2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京)卷

2023年一般高等学校招生全国统一考试文科数学〔北京〕卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。第一卷1239150120第一卷〔选择题共60〕留意事项：答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。考试完毕，监考人将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：三角函数的积化和差公式

正棱台、圆台的侧面积公式sincos1[sin()sin()]

S 1(cc)l台侧 2sin

2 其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示1[sin(sin()] 斜高或母线长2 球体的体积公式coscos

1[cos()cos()]2

V 4球 3

R3sinsin1[cos()cos()]2

其中R表示球的半径12560有一项为哪一项符合题目要求的.1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是 〔 〕A．4 B．3 C．2 D．1A(cos80sin80B(cos20sin20则|AB|〔〕12

22

32

D．1以下四个函数中，以π为最小正周期，且在区间〔2

,〕上为减函数的是 〔 〕ycosx B．y2|sinx|

C．ycosx2

D．yctgx在以下四个正方体中，能得出AB⊥CD的是 〔 〕a5．64个直径都为4

V

S甲

a的球，甲记其体积为V ，外表积为S ，则 〔 〕乙 乙A．V ＞V 且S ＞S B．V ＜V 且S ＜S甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙C．V ＝V 且S ＞S D．V ＝V 且S ＝S3甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙36．假设直线l:ykx

与直线2x3y60l的倾斜角的取值范围 〔 〕 A．[ , )6 3

B．( , )6 2

C．( , )3 2

D．[ , ]6 27〕8等于A．16i B．－16i C．－16 D．16假设ctg11，则cos2的值为 〔 〕2ctg153 3 25B．－ C．5 5 5

25D．－559．5本不同的书，全局部给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为〔 〕A．480 B．240 C．120 D．96x2椭圆

y2

1和双曲线x2

y2

1有公共的焦点，那么双曲线的渐近3m2 5n2 2m2 3n2线方程是 〔 〕15x 152

y 15215

x 343

y x343f(x)〔0，3〕f(x)f(xcosx0的解集是 A01〕∪，〕 B．,2)(2)

,3) 如下图，f(x),f(x),f(x),f(x)]1 2 3 4[0，1]x

x和x，f( 1

x2) [f(x

)f(x

)]恒成立”的只有〔 〕11 2 2 2 1 21f(x),f(x) B．f(x) C．f(x),f(x) D．f(x)1 3 2 2 3 4第二卷 〔非选择题共904416分.把答案填在题中横线上.sin2,cos6,tg7从小到大的挨次是 .5 5 5等差数列{a}中，a=2，公差不为零，且a，a，a 恰好是某等比数列的前三项，那么n 1 1 3 11该等比数列公比的值等于 .关于直角AOB在定平面α内的射影有如下推断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角可能是钝角可能是180°的角.其中正确推断的序号是 〔注：把你认为是正确推断的序号都填上〕.圆

2x2y10的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为 .2x1674分.解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔本小题总分值2x1解不等式

2x.〔本小题总分值2分〕ABCD—ABCD中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一1111AD1C11cBdD1bC底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，da，bAD1C11cBdD1bC〔Ⅰ〕ABBAABCD所成二面角正切值；11〔Ⅱ〕在估测该多面体的体积时，常常运用近似公式V 估

·h来计算.它的体积公式是中截面Vh6

〔S S S ，上底面 中截面 下底面

A a BV估V的大小关系，并加以证明.〔注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.〕〔本小题总分值2分〕

}x

a0,x

1(x

a ),nN.n 1

2 n xnan〔Ⅰ〕证明：对n≥2，总有x ；an〔Ⅱ〕证明：对n≥2，总有x x ；n n1〔本小题总分值2分〕在争论并行计算的根本算法时，有以下简洁模型问题：用计算机求n个不同的数vv1 2

, ,vn

nn的和 vii1

vv1

v v3

.计算开头前，n个数存贮在n同时完成上述工作.机初第一单位时间其次单位时间第三单位时间器始被读机号结果被读机号结果被读机号结果号时1v12v+v1 22v2机初第一单位时间其次单位时间第三单位时间器始被读机号结果被读机号结果被读机号结果号时1v12v+v1 22v21v+v2 1〔Ⅰ〕n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机初第一单位时间其次单位时间第三单位时间器号始时被读机号 结果被读机号 结果被读机号 结果1v12v23v34v4nvii1

结论不要求证明〕〔本小题总分值3分〕〔，B10C〔，〕C.〔Ⅰ〕写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；〔Ⅱ〕FHOB平行时，求顶点C的轨迹.yyC(b，c)OB(1，0)x〔本小题总分值3分〕f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f(ab)af(b)bf(a).〔Ⅰ〕求〔，〔〕的值；〔Ⅱ〕f(x)的奇偶性，并证明你的结论；〔Ⅲ〕f(2)2unf(2n)(nN)，求证un1un(nN.参考解答说明：一、本解答指出了每题要考察的主要学问和力量，并给出了一种或几种解法供参考，则.二、对计算题，当考生的解答在某一步消灭错误时，假设后继局部的解答未转变该题的一半；假设后继局部的解答有较严峻的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：此题考察根本学问和根本运算.每题5分，总分值60分.1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.C 12.A二、填空题：此题考察根本学问和根本运算.416分.13．cos6sin2tg7 14．4 15．①②③④⑤ 16．25 5 5674分，解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.总分值12分.2x10,2x1解： 2xx20, 或2x12x12x1(x2)2

x20x2,

1x2x2,

1x22x51

x2x26x50 2 2 21x5.所以，原不等式组的解集为{x|1

x5}.2 2本小题主要考察直线、平面的位置关系，考察不等式的根本学问，考察空间想象力量和规律推理力量.12分.〔1〕解：BCABCD的垂直平面，交底面于11PQ,B1

BG⊥PQ,G.ABCD∥平1ABCD，∠ABC=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥1111 111BP.∴∠BPG为所求二面角的平面角.C作1 1 1CH⊥PQH.由于相对侧面与底面所成二1面角的大小相等，故四边形BPQC为等腰梯形.1 111 ， 2h1

2h即所求二面角的正切值为 .1PG1

2(bd),又BGh tgBPGbd(bd), bd〔Ⅲ〕V

＜V.证明：∵a＞c，b＞d，∴VV

h(cdab4acbd)acbdh估估6 2 2 2 2估h h [2cd2ab2(ac)(bd)3(ac)(bd)] (ac)(bd)0∴V12 12

＜V.估.12分.〔Ⅰ〕证明：x1分〕.

a0及x

n1

1(x2

axx nn

0〔没有证明过程不扣从而有x

an1a

1(x2

ax ) xxnn

a a(nN，所以，当n≥2xnxn

成立.〔Ⅱ〕证法一：当n≥2时，由于x n

n1

1(xa2 a

a，所以xx x

1(x

a)x

1 ax2 n0

n，故当n≥2xn

xn1

成立.n1 n

2 n xn

n 2 xn证法二：当n≥2时，由于x n

n1

1(xa2 a

a，所以x1(x a)x 2 n x

x2a

n，故当n≥2时，x x

成立.n1xn

n nx 2x2n n

n n12x2n

n n1本小题主要考察运用数学思想方法，分析和解决科学问题的力量.12分.机初第一单位时间其次单位时间第三单位时间器始被读机号结果被读机号结果被读机号结果机初第一单位时间其次单位时间第三单位时间器始被读机号结果被读机号结果被读机号结果号时1v12v+v1 23v+v+v+v1 2 3 42v21v+v2 14v+v+v+v2 1 4 33v34v+v3 41v+v+v+v3 4 1 24v43v+v4 32v+v+v+v4 3 2 1〔Ⅱ〕解：n=128=277个单位时间才能完成计算..13分.〔Ⅰ由△C三顶点坐标〔，B0〔，〔0，可求得b1c 1 b2c2b bb2 1重心G( , )，外心F( ,

)，垂心H(b, ).当b 时，3 3 2 2c 3 21G，F，H三点的横坐标均为

，故三点共线；当b

1G,H所在直线的斜2 2率为kGH

，F，G所在直线的斜率为kFG

.由于kGH

cbb23 cb1b

c23b23b，c(12b)cb2c2bk 3 2c

3c23b23b，所以k k ，G，F，H三点共线.FG b11 2b)3 2

GH FG综上可得，G，F，H三点共线.〔Ⅱ〕解：FH//OB，由kFH

c23b23bc(12b)

0，得3(b

2b)c20(c0,b )，1211 1，即配方得 1，即

(b )23 2

(x )2 2

(x1,y0).3(b )2c22

,即4

1 1 2( )22

3( )22

()22

3( )2231 3因此，顶点C的轨迹是中心在〔0，长半轴长为 ，短半轴长为

，且短2 2 233轴在x轴上的椭圆，除去，10〔1， 〔1，－ 〕四.332 2 2 2.13分.〔 Ⅰ 〕 解 ： f(0)f(00)0f(0)0f(0)0f(1)f(11)1f(11f(1，)

. 因 为〔Ⅱ〕f(x)是奇函数. 证明：由于f(1)f[(1)2]f(1)f(1)0所以f(1)0，f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x),f(x为奇函数.〔Ⅲ〕证明：先