线性规划常见题型大全

…………○…………内…………○…………装…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………-试卷第=page1616页，总=sectionpages1616页.z.绝密*启用前2014-2015学年度"""学校8月月考卷试卷副标题考试*围：***；考试时间：100分钟；命题人：***题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的**、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．已知实数*，y满足，则z＝4*＋y的最大值为()A、10B、8C、2D、0【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z＝4*＋y取得最大值为8*A*Ay220考点：线性规划.2．若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值*围是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】根据画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1图2图3考点：平面区域与简单线性规划.3．已知变量*,y满足约束条件则的取值*围是()A．B．C．D．(3,6]【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k＝的*围是.考点：线性规划，斜率.4．（5分）（2011•**）已知平面直角坐标系*Oy上的区域D由不等式组给定．若M（*，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A.3B.4C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣*+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣*+z做出l0：y=﹣*，将此直线平行移动，当直线y=﹣*+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选B点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．5．已知不等式组表示的平面区域的面积等于，则的值为（）﹙A﹚（B）﹙C﹚（D）【答案】D【解析】试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积，解得，故选D.考点：1.线性规划求参数的取值.6．设*，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵=1+而表示点(*，y)与点(－1，－1)连线的斜率．由图知a>0，否则无可行域，且点(－1，－1)与点(3a，0)的连线斜率最小，即==a=17．已知实数，满足条件，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：如下图可行区域为上图中的靠近*轴一侧的半圆，目标函数，所表示在可行区域取一点到点（2,0）连线的斜率的最小值，可知过点（2,0）作半圆的切线，切线的斜率的最小值，设切线方程为y=k（*-2），则A到切线的距离为1，故.考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.8．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是()（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：设这两个数为：，则.若两数中较大的数大于，则还应满足：或（只需排除），作出以上不等式组表示的区域，由几何概型的概率公式得.选C.考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）9．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为________．【答案】.【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域，则可知直线与直线的交点，作直线：，平移直线，可知当，时，.考点：线性规划.10．已知变量满足约束条件若目标函数的最大值为1，则.【答案】3【解析】试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4,1）点是取得最大值，所以，所以.考点：线性规划.11．设z=k*+y，其中实数*，y满足若z的最大值为12，则实数k=．【答案】2【解析】作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)过原点作出直线k*+y=0k=0时，y=0，目标函数z=y在点A处取得最大值4，与题意不符②即时，直线k*+y=0即y=－k*经过一、三象限，平移直线y=－k*可知，目标函数z=k*+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与不符;③－k>即k<－时，直线k*+y=0即y=－k*经过一、三象限，平移直线y=－k*可知，目标函数z=k*+y在点B处取得最大值，即，此式不成立④－k<0即k>0时，直线k*+y=0即y=－k*经过二、四象限，平移直线y=－k*可知，目标函数z=k*+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与k>0相符，所以k=212．点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式总成立，则的取值*围是________________.【答案】【解析】试题分析：将不等式化为，只需求出的最大值即可，令，就是满足不等式的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在处取最大值3，则m取值*围是.考点：简单的线性规划和转化思想.13．设变量*，y满足的最大值为.【答案】8【解析】试题分析：这是如图可行域，目标函数,表示可行域内的点到直线的距离的2倍，很显然点A到直线的距离最大，点,将其代入点到直线的距离公式得到考点：1.线性规划；2.点到直线的距离公式.14．已知实数*，y满足若z＝a*＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值*围为__________．【答案】[－1，1]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.15．设实数满足向量，．若，则实数的最大值为．【答案】；【解析】试题分析：因为，所以,故根据线性规划的知识画出可行域如图,则目标函数在点（1，8）处取得最大值6.考点：向量平行线性规划16．已知点，为坐标原点，点满足,则的最大值是【答案】【解析】试题分析：作出可行域如图，则,又是的夹角,∴目标函数表示在上的投影，过作的垂线，垂足为，当在可行域内移动到直线和直线的交点时，在上的投影最大，此时，∴的最大值为,故答案为．考点：简单线性规划的应用，平面向量的数量积，平面向量的投影.17．若实数、满足,则的最大值是_________.【答案】4【解析】试题分析：将变形为，表示圆心为，半径为的圆。令，即。由图像分析可知圆心到直线距离，解得，所以的最大值是4。考点：1线性规划、数形结合思想；2点到线的距离；18．已知为坐标原点，，，，满足，则的最大值等于.【答案】【解析】试题分析：，设,如图：做出可行域当目标函数平移到C点取得最大值，解得,,代入目标函数，的最大值为.考点：1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划.19．已知实数*，y满足则r的最小值为________．【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y＝*的距离，所以r的最小值为.20．已知P(*，y)满足则点Q(*＋y，y)构成的图形的面积为_____．【答案】2【解析】令*＋y＝u，y＝v，则点Q(u，v)满足，在uOv平面内画出点Q(u，v)所构成的平面区域如图，易得其面积为2.21．已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.考点：线性规划求最值22．曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(*，y)是区域D内的任意一点，则*＋4y的最大值为．【答案】4【解析】试题分析：，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：令，将其变形为，当变化时，它表示一组斜率为，在轴上的截距为的平行直线，并且该截距越在，就越大，由图可知，当直线经过时，截距最大，所以＝，故答案为：4.考点：1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.23．已知实数*，y满足，则的最小值是.【答案】2【解析】试题分析：线性不等式组表示的可行域如图：，，。表示点与可行域内的点间的距离的平方。，点到直线的距离为，因为，所以。考点：线性规划。24．已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.考点：线性规划求最值25．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是.【答案】2【解析】试题分析：等价于，即直线的下方和直线的上方，而与直线围成三角形区域，当时，不等式组表示的平面区域的面积为.考点：不等式中的线性规划问题.26．已知实数满足则的最大值为_________.【答案】16【解析】试题分析：如图实数满足满足的可行域是三角形OAB的阴影部分.由可化为.所以求z的最大值即求出的最小值.目标函数，如图所示.过点B即为m所求的最小值.因为B（-2,0）所以m=-4.所以.故填16.考点：1.线性规划问题.2.指数函数的运算.评卷人得分三、解答题（题型注释）27．已知*，y满足约束条件，试求解下列问题．(1)z＝的最大值和最小值；(2)z＝的最大值和最小值；(3)z＝|3*＋4y＋3|的最大值和最小值．【答案】（1）zma*＝，zmin＝.（2）zma*＝1，zmin＝（3）zma*＝14，zmin＝5.【解析】(1)z＝表示的几何意义是区域中的点(*，y)到原点(0，0)的距离，则zma*＝，zmin＝.(2)z＝表示区域中的点(*，y)与点(－2，0)连线的斜率，则zma*＝1，zmin＝.(3)z＝|3*＋4y＋3|＝5·，而表示区域中的点(*，y)到直线3*＋4y＋3＝0的距离，则zma*＝14，zmin＝528．设*,y满足约束条件,（1）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积；（2）若目标函数z=a*+by(a>0,b>0)的最大值为4,求的最小值.【答案】（1）10；（2）4【解析】试题分析：（1）如图先在直角坐标系中画出各直线方程，再用特殊点代入法判断各不等式表示的平面区域，其公共部分即为不等式组表示的平面区域，用分割法即可求出其面积。（2）画出目标函数线，平移使其经过可行域当目标函数线的纵截距最大时，取得最大值，求出满足条件的此点坐标代入目