第四章 函数的插值与拟合法

第四章函数的插值与拟合法第1页，共46页，2023年，2月20日，星期三定义4.1

设y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不相同的点上取值.求一个性态较好的简单函数P(x)，使得

则称P(x)为f(x)的插值函数[a,b]----插值区间----插值节（结）点f(x)----被插函数（4-1）----插值条件求插值函数P(x)的方法----插值法一、插值函数4.1引言

第2页，共46页，2023年，2月20日，星期三yxo插值第3页，共46页，2023年，2月20日，星期三(1)当P(x)为次数不超过n次的代数多项式时，相应的插值法称为

多项式插值；(2)当P(x)为三角多项式时，相应的插值法称为三角插值；(3)当P(x)为分段解析函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值。第4页，共46页，2023年，2月20日，星期三定理4.1在n+1个互异点上满足插值条件(4-1)的次数不超过n次的插值多项式存在且惟一。所以，解存在且惟一，这说明由式(4-2)表示的存在且惟一，证毕。证二、多项式插值的唯一性设有第5页，共46页，2023年，2月20日，星期三

4.2插值多项式的构造

一、基本插值多项式

定义下列表函数

的插值多项式叫做以为节点的基本插值多项式。

由定义可知xx0x1---xi-1xixi+1---xny00---010---0

4.2.1拉格朗日插值多项式

(4-4)第6页，共46页，2023年，2月20日，星期三解

------n次Lagrange插值基函数第7页，共46页，2023年，2月20日，星期三注：1.n+1个节点n+1个基本插值多项式。2.仅与节点有关，与f(x)无关。二、Lagrange插值多项式求下列列表函数的多项式Ln(x)

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn-----n次拉格朗日插值多项式

解

第8页，共46页，2023年，2月20日，星期三线性插值(n=1)，抛物插值(n=2)

注：1.是的线性组合。2.与节点的排列顺序无关。第9页，共46页，2023年，2月20日，星期三例：已知列表函数,并计算f(0.5)的计算值。解：x-1012y111-5第10页，共46页，2023年，2月20日，星期三第11页，共46页，2023年，2月20日，星期三三、Lagrange插值多项式的余项

定理4.2（误差估计定理）

第12页，共46页，2023年，2月20日，星期三注（1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代之以误差估计式（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使尽可能小，以减小误差。推论

第13页，共46页，2023年，2月20日，星期三例4.1给定函数表试分别用线性插值和抛物插值求ln1.46的近似值并估计误差。x1.21.31.41.51.61.7lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628解作线性插值得第14页，共46页，2023年，2月20日，星期三作抛物插值第15页，共46页，2023年，2月20日，星期三

4.2.2牛顿均差插值多项式

一、均差，均差表定义设f(x)在[a,b]上连续，及自变量

第16页，共46页，2023年，2月20日，星期三第17页，共46页，2023年，2月20日，星期三节点一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差第18页，共46页，2023年，2月20日，星期三例4.3试用列表法对下例表格函数求f[1,3,5,7]x012345678f(x)107-3-19-39-59-71-599列表计算得xif(xi)一阶均差二阶均差三阶均差13577-19-59-59-13-200-1.7551.125所以f[1,3,5,7]=1.125解第19页，共46页，2023年，2月20日，星期三二、均差的性质这性质又称为均差关于自变量对称~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第20页，共46页，2023年，2月20日，星期三第21页，共46页，2023年，2月20日，星期三三、牛顿均差插值多项式第22页，共46页，2023年，2月20日，星期三第23页，共46页，2023年，2月20日，星期三Nn(x)称为牛顿均差插值多项式。证第24页，共46页，2023年，2月20日，星期三第25页，共46页，2023年，2月20日，星期三例1：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.25386第26页，共46页，2023年，2月20日，星期三00.400.4107510.550.578151.116020.650.696151.18600.280030.800.888111.27570.35830.19740.901.026521.38480.43360.2140.03451.051.253861.51560.52600.2310.0340k

xkyk

一阶二阶三阶四阶五阶解:(1)(2)与0.596最接近的三个节点第27页，共46页，2023年，2月20日，星期三例4.4给定表格函数

x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36

（1）试用二次牛顿均差插值法求f(2.8)的近似值；（2）设f(x)=-1.166已知，试用（1）中构造的插值多项式求x的近似值。解(1)选取节点x=2,3,4kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差020.1751.135-1.97-0.9131.31-2.0805-1.0724-1.495-0.665310.5第28页，共46页，2023年，2月20日，星期三

4.3分段低次插值（略）

第29页，共46页，2023年，2月20日，星期三

4.4最小二乘法

4.4.1最小二乘法的提出

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn已知立表函数：函数插值问题现在的问题：对上面立表函数求一近似函数（不要求插值）y=P(x)满足：（1）反映立表函数的一般趋势（2）要求偏离立表函数很小-----函数的拟合第30页，共46页，2023年，2月20日，星期三yxo插值拟合方差第31页，共46页，2023年，2月20日，星期三

4.4.2

数据的多项式最小二乘拟合

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn已知一组数据：解------这个多项式称为这组数据的最小二乘拟合多项式第32页，共46页，2023年，2月20日，星期三第33页，共46页，2023年，2月20日，星期三它称为法方程组（或正规方程组）。

第34页，共46页，2023年，2月20日，星期三例1：数据x1345678910y278910111190试求一曲线，最好地拟合这组数据。解（1）描图二次曲线(2)建立关于的正规方程组。

第35页，共46页，2023年，2月20日，星期三第36页，共46页，2023年，2月20日，星期三解得第37页，共46页，2023年，2月20日，星期三例4.5试对以下数据进行多项式拟合

xi12345678yi1.13.88.715.624.637.449.664.2解第38页，共46页，2023年，2月20日，星期三第39页，共46页，2023年，2月20日，星期三注第40页，共46页，2023年，2月20日，星期三第41页，共46页，2023年，2月20日，星期三x-2012y1.905.113.8例4.6用最小二乘法求形如y=ax+bx2的多项式，使与下列数据拟合（得数保留三位小数）解第42页，共46页，2023年，2月20日，星期三例4.7给定数据试求形如y=a+bx2的拟合多项式（得数保留三位小数）。解x-5012y52.63.45.510.5第43页，共46页，2023年，2月20日，星期三

4.4.3最小二乘法的应用例例4.8试对下表数据进行指数拟合

xi123456yi15.420.426.837.248.863.34.4.3.1数据的指数拟合解xi123456Zi=lnyi2.73443.01553.28843.61633