高考数学大一轮复习平面向量的数量积理苏教版

高考数学大一轮复习平面向量的数量积理苏教版第1页/共96页1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a和b的数量积(或内积)，记作

.规定：零向量与任一向量的数量积为

.两个非零向量a与b垂直的充要条件是

，两个非零向量a与b平行的充要条件是

.2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

的乘积.|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ0

a·b＝0

a·b＝±|a||b||b|cosθ第2页/共96页3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝

；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔

；(3)当a与b同向时，a·b＝

；当a与b反向时，a·b＝

，a·a＝

，|a|＝

；(4)cosθ＝

；(5)|a·b|

|a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b||a|2

≤

第3页/共96页4.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝

(交换律)；(2)(λa)·b＝

＝

(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝

.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c第4页/共96页5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝

，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝

或|a|＝

.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离AB＝||＝

.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔

.x1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝0第5页/共96页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(

)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(

)√√√第6页/共96页(4)在四边形ABCD中，

＝

且

·＝0，则四边形ABCD为矩形.(

)(5)两个向量的夹角的范围是[0，

].(

)(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－

或λ>0.(

)返回×××第7页/共96页题号答案解析1234330°－4

Enter－8第8页/共96页解析设向量a与向量a＋2b的夹角为θ.∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.第9页/共96页题型一平面向量数量积的运算解析答案思维升华例1(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量

在

方向上的投影为

.第10页/共96页题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量

在

方向上的投影为

.解析答案思维升华第11页/共96页题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量

在

方向上的投影为

.解析答案思维升华第12页/共96页求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量

在

方向上的投影为

.解析答案思维升华第13页/共96页解析答案思维升华例1

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为

；·的

最大值为

.第14页/共96页例1

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为

；·的

最大值为

.解析

方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，解析答案思维升华第15页/共96页例1

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为

；·的

最大值为

.方法二由图知，无论E点在哪个位置，解析答案思维升华第16页/共96页例1

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为

；·的

最大值为

.当E运动到B点时，解析答案思维升华第17页/共96页11解析答案思维升华例1

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为

；·的

最大值为

.第18页/共96页求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件.解析答案思维升华11例1

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为

；·的

最大值为

.第19页/共96页跟踪训练1

(1)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则

的值为

.解析由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，第20页/共96页第21页/共96页第22页/共96页解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角例2

(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于

，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为

.第23页/共96页记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ，题型二求向量的模与夹角例2

(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于

，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为

.又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×cos＝13，(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×cos＝52，解析答案思维升华第24页/共96页(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，题型二求向量的模与夹角例2

(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于

，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为

.即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是－.解析答案思维升华第25页/共96页(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，题型二求向量的模与夹角例2

(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于

，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为

.即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是－.解析答案思维升华第26页/共96页题型二求向量的模与夹角例2

(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于

，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为

.(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝

要引起足够重视，它是求距离常用的公式.解析答案思维升华第27页/共96页题型二求向量的模与夹角例2

(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于

，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为

.(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的.解析答案思维升华第28页/共96页解析答案思维升华例2

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝

，则|b|＝

.第29页/共96页∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，例2

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝

，则|b|＝

.解析答案思维升华第30页/共96页∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，例2

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝

，则|b|＝

.解析答案思维升华第31页/共96页例2

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝

，则|b|＝

.(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝

要引起足够重视，它是求距离常用的公式.解析答案思维升华第32页/共96页例2

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝

，则|b|＝

.(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的.解析答案思维升华第33页/共96页解析答案思维升华第34页/共96页解析答案思维升华第35页/共96页解析答案思维升华第36页/共96页解析答案思维升华第37页/共96页(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝

要引起足够重视，它是求距离常用的公式.解析答案思维升华第38页/共96页(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的.解析答案思维升华第39页/共96页跟踪训练2

(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若

＝1，则AB的长为

.解析

在平行四边形ABCD中，第40页/共96页跟踪训练2

(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若

＝1，则AB的长为

.第41页/共96页(2)(2014·江西)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝

，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝

.第42页/共96页(2)(2014·江西)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝

，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝

.第43页/共96页题型三数量积的综合应用思维点拨解析思维升华例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；第44页/共96页(1)由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由m⊥p得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式.思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；第45页/共96页证明

∵m∥n，思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用∴asinA＝bsinB，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形.例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；第46页/共96页解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；第47页/共96页思维点拨解析思维升华例3

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝

，求△ABC的面积.第48页/共96页思维点拨解析思维升华例3

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝

，求△ABC的面积.(1)由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由m⊥p得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式.第49页/共96页解由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，思维点拨解析思维升华例3

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝

，求△ABC的面积.第50页/共96页思维点拨解析思维升华例3

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝

，求△ABC的面积.第51页/共96页思维点拨解析思维升华例3

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝

，求△ABC的面积.解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.第52页/共96页解

f(x)＝m·n第53页/共96页第54页/共96页第55页/共96页所以f(x)∈[－2,2]，即f(x)的值域是[－2,2].第56页/共96页高考小考点6高考中以向量为背景的创新题思维点拨解析温馨提醒第57页/共96页思维点拨解析温馨提醒第58页/共96页思维点拨解析温馨提醒第59页/共96页思维点拨解析温馨提醒第60页/共96页解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算；然后确定解题策略，根据题目条件进行求解.思维点拨解析温馨提醒第61页/共96页思维点拨解析温馨提醒第62页/共96页思维点拨解析温馨提醒第63页/共96页思维点拨解析温馨提醒第64页/共96页思维点拨解析温馨提醒第65页/共96页返回解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算；然后确定解题策略，根据题目条件进行求解.思维点拨解析温馨提醒第66页/共96页方法与技巧1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.第67页/共96页失误与防范1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立.返回第68页/共96页234567891011.若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为

.解析依题意得(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，第69页/共96页345678910122.已知向量a＝(1，

)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|＝

.解析|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4，∴|a＋2b|＝2.2第70页/共96页245678910133.已知在三角形ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，若D为BC的三等分点(靠近点B一侧)，则

的取值范围为

.第71页/共96页24567891013第72页/共96页235678910144.向量

与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为

.又A(1,2)，∴B点坐标为(7，－6).(7，－6)第73页/共96页5.(2013·福建改编)在四边形ABCD中，

＝(1,2)，

＝(－4,2)，则该四边形的面积为

.234678910155第74页/共96页234578910166.(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝

.解析∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，第75页/共96页234568910177.(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则

＝

.2第76页/共96页234569101788.已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是