含而其他方程所含的变量（包括内生变量和前定变量）的系数所构成的矩阵中，至少存在一个（M-1）阶非零行列式，那么该方程就是可以识别的；如果不存在这样的行列式，那么该方程就是不可以识别的。说明：由于秩条件较为烦琐，在一般情况下应用阶条件判别方程是否可识别也是正确的。

第33页，共55页，2023年，2月20日，星期四33§11.42SLS估计一、两阶段最小二乘估计思想（2SLS）以牛奶供求模型为例，P、Q为内生变量，X、Z为外生变量供给方程：(11.4.1)需求方程：(11.4.2)分析：OLS估计是有偏的，原因在于解释变量P与误差项（e1、e2）相关。第34页，共55页，2023年，2月20日，星期四34设想：寻找一个关于P

的替代变量P*，满足条件（1）变量P*与P非常相似或相关；（2）变量P*与误差项e1

不相关用变量P*代替P，代入供给方程，由于P*与误差项e1

不相关，新的供给方程将重新满足经典线性回归模型的假设条件，OLS可以获得参数的一致估计。变量P*被称为是工具变量第35页，共55页，2023年，2月20日，星期四35寻找工具变量P*将方程(11.4.2)代入方程(11.4.1)得到(11.4.3)价格P的变化可以由外生变量X和Z来联合解释，因此每个变量X或Z都可以作为工具变量

合理的方法是：把X和Z都作为P的潜在工具变量，用P对X和Z进行回归，然后再把估计的值作为P的工具变量代入供给方程，并由此得到参数的一致估计结果合理的方法是：把X和Z都作为P的潜在工具变量，用P对X和Z进行回归，然后再把估计的值作为P的工具变量代入供给方程，并由此得到参数的一致估计结果第36页，共55页，2023年，2月20日，星期四362SLS步骤第一阶段：先将内生变量P对模型中所有前定变量X和Z进行回归，得到P的估计值。(11.4.4)第二阶段：把作为P的工具变量，将其代入结构方程(11.4.1)，得到参数b

的估计结果。

第二阶段：把作为P的工具变量，将其代入结构方程(11.4.1)，得到参数b

的估计结果。

(11.4.5)第37页，共55页，2023年，2月20日，星期四37注意：在寻找工具变量时，若第一阶段对方程(11.4.3)的拟合优度较低，表明和P

的相关性较低，说明并不是P

的一个较好的工具变量

经验做法：如果结构方程(如方程11.4.1)只有一个内生变量(P)作为解释变量，那么在寻找该内生变量的工具变量()时，我们可以构造该内生变量的简约方程(方程11.4.3)，并且估计简约方程,如果估计结果显示结构方程所不包含的外生变量向量(Z)的联合显著性检验的F统计值大于10，那么由简约方程所得到的就是合格工具变量。

第38页，共55页，2023年，2月20日，星期四38方差校正在估计第二阶段方程时，此时误差项为合成误差因此，OLS对总体方差的估计应是

(11.4.6)它并不等于总体真实方差的估计

(11.4.7)第39页，共55页，2023年，2月20日，星期四39二、说明性例子为了说明2SLS的估计思想，我们仍然以简单的凯恩斯宏观经济模型为例，利用表11.2.1所给数据进行估计第一阶段：将内生变量Yt对模型中所有前定变量Yt-1和Ct-1进行回归，并计算Yt的估计值(11.4.8)Eviews操作同上，可得第40页，共55页，2023年，2月20日，星期四401）在命令窗口键入lsyccons(-1)y(-1)2）得到估计结果第41页，共55页，2023年，2月20日，星期四41第二阶段：把作为Yt的工具变量代入方程(11.1.4)，估计各参数

b

。

(11.4.9)Eviews操作为第42页，共55页，2023年，2月20日，星期四421）键入命令fity_hat2)生成Y的预测值第43页，共55页，2023年，2月20日，星期四43键入命令lsconscy_hatcons(-1)得到第二阶段回归结果注意方差第44页，共55页，2023年，2月20日，星期四44校正的方差是直接利用2SLS命令tslsconscycons(-1)@cons(-1)y(-1)注意方差第45页，共55页，2023年，2月20日，星期四45§11.5一个简单的货币供求模型作为本章综合性例子，考虑货币供求模型

货币需求(11.5.1)货币供给(11.5.2)均衡方程(11.5.3)问题一；如何判别内生变量与外生变量？

第46页，共55页，2023年，2月20日，星期四46假设方程(11.5.1)中的变量Yt出现变化，那么这种变化首先会影响到货币需求，经由方程(11.5.3)影响到货币供给，并进而通过方程(11.5.2)传递到变量Yt自身，因此产出Yt是内生变量总结方法：如果某一变量出现变化，而