第四讲逻辑函数化简代数化简法

第四讲逻辑函数化简代数化简法第1页，共29页，2023年，2月20日，星期三上讲内容回顾逻辑函数表达式的标准形式最小项最大项逻辑函数表达式的转换第2页，共29页，2023年，2月20日，星期三本讲内容内容：逻辑函数的公式化简法目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用；掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。重点与难点：重点：5种常见的逻辑式；用并项法、吸收法、消去法、配项法对逻辑 函数进行化简。难点：运用代数化简法对逻辑函数进行化简。第3页，共29页，2023年，2月20日，星期三相关知识回顾逻辑代数的基本公式、基本定律和三个重要规则第4页，共29页，2023年，2月20日，星期三基本定律和规则总结（1）与普通代数相似的定律交换律A+B＝B+AA·B＝B·A结合律A+B+C＝(A+B)+C=A+(B+C)A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C)第5页，共29页，2023年，2月20日，星期三（2）吸收律是逻辑函数化简中常用的基本定律。吸收律证明①AB+AB＝A②A+AB＝A③A+AB＝A+B④AB+AC+BC＝AB+ACAB+AB＝A(B+B)=A·1=AA+AB=A(1+B)=A·1=AA+AB=(A+A)(A+B)=1·(A+B)=A+B原式=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)AB+AC第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC第6页，共29页，2023年，2月20日，星期三（3）摩根定律又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。第7页，共29页，2023年，2月20日，星期三逻辑函数化简的意义 根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式。对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件、降低成本和提高系统的可靠性、提高产品的市场竞争力都是非常重要的。二.逻辑函数式的几种常见形式和变换常见的逻辑函数式主要有下列5种形式。以为例：Y1=AB+BC与-或表达式Y2=(A+B)(B+C)或-与表达式Y3=AB·BC与非-与非表达式Y4=A+B+C+D或非-或非表达式Y5=A·B+BC与或非表达式2.4逻辑函数化简

利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。第8页，共29页，2023年，2月20日，星期三三.逻辑函数的最简式、

1）最简与-或式 乘积项个数最少。 每个乘积项变量最少。最简与或表达式Y=ABE+AB+AC+ACE+BC+BCD=AB+AC+BC=AB+AC第9页，共29页，2023年，2月20日，星期三2）最简与非-与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。①在最简与或表达式的基础上两次取反②用摩根定律去掉下面的大非号3）最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。①求出反函数的最简与或表达式②利用反演规则写出函数的最简或与表达式Y=AB+AC=AB+AC=AB·

ACY=AB+ACY=AB+AC=(A+B)(A+C)=AB+AC+BC=AB+ACY=(A+B)(A+C)第10页，共29页，2023年，2月20日，星期三4）最简或非-或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。①求最简或与-或与表达式②两次取反５）最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。①求最简或非-或非表达式③用摩根定律去掉下面的大非号②用摩根定律去掉大非号下面的非号Y=AB+AC=(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=A+B+A+CY=AB+AC=A+B+A+C=AB+AC第11页，共29页，2023年，2月20日，星期三逻辑函数化简有3种常用方法。即：代数化简法、卡诺图化简法和列表化简法。第12页，共29页，2023年，2月20日，星期三2.4.1代数化简法

代数化简法就是运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行化简的方法。

一、“与-或”表达式的化简

最简“与-或”表达式应满足两个条件：

1．表达式中的“与”项个数最少；

2．在满足上述条件的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。

满足上述两个条件可以使相应逻辑电路中所需门的数量以及门的输入端个数均为最少，从而使电路最经济。第13页，共29页，2023年，2月20日，星期三1、并项法利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。

若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律Y1=ABC+ABC+BC=(A+A)BC+BC=BC+BC=B(C+C)=BY2=ABC+AB+AC=ABC+A(B+C)=ABC+ABC=A(BC+BC)=A第14页，共29页，2023年，2月20日，星期三2、吸收法

如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。

如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。Y1=AB+ABCD(E+F)=ABY2＝A+BCD+ADB＝A+BCD+AD+B

＝（A+AD）+（B+BCD）＝A+BY＝AB+AC+BC

＝AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+CY=AB+C+ACD+BCD=AB+C+C(A+B)D=AB+C+(A+B)D=AB+C+ABD=AB+C+D第15页，共29页，2023年，2月20日，星期三Y=AB+BC+BC+AB=AB+BC+(A+A)BC+AB(C+C)=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB(1+C)+BC(1+A)+AC(B+B)=AB+BC+ACY=ABC+ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+AC+BC３、配项法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。第16页，共29页，2023年，2月20日，星期三Y2=AB+BC+AC(DE+FG)=AB+BCY1=AB+AC+ADE+CD=AB+(AC+CD+ADE)=AB+AC+CD利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。４、消去冗余项法第17页，共29页，2023年，2月20日，星期三例：化简函数解：①先求出Y的对偶函数Y＇，并对其进行化简。②求Y＇的对偶函数，便得Ｙ的最简或与表达式。Y=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G)Y’=BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CGY=(B+D)(C+E)(C+G)第18页，共29页，2023年，2月20日，星期三例

化简

解

实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。第19页，共29页，2023年，2月20日，星期三例

化简

解

第20页，共29页，2023年，2月20日，星期三5.逻辑函数扩充公式

扩充公式一1）

A·A=0，A·A=A的扩充当包含变量X、的函数f和变量X相“与”时，函数f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替；当f和变量相“与”时，函数f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。即

X·f（X，，Y，……，Z）=X·f（1，0，Y，……，Z）

·f（X，，Y，……，Z）=·f（0，1，Y，……，Z）2）

A+=1，A+B=A+B，A+AB=A的扩充当包含变量X、的函数f和变量X相“或”时，函数f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。当f和变量相“或”时，函数f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替。即

X+f（X，，Y，……，Z）=X+f（0，1，Y，……，Z）

+f（X，，Y，……，Z）=+f（1，0，Y，……，Z）第21页，共29页，2023年，2月20日，星期三

扩充公式二第22页，共29页，2023年，2月20日，星期三利用扩充公式化简逻辑函数例1化简逻辑函数

解：由扩充公式一得

第23页，共29页，2023年，2月20日，星期三例2化简逻辑函数

解：应用扩充公式二，将函数L展开为的逻辑或的形式，再用扩充公式一进行化简。

第24页，共29页，2023年，2月20日，星期三例3化简逻辑函数

解：应用扩充公式二，将函数L展开为的逻辑与的形式，再用扩充公式一进行化简。

第25页，共29页，2023年，2月20日，星期三二、“或-与”表达式的化简

最简“或-与”表达式应满足两个条件：

1．表达式中的“或”项个数最少；

2．在满足上述条件的前提下，每个“或”项中的变量个数最少。

用代数化简法化简“或-与”表达式可直接运用公理、定理中的“或-与”形式，并综合运用前面介绍“与-或”表达式化简时提出的各种方法进行化简。第26页，共29页，2023年，2月20日，星期三例化简

解

此外，可以采用两次对偶法。具体如下：

第一步：对“或-与”表达式表示的函数F求对偶，得到“与-或”表达式F’；

第二步：求出F’的最简“与-或”表达式；

第三步：对F’再次求对偶,即可得到F的最简“或-与”表达式。第