高等数学极限与连续

高等数学极限与连续第1页/共146页2

第二章

§2.1数列的极限定义：由无穷多个数，构成的有序的一列数：称为无穷数列，简称数列，简记为数列中的各个数称为数列的项，称为通项。数列可以看成以正整数为自变量的函数。(一)数列第2页/共146页3例1

例2

例3

这种数列称为常数数列。例4

例5

第3页/共146页41.数列极限的定性描述引例1.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S

(刘徽割圆术)

,用其内接正

n

边形的面积(二)数列极限第4页/共146页5“割之弥细,所失弥小，割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：第5页/共146页6引例２

例1中的数列来源于我国一篇古典名著.公元

前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前

369－前286）在《庄子·天下篇》一书中有一段

富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不

竭”.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来.便得到数列当

n无限增大时,无限逼近0第6页/共146页7定义设数列,实数。如果无限增大时，无限趋近于常数则称数列以为极限，记作

或此时，称数列收敛.否则（即时，不以任何常数为极限）,称数列发散。

第7页/共146页8说明：(1).引例1中，圆的面积(2).引例2中，剩余棒头的长度第8页/共146页9观察上例中，数列的极限：例2中,例3中,例4中,不存在；时,数列没有固定变化趋势，发散。当例5中，不存在。当时,数列的变化趋势为无限增大，发散。记

第9页/共146页102、数列极限的定量描述逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。(1)如果无限增大时，无限趋近于常数则称数列以为极限.(2)当充分大时，任意小，则称数列以为极限.

(3)

,当充分大时，则称数列以为极限.

(4)当n>N时,总有则称数列以为极限.第10页/共146页11定义:若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释(动态地看定义):即或则称该数列的极限为a,当n>

N

时,所有的点都落在内。只有有限个点落在的邻域之外。第11页/共146页12几点注意第12页/共146页13第13页/共146页14例6.已知证明数列的极限为1.

证:因此,取则当时,就有故由定义来证，当时,就有当时,有当时,有当时,有对问题进行等价的转化第14页/共146页15例6.已知证明数列的极限为1.

证2:欲使只要因此,取则当时,就有故第15页/共146页16“ε－N”定义证明的步骤，分三步：第一步，给定任意正数ε；第二步，由寻找正整数N，这是关键的一步；第三步，按照定义的模式写出结论.第16页/共146页17例7.已知证明证:欲使只要取则当时,就有故故也可取也可由N

与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取放大！第17页/共146页18例8.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取则当n>N

时,就有故的极限为0.为什么限制，可以限制吗？第18页/共146页19(三)收敛数列的性质(补充内容)证明思想:

用反证法.1.收敛数列的极限唯一.及且假设选ε,使a的ε邻域与b的ε邻域不相交,当n>max(N1,N2)时,xn同时在这两邻域内,矛盾第19页/共146页20证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式第20页/共146页21例4.证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.第21页/共146页222.收敛数列一定有界.即如果直观证明思想邻域内有几乎所有的xn邻域内外只有有限个xn说明:

此性质反过来不一定成立.第22页/共146页23证:

取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.有说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列第23页/共146页243.收敛数列的保号性.若且时,有直观:第24页/共146页25证明思想:若且时,有证:对a>0,取问:a>b时,会有什么结论?第25页/共146页26推论2:若数列从某项起推论1:若且时,有第26页/共146页27

第二章

§2.2函数的极限函数极限问题是研究当自变量趋向于的变化趋势或趋向于无穷大时，函数自变量变化过程有六种形式:

趋向于一点

趋向于无穷第27页/共146页28(一)自变量趋于有限值时函数的极限时函数极限的定义仿数列极限定义(不论多么小)，有：描述任意地接近表示接近的过程第28页/共146页29定义.

设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或若记作第29页/共146页30注意第30页/共146页31例9.证明证:故对任意的当时,因此总有第31页/共146页32例10.证明证:欲使取则当时,必有因此只要第32页/共146页33例11.证明证:故取当时,必有因此欲使第33页/共146页34例12.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有放大只要“大的”<ε则“小的”必<ε第34页/共146页35第35页/共146页36(二)左极限和右极限第36页/共146页37左极限:当时,有类似地，定义右极限！第37页/共146页38右极限:当时,有定理1.想一想第38页/共146页39例13.设函数讨论时的极限是否存在.解:因为显然所以不存在.利用定理1.第39页/共146页40

由定理1可知，如果左极限和右极限至少有一个不存在，或者存在但不相等，则函数的极限不存在.定理1常用于证明分段函数在分段点处的极限不存在.解:因为显然所以利用定理1.例14.研究当时，的极限。第40页/共146页41(三)自变量x绝对值无限增大时的情形如图所示，当无限增大时，函数的绝对值无限变小，时，该函数以常数为极限，记作可见当第41页/共146页42定义(定性)

.设时的极限,记作则称常数A

为函数是一个函数，A为常数。如果在的过程中,对应函数值无限趋近于确定值A.第42页/共146页43定义(定量)设函数大于某一正数时有定义,若时的极限,则称常数A

为函数直线y=A

为曲线的水平渐近线第43页/共146页44直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:时的极限,记作则称A

为函数如果在的过程中,对应函数值无限趋近于确定值A.几何意义:第44页/共146页45比如，都有极限，就不存在极限。第45页/共146页46例15.用定义证明证:欲使取则当时,必有因此只要第46页/共146页47例16.用定义证明证:欲使取则当时,必有因此只要即同理，可用定义证明第47页/共146页48(四)函数极限的性质

第48页/共146页49局部保号定理

定理2.若且

A>0,则存在(A<0)第49页/共146页50证:

已知即当时,有当

A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)定理2.若且

A>0,则存在以A>0为例第50页/共146页51定理3.若在的某去心邻域内,且则证:

用反证法.则由定理2,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)存在假设A<0,条件矛盾,故第51页/共146页52思考:

若定理3中的条件改为是否必有不能!如推论:若且则利用极限四则运算法则证明.提示:

令第52页/共146页53

第二章

§2.3变量的极限定义若在此变化过程中的极限,记作则称常数A

为变量综合各类极限定义,得一般变量极限定义:第53页/共146页54定义若在那个时刻之后为有界变量.则称变量定理若为有界变量.变量反之,有界变量未必有极限.第54页/共146页55

第二章

§2.4无穷大量与无穷小量(一)

无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大第55页/共146页56定义

.

若任给

M>0,总有则称函数当时为无穷大,①(正数X),记作总存在第56页/共146页57又如铅直渐近线。第57页/共146页58比如，渐近线直线为曲线的铅直渐近线.1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;注第58页/共146页59(二)

无穷小定义.

若时,函数则称函数为时的无穷小

.极限为零的变量,称为无穷小.1、无穷小量的概念第59页/共146页60当例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当时为无穷小.说明:2.零是可以作为无穷小的唯一的数!1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;第60页/共146页61其中(x)

为时的无穷小量.定理.(无穷小与函数极限的关系)意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题

(无穷小);第61页/共146页62证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.其中为时的无穷小量.定理1第62页/共146页632、无穷小量的性质

性质1.

有限个无穷小的代数和还是无穷小.由此可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.以三个无穷小的和为例！设无穷小无穷小只需证明，两个无穷小的和，仍为无穷小。分析：第63页/共146页64时,有证:当时,有当时,有取则当因此来证第64页/共146页65说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，性质2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

即第65页/共146页66证:当时,有取则当时,就有故第66页/共146页67推论2

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.

有限个无穷小的乘积是无穷小.推论1.

有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.都是无穷小第67页/共146页68例14.求解:

利用性质

2可知说明:

y=0是的渐近线.注意，有重要公式：函数极限与自

变量的变化过

程有关。第68页/共146页69(三)无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.性质3.

说明:第69页/共146页70(四)无穷小量阶的比较都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.观察各极限第70页/共146页71定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作例如

,

当～时第71页/共146页72例15.证明:当时,～证:～第72页/共146页73

第二章

§2.5极限的运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由性质1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理.若第73页/共146页74说明:

此定理可推广到有限个函数相加、减的情形.定理.若则有证明略.说明:

此定理可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)第74页/共146页75例16.

设

n次多项式试证证:第75页/共146页76定理.若且B≠0,则有证明略例17.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.

若第76页/共146页77

x=3时分母为0!例18.练习求第77页/共146页78例19.求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因第78页/共146页79例20.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式第79页/共146页80一般有如下结果：为非负常数)第80页/共146页81例21求解注意两个同号的无穷大量之和是无穷大量，

两个异号的无穷大量之和是“∞－∞”型不定式.

本例求极限的方法称为有理化法.第81页/共146页82

第二章

§2.6两个重要的极限(一)极限存在准则夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则(略).1.夹逼准则(准则1-数列)直观:第82页/共146页83当时,有想证证明直观:n>N2时n>N1时n>max(N1,N2)时第83页/共146页84证:

由条件(2),当时,当时,取则当时,有由条件(1)即故第84页/共146页85

夹逼准则(准则1-变量)直观:例1.证明证明：第85页/共146页86例2.证明证明：第86页/共146页87例3.证明证:利用夹逼准则.且由第87页/共146页882.单调有界数列必有极限(准则2)

(证明略)第88页/共146页89例.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有第89页/共146页90大大正又比较可知第90页/共146页91根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又第91页/共146页92圆扇形AOB的面积(二)两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有第92页/共146页93例4.求解:例5.

求解:

令则因此原式第93页/共146页94例6.求解:

原式=例.

已知圆内接正n

边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用第94页/共146页952.证:当时,设则第95页/共146页96当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令第96页/共146页97例.求解:

令则说明

：若利用则原式第97页/共146页98例7.求解:例8.求解:第98页/共146页99例.计算复利息问题：每期结算一次，本利和为设本金为，利率为，期数为。每期结算次，期本利和为如果立即产生，立即结算，即期本利和为第99页/共146页100

第二章

§2.7利用等价无穷小量代换求极限～～定理1.证:即即第100页/共146页101定理2.设且存在,则证:等价无穷小替换定理例如,在极限的乘除

运算中，等价

无穷小可以相

互替换！第101页/共146页102设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小性质Th1～2,(1)和差取大规则:由等价得简化某些极限运算的下述规则.若

=o(),例如,(2)因式代替规则:界,则例如,第102页/共146页103例1.求解:原式第103页/共146页104例2.求解:原式第104页/共146页105例3.求解:原式不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意第105页/共146页106例4.证明证明:第106页/共146页107

第二章

§2.8函数的连续性可见,函数在点（一）、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;第107页/共146页108continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.例1在上连续.(有理整函数)例2

有理分式函数在其定义域内连续在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第108页/共146页109对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:第109页/共146页110例3.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.第110页/共146页111例4.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.来证要使只要即取即可第111页/共146页112例5证由定义知第112页/共146页113例6解右连续但不左连续,第113页/共146页114在在（二）、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;第114页/共146页115间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.第115页/共146页116为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:第116页/共146页117显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.第117页/共146页118例7解第118页/共146页119小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式第119页/共146页120可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第120页/共146页121（三）、连续函数的运算法则极限性质容易把极限性质转化为连续函数性质,如第121页/共146页122定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)

运算,结果仍是一个在该点连续的函数.在其定义域内连续例如,第122页/共146页123定理2.

连续单调递增函数的反函数例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调反三角函数在其定义域内皆连续.第123页/共146页124在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,

第124页/共146页125定理3定理4.连续函数的复合函数是连续的.即:

设函数则复合函数且即加强条件有:注意定理4是定理3的特殊情况.(证明略)第125页/共146页126意义极限符号可以与函数符号互换;例8.求解:原式第126页/共146页127例9.是由连续函数链因此在上连续.复合而成,第127页/共146页128三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★基本初等函数的连续性★(均在其定义域内连续)（四）、初等函数的连续性Ex第128页/共146页129基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而定义区间是指包含在定义域内的区间.第129页/共146页130例10.讨论

的连续性。解:第130页/共146页131的连续性。例10.讨论第131页/共146页132(五)利用函数连续性求函数极限1.利用初等函数连续性求函数极限例11.

求解:

初等函数在例12

求解:第132页/共146页133例13.

求解