复积分的几种算法

复积分的几种算法

摘要复积分的计算方法按照积分路径分为闭合积分路径和非闭合积分路径两类。当给定起点、终点的积分路径(非闭合积分路径)的复积分，若被积函数在某一个包含起点、终点在内的单连通区域内解析，可以采用不定积分法，找到被积函数的原函数；若积分路径参数方程易写出，可以采用参数方程法，写出路径参数方程，确定起点和终点所对应的参数值，从而确定积分的上、下限；闭合积分路径的复积分，主要观察被积函数的在闭合路径中有几个奇点：若没有奇点，运用柯西积分定理，积分值为零；若只有一个奇点，可以运用柯西积分公式或者柯西留数定理；若有若干个奇点，可以运用柯西留数定理，或者先借助柯西积分定理挖去奇点，再利用柯西积分定理或柯西积分公式来计算。1)化为实、虚部两个二元实函数若函数f⑵=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则Jf(z)沿C可积分，且Jf(z)dz=Judx一vdy+iJvdx+udy.CCC2)参数方程法设有光滑曲线C:z二z(t)二x(t)+iy(t),(a<t<卩)，又设f⑵沿C连续.令fI(t)]=ulx(t),y(t)]+ivlv(t),v(t)]=u(t)+iv(t) 则Jf(z)=Jpf[z(t)b(t)dtaC3)不定积分法如果在单连通区域D内函数f(z)解析，则沿D内任意曲线L的积分Jf(匚)d©只与其L起点和终点有关•当起点z固定时，这积分就在D内定义了一个变上限z的单值函数，我们0把它记成变上限积分3.1)F(z)=Jzf(Gd©3.1)z0设函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析，则由(3.1)定义的函数F(z)在D内解析，且F'(z)二f(z)淋函数F(z)为f(z)的一个不定积分或原函数.(不定积分法)如果F(z)为f(z)在单连通区域D内的任意一个原函数，则Jzf(Gd匚二F(z)-F(z) (z,zeD)00z04)柯西积分定理a)设函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一闭曲线(不必是简单的),

则Jf(z)dz二0.Cb)设函数f(Z)在z平面上的单连通区域D内解析，则f(z)在D内积分与路径无关•即对D内任意两点z和z，积分Jzif(z)之值，不依赖于D内连线起点z与终点z的曲线.TOC\o"1-5"\h\z0l 0 lz05)复周线柯西积分定理设D是由复周线C=C+C-+...+C_所围成的界多连通区域,f(z)在D内解析,0l n在D=D+C上连续，则Jf(z)dz二0，或写成Jf⑵dz=Jf⑵dz+...+Jf⑵dzC C0 C1 Cn(沿外界积分等于沿内边界积分之和)6)形如 的复积分，且E=z是被积函数F(g)= 在C内部的唯一奇点，运S-z g-zC用柯西积分公式(柯西积分公式)设区域D的边界是周线(或复周线)C,函数f(Z)在D内解析，在D二D+C上连续，则有f⑵=哈［理尤(ZD儿即'雲心2砒⑵C7)形如J:f(Zo+站⑷的复积分，运用解析函数平均值定理(解析函数平均值定理)如果函数心在圆1:-十R内解析，在闭圆1:-十R1上面连续，则f(z°)=药：f(zo+曲心 即:佗+Rei®)心2g°)8)形如J*f(g)dg (n=l,2,…)的复积分，且g=z是被积函数F(g)= 理一(g-z)n+1 (g-z)n+1C在C内部的唯一奇点，运用解析函数的无穷可微性(解析函数的无穷可微性)设区域D的边界是周线(或复周线)C,函数f(Z)在D内解析，在D=D+C上连续，函数f(z)在区域D内有各阶导数，且有f(n)f(n)(z)=昱J dg2兀iC(g-z)n+1(zeD,n=1,2,...)2兀f(n)(z)

n!((zeD，n=1,2，…)9)形如Jf(z)dz的复积分，且被积函数f(z)在C内有一个或若干个奇点，运用柯西留数C定理(柯西留数定理)f(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除ai，a2，...，an外解析,

在闭域D=d在闭域D=d+C上除ai,行…,a外连续,则Jf(z)dz二2兀i工Resf(z)k=1z=ak柯西留数定理是最实用的求复积分的方法，实际上柯西积分定理和柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形，而运用柯西留数定理的关键在于如何准确快速地求出被积函数f(z)的在C内的所有奇点的留数。而在计算孤立奇点a的留数时，我们只关心其洛朗展示中这一项的系数，所以应用洛朗展示求留数是最基础的方法。下面，简单介绍求留数z-a的方法。我们将孤立奇点分成三类，分别为可去奇点，极点，本质奇点。函数在有限可去奇点处的留数为零；对于极点，若a为f(z)的一阶极点，则Res[f(z),a]=lim(z-a)f(z)；zTa若a为f(z)的n阶极点(n>2)，f(z)=少⑵，其中9(z)在点a解析，9(a)丰0，(z-a)n则Res[f(z),a]= 畀.对于本质奇点，若a为f(z)的本质奇点，求出f(z)在a点的(n-1)!1洛朗展示中 这一项的系数，就是f(z)在有限本质奇点a处的留数。若积分路径C内z-a包含f(z)的所有的有限奇点，则可以先求f(z)在无穷奇点g处的留数。运用定理，如果函数f⑵在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点)，设为ai,a2，...，an，叫则f(z)在各点的留数总和为零。于是YResf(z)=-Resf(z).对于Resf⑵，我们令k=1z=ak z=g z=g111t