第十二章 平稳随机过程

第十二章平稳随机过程第1页，共51页，2023年，2月20日，星期三§12.1平稳随机过程的概念

在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响.有这样一类随机过程,即所谓平稳过程,它的特点是:过程的统计特征不随时间的推移而变化.严格地说,有下面的定义.2第2页，共51页，2023年，2月20日，星期三平稳随机过程的定义定义1设{X(t),tT

}是随机过程，如果对任意常数h和正整数n，t1,t2,,tnT,t1+h,t2+h,,tn+h

T，若(X(t1),

X(t2),,

X(tn))与(X(t1+h),

X(t2+h),,

X(tn+h))(1.1)有相同的分布函数，则称{X(t)，tT

}为平稳随机过程，或简称平稳过程.3第3页，共51页，2023年，2月20日，星期三在实际问题中,确定过程的分布函数,并用它来判定其平稳性,一般是很难办到的.但是,对于一个被研究的随机过程,如果前后的环境和主要条件不随时间的推移而变化,则一般就可以认为是平稳的.恒温条件下的热噪声电压过程;强震阶段的地震波幅;船舶的颠簸过程;照明电网中电压的波动过程;各种噪声和干扰等等.4第4页，共51页，2023年，2月20日，星期三平稳过程数字特征的特点.设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在.对n=1,在(1.1)式中,令h=-

t1,由平稳性定义,X(t1)和X(0)同分布.于是

E[X(t)]=E[X(0)],记为同样,X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数,分别记为和依照图10-4的意义,可以知道,平稳过程的所有样本曲线都在水平直线上下波动,平均偏离度为5第5页，共51页，2023年，2月20日，星期三又若平稳过程X(t)的自相关函数RX(t1,t2

)=

E[X(t1)X(t2)]存在.对n=2,在(1.1)式中,令h=-t1

,由平稳性定义,(X(t1),X(t2))与(X(0),X(t2

-

t1))同分布.于是

RX(t1,t2

)=

E[X(t1)X(t2)]=E[X(0)X(t2

-

t1)].记为RX(t1,t2

)=RX(t2

-

t1)或RX(t,t+

)=

E[X(t)X(t

+)]=RX(

).这表明:平稳过程的自相关函数是时间差t2

-t1

=

的单变量函数.6第6页，共51页，2023年，2月20日，星期三由第十章(2.7)式,协方差函数:CX(t1,t2

)=

E{[X(t1)-

μX(t1)][X(t2)-

μX(t2)]}=RX(t1,t2

)-

μX(t1)μX(t2).

那么,协方差函数可以表示为:

CX()=

E{[X(t)-

μX][X(t+)-

μX]}=RX()-

μX²特别地,令=0,由上式,有7第7页，共51页，2023年，2月20日，星期三定义2给定二阶矩过程{X(t),tT

},如果对任意t,t+

TE[X(t)]=μX(常数),E[X(t)X(t

+)]=RX(

),则称{X(t),tT

}为宽平稳过程,也称广义平稳过程.简称平稳过程.•相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程.•一个严平稳过程只要二阶矩存在,则它必定也是宽平稳过程.但反过来,一般是不成立的.•特例:一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳.•泊松过程和维纳过程是非平稳过程.8第8页，共51页，2023年，2月20日，星期三若T为离散集,称平稳过程{X(t),tT

}为平稳序列.广义平稳过程严平稳过程严平稳过程广义平稳过程严平稳过程广义平稳过程正态过程二阶矩存在9第9页，共51页，2023年，2月20日，星期三例1设{Xk,k=1,2,…}是互不相关的随机变量序列,E[Xk]=0,E[Xk²

]=σ²,则有

即相关函数只与k-l有关,所以它是宽平稳的随机序列.如果X1,X2,…,

Xk,…又是独立同分布的,则易证序列也是严平稳的.10第10页，共51页，2023年，2月20日，星期三例2设s(t)是一周期为T的函数,Θ是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量,称X(t)=s(t+Θ)为随机相位周期过程.试讨论它的平稳性.解由假设,Θ的概率密度为于是,

X(t)的均值函数为

11第11页，共51页，2023年，2月20日，星期三利用s(φ)的周期性,可知而自相关函数12第12页，共51页，2023年，2月20日，星期三同样,利用s(φ)s(φ+τ)的周期性,可知自相关函数仅与τ有关,即所以,随机相位周期过程是平稳的.特别,随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例2).13第13页，共51页，2023年，2月20日，星期三例3

X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),

t>0,Y,Z相互独立,E(Y)=E(Z)=0,D(Y)

=D(Z)

=2.讨论随机过程{X(t),t>0}的平稳性.解

14第14页，共51页，2023年，2月20日，星期三

所以{X(t),tT

}为宽平稳过程.15第15页，共51页，2023年，2月20日，星期三例4设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E(Xn)=0，D(Xn)

=2.讨论随机序列的平稳性.解因为E(Xn)=0，所以,{Xn,n=0,1,2,}是平稳随机序列.16第16页，共51页，2023年，2月20日，星期三例5设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2Θt),其中Θ是(0,1)上的均匀分布随机变量,t只取整数值1,2,，讨论随机过程X(t)的平稳性.

解17第17页，共51页，2023年，2月20日，星期三

所以X(t)是平稳过程.18第18页，共51页，2023年，2月20日，星期三联合平稳随机过程定义3设{X(t),tT

}和{Y(t),tT

}是两个平稳过程，如果它们的互相关函数E[X(t)Y(t+)]和E[Y(t)X(t+)]仅与有关,而与t无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关的,或称这两个过程是联合(宽)平稳的.RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]=RXY(),

RYX(t,t+)=E[Y(t)X(t+)]=RYX().•当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时,W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程.19第19页，共51页，2023年，2月20日，星期三事实上,E[W(t)]=E[X(t)]+E[Y(t)]=常数.20第20页，共51页，2023年，2月20日，星期三例6设X(t)=Asin(t+Θ)，

Y(t)=Bsin(

t+Θ

-)为两个平稳过程，其中A,B,

是常数,Θ是(0,2)上的均匀分布随机变量,证明X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程.

解21第21页，共51页，2023年，2月20日，星期三22第22页，共51页，2023年，2月20日，星期三所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程.23第23页，共51页，2023年，2月20日，星期三§12.2各态历经性本节主要讨论,根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法.按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征,不易办到.若用统计实验的方法作近似计算:需要对一个平稳过程重复进行大量观测.24第24页，共51页，2023年，2月20日，星期三随机过程积分的概念给定二阶矩过程{X(t),tT

},如果{X(t),tT

}它的每一个样本函数在[a,b]上的积分都存在,则说随机过程X(t)在[a,b]上的积分存在,并记为显然,Y是一随机变量.在某些情况下,对于随机过程的所有样本函数来说,在[a,b]上的积分未必全都存在.此时,引入所谓均方意义下的积分.25第25页，共51页，2023年，2月20日，星期三均方意义下的积分考虑[a,b]内的一组分点:的随机变量Y存在,则称Y为X(t)在[a,b]上的均方积分,并记为26第26页，共51页，2023年，2月20日，星期三可以证明:二阶矩过程X(t)在[a,b]上均方积分存在的充分条件是相关函数的二重积分存在.而且此时还成立有就是说,过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分.27第27页，共51页，2023年，2月20日，星期三定义1设{X(t),t

T}是均方连续的平稳过程，则时间均值:时间相关函数:

可以沿用高等数学中的方法求积分和求极限,其结果一般来说是随机的.

时间均值和时间相关函数28第28页，共51页，2023年，2月20日，星期三例1计算随机相位正弦波X(t)=acos(ωt+Θ)的时间平均<X(t)>和<X(t)X(t+τ)>.

解29第29页，共51页，2023年，2月20日，星期三将例1的结果与第十章§2例2算得的结果比较,可知μX=E[X(t)]=<X(t)>,RX(τ)

=E[X(t)X(t+τ)]=<X(t)X(t+τ)>

.

这表明:对于随机相位正弦波,用时间平均和集中平均分别算的均值和自相关函数是相等的.这一特征并不是随机相位正弦波所独有的.下面引入一般概念.30第30页，共51页，2023年，2月20日，星期三

定义2设{X(t),tT}是一平稳过程，1°如果<X(t)>

=E[X(t)]=μX以概率1成立,则称过程X(t)的均值具有各态历经性.2°如果对任意实数τ,<X(t)X(t+τ)>=E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ)以概率1成立,则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性.特别当τ

=0时,称均方值具有各态历经性.3°如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称X(t)是(宽)各态历经过程,或者说X(t)是各态历经的.

31第31页，共51页，2023年，2月20日，星期三例2

讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性,其中Y是方差不为零的随机变量.解

X(t)=Y是平稳过程,E[X(t)]=E[Y]=常数32第32页，共51页，2023年，2月20日，星期三

33第33页，共51页，2023年，2月20日，星期三定理一（均值各态历经定理）平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是34第34页，共51页，2023年，2月20日，星期三推论在存在的条件下,若则(2.1)式成立,均值具有各态历经性;若则(2.1)式不成立,均值不具有各态历经性.

注意对例1中的随机相位正弦波而言,

不存在,但它的均值是各态历经的.35第35页，共51页，2023年，2月20日，星期三定理二(自相关函数各态历经定理）平稳过程X(t)的自相关函数RX(τ)具有各态历经的充要条件是其中在(2.2)式中令τ=0,就可得到均方值具有各态历经的充要条件.如若在定理二中以X(t)Y(t+τ)代替X(t)X(t+τ),RX

(τ)代替RXY(τ)来进行讨论,那么还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理.36第36页，共51页，2023年，2月20日，星期三在实际应用中通常只考虑定义在0t<+上的平稳过程.此时上面的所有时间平均都以0t<+上的时间平均来代替.而相应的各态历经定理可以表示为下述的形式:定理三

37第37页，共51页，2023年，2月20日，星期三定理四

38第38页，共51页，2023年，2月20日，星期三各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证:一个平稳过程X(t),若0<

t

<+,只要它满足条件(2.1)'和(2.2)',便可以根据“以概率1成立”的含义,从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数,即39第39页，共51页，2023年，2月20日，星期三如果记录数据x(t)只在时间区间[0,T]上给出,则相应于(2.3)和(2.4)式,有以下无偏估计式:40第40页，共51页，2023年，2月20日，星期三在实际中一般不可能给出x(t)的表达式,因此通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式(2.5)和(2.6).1°模拟自相关分析仪.这种仪器的功能是当输入样本函数x(t)时,X-Y记录仪自动描绘出自相关函数的曲线.它的方框图如下图所示.41第41页，共51页，2023年，2月20日，星期三2°数字方法如下图,把[0,T]等分为N个长为的小区间,然后在时刻对x(t)取样,得N个函数值xk

=

x(tk),k=1,2,…,N.把积分(2.5)近似表示为基本区间Δt上的和,就有无偏估计:42第42页，共51页，2023年，2月20日，星期三相应于(2.6)式,我们可以写出在τr=rΔt时,自相关函数的无偏估计:由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值,从而拟合出自相关函数的近似图形.43第43页，共51页，2023年，2月20日，星期三§12.3相关函数的性质

假设X(t)和Y(t)是平稳过程,RX

(τ),RY

(τ)和RXY

(τ)分别是它们的自相关函数和互相关函数.1°

因为RX

(τ)=E[X(t)X(t+τ)]

2°

RX

(-τ)=RX

(τ),即RX

(-τ)是τ

的偶函数.而互相关函数既不是奇函数,也不是偶函数,但满足RXY

(-τ)=RYX

(τ)

44第44页，共51页，2023年，2月20日，星期三3°关于自相关函数和自协方差函数有不等式:|RX

(τ)|RX

(0)和|CX

(τ)|CX

(0)=σX²此不等式表明:自相关(自协方差)函数在τ=0处取到最大值.类似地,可以得到:|RXY

(τ)|

²RX

(0)RY

(0)和|CXY

(τ)|²CX

(0)CY

(0)标准自协方差函数和标准互协方差函数:45第45页，共51页，2023年，2月20日，星期三4°RX(τ)是非负定的,即对任意t1,t2,…,tn

T和任意实值函数g(t),都有事实上,根据自相关函数的定义和运算性质,有46第46页，共51页，2023年，2月20日，星期三5°如果平稳过程X(t)满足P{X(t+T0)=X(t)}=1,则称它为周期T0的平稳过程.周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也是T0.事实上,由平稳性,E[X(t)–X(t+T0)]=0.又根据第四章§2方差的性质,条件P{X(t+T0)=X(t)}=1与E{[X(t+T0)–X(t)]²}=0等价.于是,由柯西－施瓦兹不等式,得{E[X(t)(X(t+τ+T0)–X(t+τ))]}²E[X²(t)]E{[X(t+τ+T0)–X(t+τ)]²}右端为零,推知