第四章 控制系统的频率特性

第四章控制系统的频率特性第1页，共73页，2023年，2月20日，星期三§4-1频率特性的基本概念§4-2频率响应的极坐标图（乃氏图）§4-3频率响应的对数坐标图（伯德图）§4-4由频率特性曲线求系统的传递函数§4-5由单位脉冲响应求系统的频率特性§4-6控制系统的闭环频响例题分析课后习题第2页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理§4-1频率特性的基本概念一·频率特性概述对于一般线性系统，当输入正弦信号时，其输出稳定后同样也是与输入同频率的正弦信号。当输入信号幅值不变时，其输出幅值和相位一般也是随频率变化而变化的。第3页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理当输入为非正弦的周期信号时，可用傅立叶级数展开，其输入为相应的正弦波的叠加。频域法的数学基础是傅立叶变换。傅立叶正变换式傅立叶反变换式时域变频域频域变时域第4页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理除了积分下限不同外，只要将s换成jw，就可将已知的拉氏变换式变成相应的傅氏变换式。这里讨论的频率特性也就是将拉氏变换G(s)中的s直接换成jw变成G(jw)。传递函数G(s)S=jw频率特性G(jw)注：系统频率特性分析法是一种用“稳态”的方法（即输出稳态时的正弦信号，不考虑过度过程）来分析系统的动态特性（稳，准，快）第5页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理二·频率特性的一些概念幅频特性相频特性显然第6页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理描述系统正弦输出信号有三个关键参数——频率，幅值和相位角。如果传递函数由几个环节组成，例如则即多环节传递函数的幅频特性是各环节模的乘积，相频特性是各环节相位角之和。第7页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理§4-2频率响应的极坐标图（乃氏图）频率响应G(jw)是输入频率w的复变函数，是一种变换，当w从0逐渐增长至时，G(jw)作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图，亦叫做乃氏图（Nyquist曲线）一·乃氏图的一般作图法1·写出和表达式；2·分别求出和时的；3·求乃氏图与实轴的交点，交点可利用或的关系式求出；4·求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用或的关系式求出；5·必要时画出乃氏图中间几点，勾画出大致曲线。第8页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理二·典型环节的乃氏图1·放大环节的乃氏图2·积分环节的乃氏图第9页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

3·微分环节的乃氏图第10页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

4·惯性环节的乃氏图惯性环节的乃氏图是圆心在半径为1/2的园第11页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理5·二阶振荡环节第12页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

6·延迟环节显然其乃氏图是单位圆第13页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

三·一般线性定常系统乃氏图的规律当时，称该系统为0型系统；当时，称该系统为1型系统；当时，称该系统为2型系统…第14页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

(1),低频段：0型系统的乃氏图始于始于正实轴的有限值处（K,0)；

1型系统始于相角为-90度的无穷远处；

2型系统始于相角为-180度的无穷远处；……(2),高频段：一般系统分母的阶次大于分子的阶次，n>m,故乃氏图当时终于原点处；当n=m时，乃氏图曲线终于实轴上的有限值(3),加极点使系统相角滞后，加零点使系统相角超前。第15页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理2、举例例1

某0型单位负反馈系统开环传递函数为

试概略绘制系统开环幅相曲线。解：由于惯性环节的角度变化为～-900，故该系统开环幅相曲线中起点为：终点为：系统开环频率特性第16页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理令，得，即系统开环幅相曲线除在处外与实轴无交点。由于、可正可负，故系统幅相曲线在第Ⅳ和第Ⅲ象限内变化，系统概略开环幅相曲线如左图所示.若取由于非最小相位比例环节的相角恒为，故此时系统概略开环幅相曲线由原曲线绕

原点顺时针旋转而得。

第17页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理例2

设系统开环传递函数为

试绘制系统概略开环幅相曲线。解系统开环频率特性第18页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理幅值变化：相角变化：所以的变化为。第19页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理乃氏图的起点：与实轴的交点：令，得，于是系统开环幅相曲线如下张图中曲线①所示，图中虚线为开环幅相曲线的低频渐近线。本例中系统型次即开环传递函数中积分环节个数，若分别取2、3和4，则根据积分环节的相角，可将图中曲线分别绕原点旋转-900，-1800和-2700，即可得开环概略幅相曲线，如图所示。第20页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理系统开环幅相曲线如下图第21页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理例3已知单位反馈系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。解：系统开环频率特性为起点：终点：与实轴的交点：当时，得

第22页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理变化范围：时，开环幅相曲线位于第Ⅲ象限或第Ⅳ与第Ⅲ象限，时，开环幅相曲线位于第Ⅲ象限与第Ⅱ象限。开环概略幅相曲线如图所示。第23页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理§4-3频率响应的对数坐标图（伯德图）伯德图是将幅值与频率的关系和相位与频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。伯德图幅值所用的单位为分贝（dB）分贝的定义：在控制学领域，任何一个数N都可以用分贝值n表示，定义若，则称从w1到w2为十倍频程，以“dec.”(decade)表示。第24页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

对于一般线性系统第25页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

显然，采用伯德图有如下优点：1，合理利用纸张，以有限的纸张空间表示很宽的频率范围；2，简化乘除运算为加减运算；3，频率特性往往可用折线近似曲线，系统的幅频特性用组成该系统的各环节的幅频特性折线叠加使得作图非常方便。第26页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理一·典型环节的伯德图1·放大环节第27页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

2·积分环节第28页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理3·惯性环节在低频段，w很小，Tw<<1在高频段，w很大，Tw>>1注：（1）其幅频特性的伯德图可用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。（2）近似伯德图的转角频率点是近似幅频伯德图误差最大的点，与精确值大约相差3dB第29页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理4·一阶微分环节其分析方法与一阶惯性环节类似第30页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理5·二阶振荡环节在低频段，w很小，Tw<<1在高频段，w很大，Tw>>1在低频段，w很小，在高频段，w很大，在转角频率处，第31页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

幅频特性第32页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

说明：（1）其幅频特性伯德图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示，两渐近线相交于无阻尼自然频率。（2）实际曲线随阻尼比的不同而不同，变小，谐振峰增大，反之增大，谐振峰向左偏移，自振频率下降。相频特性第33页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

6·延迟环节如果用线性坐标，则延迟环节的相频特性为一条曲线；反之，如果某环节的相频特性在线性坐标上是一条直线，则该环节为延迟环节。第34页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理二·一般系统伯德图的作图方法系统幅频特性和相频特性的伯德图可由各典型环节的幅频特性伯德图迭加得到。例如：系统可认为由下列五个典型环节组成：第35页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

画图步骤：（1）将传递函数分解成典型环节并按转角频率从小到大排序，计算斜率累加值。（2）过（1，20lgK）点作低频渐进线，斜率为-20rdB/dec，r为积分因子的个数。（3）根据斜率累加值，每遇转角频率即改变渐进线斜率，作出幅频特性。斜率改变取决于典型环节种类。例如：在G(S)=(Ts+1)±1的环节，在ω=1/T处斜率减少±20dB/dec，而在G(S)=()±1的环节，在ω=1/T处斜率改变±40dB/dec。（4）用描点连线的方法绘制相频特性第36页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

第37页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

三·最小相位系统在S右半平面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；否则为非最小相位系统。特点：（1）对于相同阶次的基本环节，当频率w从0连续变化到时，最小相位的基本环节造成的相移是最小的。（2）对于最小相位系统，知道了幅频特性，其相频特性就唯一确定，而非最小相位系统则不唯一确定。（3）实用的大多数系统为最小相位系统，为了简化工作量，对于最小相位系统的伯德图，可以只画幅频特性。第38页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

第39页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理例：有一最小相位系统,其频率特性为另有一非最小相位系统,其频率特性为

(T2＞T1＞0)很明显，这两个系统的对数幅频特性是完全相同的,

第40页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

相频特性不同：前一系统的相角角度变化范围0°负角度值0°；后一系统的相角角度变化范围0°-180°。

它们的Bode图如图所示。第41页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

最小相位系统和非最小相位系统的伯德图第42页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

例已知系统的开环传递函数为试绘制系统的伯德图。

解将开环传递函数写成如下典型环节乘积形式:第43页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

可见,此系统由一个比例环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个一阶微分环节和一个二阶振荡环节组成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比=0.354。在确定了各个环节的交接频率和20lgK的值以后,可按下列步骤绘制系统的伯德图:(1)通过点(1,17.5)画一条斜率为－20dB/dec的直线,它就是低频段的渐近线;(2)在ω1=1.414处,将渐近线的斜率从－20dB/dec改为－60dB/dec,这是考虑振荡环节的作用;第44页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

(3)由于惯性环节的影响,

在ω2=2处,渐近线斜率改变-20dB/dec,即从原来的－60dB/dec变为－80dB/dec;(4)在ω3=3处,渐近线的斜率改变+20dB/dec,形成斜率为－60dB/dec的线段,这是由于一阶微分环节的作用;(5)根据相频特性φ(ω),求出若干点的相频特性曲线角度值,将各点光滑连接,可以绘制系统的相频特性。开环系统的伯德图如图所示(虚线为渐近线)。第45页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

第46页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理§4-4由频率特性曲线求系统的传递函数

实际应用中，有许多系统的物理模型很难抽象得准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。因此可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。方法与步骤：（1）先看起始段，如是水平线则为0型传递函数，如果-20dB/dec则为1型传递函数，如果-40dB/dec则为2型传递函数······；如果起始段是20dB/dec，则分子有一个s，如果起始段是40dB/dec，分子有，······（2）在w=1处确定传递函数的比例环节，如在w=1前处幅频线有转折，则利用初始段的延长线与w=1的相交点确定比例环节，第47页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

（3）确定幅频曲线各转折点（4）确定幅频曲线每段的斜率。（5）每段斜率每减少-20dB/dec,表示有一个惯性环节，每减少-40dB/dec,表示有一个二阶振荡环节；每增加+20dB/dec，表示有一个一阶微分环节，每增加+40dB/dec，表示有一个二阶微分环节。（6）相频曲线在高频处呈现不断下降的趋势，则可断定有延时环节，是非最小相位系统。（7）可用相频曲线校核由幅频线写出的传递函数。第48页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理例

已知最小相位系统的对数幅频特性图-20-40L()1c0试求系统的传递函数。系统传递函数为其中，第49页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理§4-5由单位脉冲响应求系统的频率特性由第三章可知上式说明隐含着幅值相等的各种频率。如果对某系统输入一个单位脉冲，则相当于用等强度的所有频率去激发系统，系统单位脉冲响应的傅氏变换即为系统的频率特性。因所以第50页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理为了识别系统的传递函数，我们可以产生一个近似的单位脉冲信号作为系统的输入，记录系统响应的曲线g(t),则系统的频率特性为第51页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

§4-6控制系统的闭环频响一、由开环频率特性估计闭环频率特性对于图示的系统,其开环频率特性为G(jω)H(jω),第52页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

闭环频率特性为因此,已知系统开环频率特性,就可以求出系统的闭环频率特性,也就可以绘出闭环频率特性曲线。设系统为单位反馈系统,即H(jω)=1,则第53页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

一般，实际系统的开环频率特性具有低通滤波的性质。所以低频时|G(jω)|>>1,此时高频时|G(jω)|<<1,此时所以闭环对数幅频特性图如图所示。第54页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

闭环幅频特性

第55页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理例

单位反馈系统开环传递函数为

而闭环传递函数为

用MATLAB绘制其闭环频率特性的伯德图如图5-38所示，其程序如下：

g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］);sys=feedback(g1,g2)margin(sys)第56页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理第57页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理二、频域性能指标

闭环系统对数幅频特性曲线第58页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

1、截止频率(带宽频率)ωcut

对数幅频特性的幅值下降到-3dB时对应的频率。而0ωb的频率范围，称为系统的带宽BW。带宽反映了系统对噪声的滤波特性,同时也反映了系统的响应速度。带宽愈大,暂态响应速度愈快，但易引入噪声干扰；反之,带宽愈小（只有较低频率的信号才易通过），暂态响应速度愈慢，但抑制高频干扰能力强。第59页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

2、谐振峰值Mr

闭环幅频特性的最大值称为谐振峰值。它反映了系统的相对稳定性。一般而言,Mr值愈大,

则系统阶跃响应的最大超调量也愈大。通常希望系统的谐振峰值在1.1~1.4之间,相当于二阶系统的为0.4＜＜0.7。

3、谐振频率ωr

谐振峰值对应的频率称为谐振频率。它在一定程度上反映了系统暂态响应的速度。ωr愈大,暂态响应愈快。对于弱阻尼系统,ωr与ωb的值很接近。第60页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理对于二阶系统,闭环频率特性其幅频特性为由 得谐振频率ωr为

(0≤≤0.707)第61页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理则谐振峰值Mr为

(0≤≤0.707)由，即得截止频率(带宽频率)为(0≤≤0.707)第62页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理

以上三式反映了二阶闭环系统频域性能指标与二阶系统参数n，之间的关系。因此只要给出频域性能指标中的任意两个就可以计算出二阶系统的参数n，，从而计算出二阶系统的时域性能指标tr、tp、ts等，实现两类指标之间的转换。第63页，共73页，2023年，2月20日，星期三自动控制原理小结(1)频率分析法是在频域内应用图解法分析控制系统性能的一种工程方法，在不求解系统的微分方程情况下可以分析系统的动态性能和稳态性能。同时频率特性可由实验方法得到，因而它具有重要的工程应用价值。(2)频率特性是指线性系统在正弦输入信号作用下的稳态输出与输入之比。它和传递函数、微分方程一样能反映系统的动态性能，是线性系统又一种形式的数学模型。(3)对于最小相位系统，由于其幅频特性和相频特性之间有着唯一的对应关系，因而可仅根据其对数幅频特性曲线写出对应系统的传递函数。(4)开环系统的对数幅频特性曲线是控制系统分析和设计的重要工具。开环系统的对数幅频特性曲线的低频段表征了系统的静态特性，中频段表征了系统的动态特性，而高频段则表征了系统动态响应的起始阶段性能及系统的抗干扰能力。第64页，共73页，2023年，2月20日，星期三1．已知单位反馈系统的开环传递函数为试绘制对数幅频特性渐近线解：第65页，共73页，2023年，2月20日，星期三第66页，共73页，2023年，2月20日，星期三2．考虑下图所示闭环系统及相应Nyquist轨线图，试确定系统稳定性与k值关