隐函数的理论与应用开题报告

毕业论文开题报告数学与应用数学隐函数的理论与应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式（或分段函数用不同的解析式）表示的，如，，.，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程或来确定的，这时我们称由或确定的函数为隐函数.二、相关研究的最新成果及动态本文的主要目的是通过对大量文献资料的查阅，寻找各种相关信息，向人们介绍隐函数的理论知识，并且通过隐函数的知识解决一些几何问题和实际问题.本论文首先引出一些关于隐函数的概念．以下是有关概念：定义[1]：设,，函数:.对于方程（1）若存在集合与，使得对于任何，恒有惟一确定的，它与一起满足方程（1），则称由方程（1）确定一个定义在上，值域含于的隐函数.定义[2]：设和为定义在区域上的两个三元函数。若存在区间,对于内任意一点,分别有区间和上唯一的一对值,,它们与一起满足方程组（2）；则说方程组(2)确定了两个定义在区间上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数为由方程组(2)所确定的隐函数组,若分别记这两个函数为,,则在区间上成立恒等式和.隐函数存在惟一性定理[3]若满足下列条件：（=1\*romani）函数在以为内点的某一区域上连续；（=2\*romanii）（通常称为初始条件）；（=3\*romaniii）在内存在连续的偏导数；（=4\*romaniv），则在点的某领域内，方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得=1\*GB3①时且；=2\*GB3②在内连续.隐函数存在定理的推广定理1[4]设在的一个领域内连续，满足1）2）存在正数及，使以下（）、（）两条件至少有一个成立（）（）这里等是关于的导数.那么存在上的连续函数，使定理2[5]函数是带域上的有界函数，的导数处处存在，且满足，在上可测，则存在，使得.定理3[6]若函数满足下列条件:（1）函数在以为内点的某一区域上连续；（2）；（3）在内存在关于的直到阶的连续偏导数,且;（4）.则当为偶数时,在点的某领域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数),使得（1）时且；（2）在内连续;注:当为奇数时,无法判断隐函数的存在性,也无法判断惟一性.隐函数组定理[7]设方程组（3），若（3）中的与满足：（=1\*romani）在上连续，；（=2\*romanii）；（=3\*romaniii）在内存在一阶连续偏导数；（=4\*romaniv），则、使，，即有，，满足及，；、在内连续；、在内存在一阶连续偏导数，且隐函数求导的方法[8]1、显化法把隐函数化为显函数后，再利用显函数求导数的方法来求隐函数的导数.此种方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导，但是此种方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用.2、公式法利用公式：来求隐函数的导数的方法[9].这种方法要求先把确定隐函数的方程写成的形式，再对的两边同时分别对求导数，然后再利用该公式求出.而且在对的两边同时分别求导数时，需要先后把看作常数(其实是根据为的独立变量)这对初学者来说不容易分辨.而且此方法的计算量较大.3、微商法利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再根据函数的微分与函数的导数之间的关系（对的导数即为的微分与的微分的商）求出隐函数的导数的方法.此种方法与公式法有着同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把看作独立变量，而且该方法比公式法的计算过程更复杂一些.4.参数法引入参数把隐函数转换成由参数方程所确定的函数，再利用参数方程组所确定的函数的求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法在把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数时，步骤较为复杂，因此一般很少使用.5、复合法把隐函数转换成复合函数，再利用复合函数求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法的原理类似于对数求导法原理，但比对数求导法适用性更广泛.6、直接法直接把确定隐函数的方程中的看成是的函数,再对方程的两边同时求对的导数，从而得到一个含有的方程，由此方程解出的方法.该方法具有很好的适用性，因此也被广泛使用，但是该方法要求使用者比较熟悉复合函数的求导法、对数求导法等一些基本的导数知识，而且若能够把此方法和复合法灵活地结合起来使用，将是求导数问题的一个极其有用的工具.隐函数极值定理定理1[10]设函数在的邻域内具有二阶连续偏导数,且，则当时,由方程确定的隐函数在处取得极大值;当时,由方程确定的隐函数在处取得极小值.定理2[11]设函数在点的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且，.由方程所确定的元函数为，则当为正定矩阵时,在处取得极小值;当为负定矩阵时,在处取得极大值;当为不定矩阵时,在处不取得极值.其中.隐函数[12]的极值求法（一）隐函数确定的函数的极值求解步骤归纳如下[13]：=1\*GB2⑴利用隐函数求导方法求出.=2\*GB2⑵求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即的点；导数不存在的点的点；有的隐函数还存在同时既是导数等于零的点又是导数不存在的点.=3\*GB2⑶对于的点一般用第二充分条件判断；对于的点可用反证法说明或从函数方程来考虑，对于的点只能从函数本身来考虑．（二）几何判别法[14]对于隐函数的极值问题,通常是根据隐函数求导法求出隐函数的一阶和二阶导数,再根据多元显函数取极值的必要和充分条件,求得隐函数的极值.利用方向导数讨论隐函数极值却很少见到.所以我们在方向导数的基础上,得到了隐函数的几何判别法,丰富了隐函数极值的判别理论.下面来看一下隐函数在几何，经济方面的应用（一）在几何中的应用[15]例：求一条平面二次曲线，使过点与点，且分别在点与点处与直线相切（图1），并证明直线在曲线上点处的法线上，其中点为点到曲线的最近点.解：（1）先求二次曲线的方程.设直线的方程分别为，，（1），其中直线与相交于点，直线与相交于，.令，则是二元二次方程，表示一条圆锥曲线（即不过圆锥顶点的任意平面截圆锥所得的曲线）.由于曲线在点处的法向量（即该点处与切向量垂直的向量），其中，于是，法向量，而是直线在点处的法向量，故曲线在点处与直线相切.同理可得曲线在点处与直线相切.因此，所求平面二次曲线的方程为其中由（1）式确定.（2）下证直线在曲线上点处的法线上.设点为点到曲线的最近点，则点的坐标满足方程，并使距离为最小.构造函数，则点的坐标还满足方程组，因此（2）又曲线在点处的法向量为，而向量，由（2）式知，即在曲线上点处的法线上.（二）在经济方面的应用[16]以一个简单的国民收入模型为例介绍了隐函数定理及在其基础之上推导出来的比较静态分析一般形式体系在经济学比较静态分析中的应用.

三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标（1）研究内容本课题主要是研究隐函数的理论知识及其在几何与经济中的应用．（2）研究方法探讨隐函数的理论知识与应用问题，要理论联系实际！怎么把隐函数的知识应用到实际中！隐函数的知识在实际中有很广泛的作用．主要是通过大量的搜查资料，寻找相关信息，总结隐函数的理论知识和实际应用.我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息．（3）技术路线尽可能的收集足够的相关资料，对资料中的理论研究成果进行整理分析，相互比较后进行总结并尽量得到新的应用．（4）研究难点怎样把隐函数的理论知识应用到实际问题中．（5）预期达到的目标利用隐函数理论知识解决生活中的一些实际问题．

四、论文详细工作进度和安排1．指导学生收集资料完成毕业论文的文献检索，泛读相关文章，形成系统材料。（09～10学年第一学期第8周至第9周）2.指导学生完成文献综述。（09～10学年第一学期第10周至第11周）3.指导学生完成开题报告。（09～10学年第一学期第12周至第13周）4.指导学生研读外文文献，完成外文翻译。（09～10学年第一学期第14周至第15周）5.要求学生进一步完善论文的资料、数据收集，精读其中的重要参考文献、列出文章的初步提纲。（09～10学年第二学期第1周至第2周）6.指导学生的论文初稿撰写工作。（09～10学年第二学期第3周至第8周）7.审阅论文初稿，指导学生对论文进行反复修改。（09～10学年第二学期第9周至第10周）8.要求学生对论文进行完善，最后定稿。（09～10学年第二学期第11周至第12周）五、主要参考文献（参考文献格式：论文：作者题目刊名年份卷（期）页码专著：作者书名出版者年份）华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].高等教育出版社,2001.吴耀强.隐函数组存在性在几何方面的一个定理及其应用[J].宿州教育学院学报,2006,6:9-1.杨则燊，边馥萍.高等数学[M].天津大学出版社，2005.刘季浦.关于隐函数存在定理[J].岳阳大学学报,1993,4:6-1.王江云.隐函数存在定理的推广[J].学术交流，1994:1.胡华.隐函数定理的一个推广及其应用[J].广西民族学院学报（自然科学版），2000,5:6-2.李保荣.隐函数组定理证明的教学刍议[J].邵阳学院学报（自然科学版）,2010,3:7-1.陈志惠.关于隐函数求导问题的归纳与总结[J].牡丹江教育学院学报，2010:121-3.WalterRudin.PrinciplesofMathematicalAnalysis[M].ChinaMachinePress.2004.1.单国莉.隐函数极值存在的条件及应用实例[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2005:21-3.陈维杜,王漱石.极值和条件极值[J].湖州师范学院学报.1990:5.[美]阿泼斯托尔（Aposto