数列（解答题压轴题）解析版备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题17数列(解答题压轴题)

数列(解答题压轴题)

①数列求通项，求和

②数列中的恒成立(能成立)问题

③数列与函数

④数列与概率

①数列求通项，求和

1.(2022•四川•成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试)数列｛4｝对任意且

n>2,均存在正整数,满足《向=24-4,囚=1,a2=3.

⑴求4可能值；

(2)若，,"=3"'，(〃?eN*)成立，求数列｛g｝的通项公式.

【答案】⑴。4=7或9

l,n=l

〃一3

⑵5x32,n=2k+l,kGN*

n

y,n=2k,kGN”

(1)

解：由凡+1=2%-％,

可得〃3=2〃2-4=5,

所以。4=2。3-%=7或〃4=2〃3-〃1=9；

(2)

因为a2m=3"，

%”+2=3MH,=2a2m+l-a；(/<2m),021fl+1=2a2m-a/j<2m-l),

a4a2aa

■'-2m+2=2m-j-i,

...2勺+4=4%.—%,"?=4x3'"—3'N=3'"=%,,,

以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明>4,恒成立：

当"=1,电>4明显成立，

假设n—k时命题成立，即为>ak-\>ak-\>4>4>。，

则4+1-4=24-%-4=4一勾>0,则%]>akf命题得证.

回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：

①若/=2加一1,则a2m=2aj+ai=2a2M+4>的”一+4矛盾，

②若/=2〃L2,则%=3“T,，4=3"'-网.=3〃I,「.，=？m-2,

此时%的=2%-%=2乂3.一3〃1=5x3〃i，

l,n=l

〃-3

2

an=<5x3,n=2k+\,kGN”,

n

y,n=2k,ke^

③若JV2〃L2,则2%V2X3〃I,

，4=3m—2aj>3m~l=%吁2，•二i=2m—1,

••a2m+2=2a2〃j+l-42〃L1，

a6=2a5-a3,

事实上：%=2%-。2=15,。6=2%-。2矛盾.

l,n=1

“一3

综上可得a“=，5x3h,〃=2/+l«eN.

n

32,n=2k,k^^'

2.(2022・上海•华师大二附中高三阶段练习)已知无穷数列｛q,｝满足|%+|-4|=1,其中

〃=1,2,3,…，对于数列｛4｝中的一项4,若包含%的连续八公2)项

4,4+i，…,q+j_|(iM44i+J—1)满足q<aM<•••<«,^(i<k<i+j-1)或者a；>aM>■■■>

4+/T，贝I」称4，《+i，…，4+.z为包含4的长度为1/的"单调片段

(1)若4=sin羊，写出所有包含心的长度为3的“单调片段"；

⑵若对任意正整数3包含《的“单调片段”长度的最大值都等于2,并且用=9,求｛〃“｝的

通项公式；

⑶若对任意大于1的正整数3都存在包含出的长度为k的"单调片段"，求证：存在正整数

N。,使得“2乂时，都有,“一气|=〃一乂.

【答案】⑴LOT和TO」;

(9,"为奇数以〃为奇数

⑵为［io,〃为偶数或"T&〃为偶数；

⑶证明见解析.

(1)

%=T，包含%的单调片段有两个，为1,0,T和TO』；

(2)

因为=

所以“向-4,=±1

若4<%，因为包含力的"单调片段"长度的最大值为2,则外>%,

所以%=q+1,%=%-1,故4=9,%=10

因为包含心的“单调片段”长度的最大值为2,

所以/<双目.%>%，以此类推，可得到对任意keN\a2k_t<a2kfl.a2li>a2k+},

所以％*=42*-|+1=%+|+1

9,〃为奇数

所以4=

10,〃为偶数

9,〃为奇数

若4>生，则同理可得：an

8,〃为偶数

」9,〃为奇数为奇数

女」一所述：见-为偶数或4-卜〃为偶数；

(3)

首先证明：存在N°wN",使得叫小九”心收…为单调数列[*)

假设结论(*)不成立，不妨设《<生,

因为(*)不成立，所以存在々W2,使得4<见<3<4且%>4句.

若从4开始，一直单调递减下去，则与假设矛盾；

所以存在sNZ+1,使得4>4+i>—>4且4>4+i.

若从4开始，一直单调递增下去，则与假设矛盾：

所以存在tNs+1,使得见<4+|<…且a,>%].

由d+1可知s23,

因为存在包含风的长度为s的"单调片段"，所以fN2s-1

考虑明,显然包含明的最长"单调片段"为4<一<•••<《，其长度为f-s+l

因为sN3,所以f-s+14f-2,

这与已知：存在包含4T的长度为f-1的"单调片段"，矛盾.

故假设不成立，结论(*)成立.

当4>的时，同理可证结论(*)成立.

根据结论(*),即。，铀川，知心…为单调数列，

则对任意n<N0,an+t-a„的正负号都相同，

于是当〃*乂+2时，有

a

\n-"NJ=|(a“-a，i)+(a“-i-4,-2)+..•+(a％+1-^0)|

=|a“-的|+|%—%|+…+鼠+1_%,|=〃一乂，

当〃=N0+1,%eN*时，显然,久卜〃-乂

综上所述，题目所给结论成立.

3.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛可｝满足：q=l，凡M=5""+"'n=+#eN,

an-2n,n=2k

⑴求42,an

(2)设2=出"-2,”eN”,求证：数列｛2｝是等比数列，并求其通项公式；

⑶求数列｛《,｝前20项中所有奇数项的和.

35

【答案】⑴5，--；

⑵证明见解析，2=-(;)；

⑶a-162.

(1)

135

令〃=1,得。2=耳4+1=5，令〃=2,=a2-2x2=--；

(2)

根据题意,得々=生一2=-g,%“+2=+(2〃+1)=g(“2"-2x2")+2〃+1=g%,+1，

所以%—2,+「25，“+1—22(%,-2)J,

a

b”2n~2a2n—2a2n—22

所以数列｛2｝是4=一；，g=g的等比数列，故'=-(£)”；

由(2)可得。2“=2+2,

所以数列｛4｝前20项中所有奇数项的和S=q+/+%+…+49

=q+(%—2x2)+(4—2x4)+.・,+(48—2x18)=1+(%+4+，，，+48)—2(2+4.••+18)

=1+(2+&+2+&+…+2+")-9><(2+18)=1+18+(4+与+…+4)-180

2

4.(2022•北京四中高三开学考试)设满足以下两个条件的有穷数列0,生，…为

〃(〃=2,3,4,…)阶"期待数列"：①4+见+%+L+。“=0；②同+同+同+L+同=1.

(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列"(不必说明理由)；

⑵若等差数列｛%｝是15阶“期待数列"，求｛%｝的通项公式；

⑶记〃阶"期待数歹『'的前k项和为S,(k=1,2,3,…力，证明：

⑴⑻町；

<-------

Z=l1-22n

【答案】⑴•个单调递增的3阶〃期待数列J-0,，一个单调递增的4阶〃期待数列〃:

3113

，——，一，二；

8888

«—88—n

(2)当d>0时，a=――；当d<0时，a=——；

n56n56

(3)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

(1)

通过题意可得到，3阶"期待数列"满足：①4+%+%=0；②同+同+闻=1，易得-；，

0,g满足一个单调递增的3阶"期待数列"的定义；

4阶"期待数列"满足：①4+电+/+%=°；②同+同+|局+同=1，易得—5---

OOO

。满足一个单调递增的4阶"期待数列"的定义；

O

(2)

设等差数列为,。2，。3，匕，外人旬化之^公差为"，

,/a}+%+%+一・+。2Ml=0，

2k（2k+\}d

（2攵+1）6+

a}+kd=0t即％+]=0,

当d=O时，则4=0与②矛盾;

当d〉0时，由①②得：%2+以+3+・一+。2&+1=5

k八1

由初=°得q+E=°,即4=一胡,

••4=-W+(〃T)I^=I^1(〃eN，〃42Z+l),

令2Z+l=15n&=7，=〃“=白一；=^^，

30/30

当d<0时，同理得加+绘二Dd=-L,即d=-I

22氏(氏+1)

山/=0得4一心册=0即％=£,

•a=-...(n-1)-~~r=——；~~-+—(neN,,〃W2k+l),

,•〃攵+1I〃住+1)攵住+1)八卜

「•令2攵+1=15=>女=7,所以可+=；

56756

(3)

(i)假设|&|>；,

若&>0则&>g,

11

4+4+。3+…+4>5，。八1+《+2+见+3+•.•+〃”<一]，

同+同+同+L+同习4+%+%+L+%|+|%I+%2+%3+L+a」>l,

与同+|%H%|+L+|。」=1矛盾;

若&<0则&<-g,

11

a

\+。2+。3+…+%<一]，4+1+%+2+4+3+…+4>5，

国+同+同+L+⑷.4+%+%+L+%|+|%+i+%+2+%3+L+an\>l9

与同+同+k|+L+|a/=l矛盾；

所以图>3不成立，

所以内4；得证；

v_a,a2a3a4an

占i1234n-1n

s+s?S[+S3-S]+S4S3___s〃]-s〃2+S〃-S〃]

1234n—\n

122x33x44x5（〃一1）〃n

<Si

卧圉十岛卜岛卜…十（n-l）n

1

<

--2

i22x33x44x5（〃一1）〃

11111111I

—+---+----1----+---

22233445〃-1In

5.(2022・全国•高三专题练习)设数列｛《J满足:对任意正整数n,有q+京+母+…+券=”.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设a„b„=n,求数列｛4｝的前“项和S".

【答案］⑴",=9"T

（1）

当"=1,得4=1.

当〃22时，（q+/+故+…+券）-（4+/+/+…+券）=券=〃-（"T）=1，

得券=1，即4=—

又4=1也满足上式,

所以的通项公式为4=9"、

(2)

(2)由(1)及。〃。〃=",得勿=烦了=〃•(").因此

s,=唱+2x（£|+.••+/]）,①

E=1X]£|+2X（£）+...+〃X]£|’②

①一②得2端卜©+…+(「唱、一〃心，

得

Q1（6崎

化简得S.=R-

6.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛qj的前〃项和为S,,且满足6=1,当〃22（“eN*

时，-（"+i）s,i=（（/-〃）.

⑴计算：a2,a3.

（2）证明］肃而］为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式;

（3）设仁二tan疯,求数列他“色｝的前”项和。.

【答案】⑴生=4；%=9

⑵证明见解析，a„=n2

（1）

令〃=2,得S?-3Si=2,乂4=S］=1,所以〃2=4；

令〃=3,得2s3-4S?=8,又S2=5,.・.〃3=9：

（2）

因为当〃22（〃eN.）时，（〃-+=，/_〃），

S„S„,1

所以而旬-仁而二相

所以数列,-AT：为等差数列，首项为*=1，公差为

S„S.lI1

所以（上1\=彳+Wz（〃一n1）=1"+公，

+2336

所以S“=!〃(〃+l)(2〃+l)，

6

于是，当"22(〃wN*)时，

a,,=S“-S“T=^n(M+l)(2n+l)--i(n-l)n(2n-l)=n2,

oo

当〃=1时，ax=Sj=1,满足上式，

故你=/；

(3)

tan(M+l)-tann

因为包=tan^/^=tann,则2+优=tan(几+1)tan"二

tanl

于是'（二熹"an2Tanl）74--!—(tan3-tan+…+----(tan(n+l)-tan/?)-l

tan1'

1「/、-itan(n+1)

=----tan(«+l)-tanl\-n=----------L-n-\.

tan1Lv7」tanl

7.(2022•全国•高三专题练习)已知正项数列伍“｝的前”项和S,满足：

S：-(/+"-1)S“-+1)=0(〃6N,),数列｛/>„｝满足”吟,且+b„=(X«eN').

⑴求外的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)设£，=""*,数列｛c,J的前〃项和为T“，求T”.

【答案】⑴4=2,an=2n

二/为偶数

9,“为奇数

,n+1

(1)

S：-W+n-l)S„-n(n+1)=0("eN*),

.,.当〃=]时，fl12--2=0,«„>0,

解得4=2.

又[5„-«(»+1)](S„+1)=0,v«„>0,

S„=n[n+1),

当“22时，=S“-S"T="(〃+1)-"("-1)=2",

当”=1时上式也成立，

a“=2n.

(2)

数列也J满足4=微-=1,且"+1+b„=0("eN*).

•也=(-1严，

生里也=山上也

“Sn〃(〃+1)nn+]'

•••当艘为偶数时，数列｛%｝的前〃项和为1=(1+3-(:+3+4+3-…-d+—二)

22334〃〃+1

_1_n

n+1n+\

当〃23为奇数时，数列｛g｝的前n项和为7；

nn+\

t1A1、।1〃+2

nnn+\〃+1n+\

当〃=1时也成立,

/一,〃为偶数

.口=，":；

9,〃为奇数

、〃+1

8.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高二期末)已知数列｛对｝的前〃项和为S”,

3s“=4a”-4.

⑴求数列｛4,｝的通项公式；

(2)若数列色｝满足+。“他+...+她,=4"；16-,求数列｛2｝的通项公式.

【答案】⑴4=4"

(2也=3〃

⑴

3S„=4«„-4,3sli=4an_j-4(n>2),an=4a„^(n>2)>

令w=l,得4=4,二｛a“｝是以4为首项，4为公比的等比数列，,a“=4"

⑵

4,,+2-16

。也+4一人+…+〃2=―-------4〃，

即4"b.+4"-'4+…+="216_4〃

3

4"+1_1z"

4"T4+4"-也+…+4%=—^^-4("-1)(n>2)

等式两边同乘以4得：

2

•4"bx+4"-'b2+--+4b„_,=-———-16(n-1)(n>2)

；.4b“=12〃,:.b“=3n(M>2),经检验4=3成立，=3〃

9.(2022•天津市西青区杨柳青第一中学高二期末)已知｛4｝为等差数列，｛2｝为公比大于

0的等比数列，且4=1,伉=2,瓦+瓦=12,a4+2ab=b4.

⑴求｛4｝和｛2｝的通项公式;

黄〃为偶数；

(2)设.",求数列｛&｝的前2〃项和

匈±1J_，〃为奇数.

《4+2b”,2

【答案】⑴%="也=2"

25_______1_______3”+4

⑵1K-(2"+1)""，|-9-22"-'

⑴

设｛%｝公差为d，｛勿｝公比为4>0,由8+4=12可得2g+2q?=12,即决+q-6=0,

因为<7>0解得4=2.又%+2%=d，故l+3d+2（l+5d）=2x23,解得d=l.故%=〃,）=2"

⑵

ann3an+813〃+8111

因为a“=岫,=2",故无=于痴工,£；=而可尸=正一正芬产

设&中奇数项和为S,偶数项和为V,则

S-bF-+3^-r?+…+（2rt-l）-22,,_|一（2"+1）.2"出~2~（2n+l）-22"+l'

„24In

“亍>+…+声，

,1_.242n

则n/=矛+手+…+尹启，

22222n

则十才+寸”+声一尹'

3〃2212n23〃+4

即一V=-------------=---------,

4334"22n+233-22n+1

四曰“4f23"+4183〃+4Tc,,z.11.83n+^

解倚-3U-3-22,,+IJ-9-9-22"-'"故2"-_2（2n+l）-22n+,99-22"'

_25_]_3〃+4

--(2〃+l>2""i-9-22,M

10.(2022•上海•华师大二附中高一期末)记S“是公差不为0的等差数列｛《,｝的前〃项和,

已知。3+3%=&，%%=&，数列低｝满足2=3"i+2"T(〃22),且a=4-1.

⑴求｛”“｝的通项公式；

⑵证明数列｛与+11是等比数列，并求色｝的通项公式；

11177

⑶求证：对于任意正整数〃，7+7+…+/<而.

【答案】⑴4=2〃

(2)证明见解析,bn=r-2"

⑶证明见解析

(1)

设等差数列｛%｝的公差为必"二0）,

5x4

q+2d+3（q+3d）=5q+2-----d

“3+3%=$5..2,解得:4=2

由得：<

4as=Sc44x3d=2

q（q+4d）=4q+kd

:.an=2+2（〃-1）=2〃.

（2）

由⑴知：〃=4-1=1,则今+1=|,

由a=33L得：/=|.畀+；,+住4）

•••数列1*+1］是以1•为首项，|为公比的等比数列，

・冬』（1［，・・也=35.

⑶

1।77111677

当〃=1时,—=1<—•当1〃=2时，—+—=1+—=—<—.

460,」b}b25560'

11=1+111977

当〃=3口寸,—+—+4—=----<—.

4瓦199560'

当“23时，3"-2"=27-3"3_8.2"-匕27-3"-3_8.3"7=19・3"3（当且仅当”=3时取等号），

••.当”N3EI寸，（当且仅当〃=3时取等号）；

ll...lllx24377

•e•当〃24时,+++<1++----<—

53813/,-2J538

bxb2bn51919060

11177

综上所述：对于任意正整数"，7+7+…+

瓦b2bn60

11.（2022•全国•高三专题练习）已知等比数列｛q｝的各项均为正数，2a5，%，4&成等差

12

数列，且满足牝=4。；，数列｛S,,｝的前〃项之积为瓦，且3+厂=1.

⑴求数列｛%｝和圾｝的通项公式;

⑵设4K，若数列⑷的前”项和监,证明：十区j

【答案】（1）。，“=2/7+1

⑵证明见解析

(1)

设等比数列也,｝的公比为4>0,«„>0,

.■2«5,a4,44成等差数列，,2%=2%+46，二24=24(4+242),

化为：2d+q-l=0,q>0,解得<?=；.

又满足％=4“\，=4(4力-,即l=4qq,解得％=；,

,•,数列⑸｝的前〃项之积为二S“=袅(〃22),

12b,2”一

丁+7=黄+「1(”22),

S“b„b“bn

即2-么-=2522),他,｝是以2为公差的等差数列.

1212,

又亍+丁=了+丁=1,即4=3,所以2=3+2(〃-1)=2"+1

(2)

d=2+2,%2〃+51____________]

"bn-bll+l(2〃+1)(2〃+3)•2”(2〃+l)-2"T(2〃+3)2''

所以数列｛4｝的前〃项和

证明：

"12"(3x15x2J(5x27x22J1(2〃+1>2"T(2n+3)-2"J

1I

-3-(2n+3)-2n'

177

则M“<§，又加|=面‘仞"随着"的增大而增大，故此；而

71

所以为,""<铲

12.(2022•天津•耀华中学二模)已知｛可｝为等差数列，前八项和为5,,,(〃eN*),｛勿｝是首

项为2的等比数列，且公比大于0,d+々=12,4=%+%,bb=S„-2.

(1)求｛%｝和色｝的通项公式；

(2)设q=0,c„+l-cn=lnf1+—j,neN",求％；

⑶设4=",a„,其中2eN*.求｛4｝的前2n项和%.

In-2tL

—^,n=2k

b.

【答案】⑴4=〃，〃=2"；

⑵%=ln〃；

,.ln(2〃+l)

⑶a———•

⑴

设等差数列的公差为d，等比数列的公比为4(4>0),

由4+4=12n2q+2q2=12nq=2,或q=-3舍去，所以a=22一=2"：

么=%+区=2%=8=q=4=q+3d=4,

4=S“-2=1+gxlIxlOd—2=64,解得：%=d=1,即a“=1+(“-I>1=〃,

所以有％="，b,=2"；

⑵

因为G+i-G=ln[l+']=ln^^,

InJn

所以当N”时，

有c*C-%）+（%一%）+…+（。2-。）+4

〃n—12n(n—1)...2

=ln^T+ln^+-+lnT=ln(n-l)(n-2)..rln，7'显然当〃=1时也适合，

即cn=In〃；

(3)

由(1)(2)可知：4=〃，4=2",c“=】n〃.

%1丁z•口+a31n(2%-1)

当〃=2左一1,女eN小j,d2k_x=------------------,

2k-1

当n=2k,左eN*时，,_:2A+1，

02k~^2k

2k—T

,,31n(2&-1)1,1

2Z+141n(22—1)—ln(2Z+l),

4T+4*=-—+—

.4lnl-ln341n3-ln54ln5-ln741n(2/j-l)-ln(2«+l)

A2n”=----4-1i-----------1-----------4--2;-----------1-----------4--3;-----------F…H----------------------4--〃----------------------

八In3In3In5In541n7ln(2/?-l)ln(2n+l)

41414242434“T4"

ln（2n+l）

二-

②数列中的恒成立（能成立）问题

1.（2022•四川•雅安中学高二阶段练习）已知数列｛〃〃｝是正项等差数列，其中切=1,且“2、

。4、。6+2成等比数列；数列｛加｝的前内项和为S〃,满足2S〃+加=1.

⑴求数列｛〃〃｝、｛加｝的通项公式；

（2）如果切=加加,设数列｛5｝的前〃项和为Th,是否存在正整数〃，使得果>S〃成立,若

存在，求出〃的最小值，若不存在，说明理由.

【答案】⑴4=","

（2）存在,2

（1）

设数列｛即｝的公差为d,

=且〃2、44、46+2成等比数列，

4：=%（。6+2）,即（％+3"『=（4+"）（q+5d+2）,解得“二一;（舍去）或。=1,

所以q=q+（7?-1）t/=l+（H-l）=n,

由2S〃+尿=1,得s“=g（i-4），

当〃=1时，2Si+bi=l,解得4二§,

当n>2时，bn=Sn-Sn_｛=g（1--g（1-%-g+g_],

所以a=；a_i，

所以数列协〃｝是首项为g,公比为;的等比数列，

(2)

.，、心,n

由(1)知，cn=anbn=—,

所以Z,=lx；+2x*+3x/+…①

贝=""+2*/+3x*…+/tx击②

①-②得，|l；,=lx1+lxl+lx-+...+--„x—

I一---

13"+,

1------

3

1111

----------XHX——-,

223〃-----3w+,

332/7+31

所以<=£_x_____x__-----x—,

43〃23〃44-3〃

所以=:—小汕］

43"4(3")

,,.2〃+32/?+12〃+3—6〃一34〃八

因为f----市=—药-----=_诃＜0，

所以1-爷-（1-竽）＞0,即加

所以9—S,,｝是递增数列，且当〃=1时,…皿

故当〃>1时，Tn-Sn>Tt-St=0,即7；>S“,

故所求的正整数”存在，其最小值是2.

2.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝各项都是正数，4=1,对任意“GN*都有

21

,+4+…+4=/土;二.数列色｝满足印=1,"+%=2〃+1（n£N*）.

⑴求数列也｝的通项公式；

⑵数列匕,｝满足C77="J,数列｛%｝的前〃项和为刀,，若不等式4x3"+9/l＜3"+27；对一切

a2n+\

〃WN*恒成立，求4的取值范围.

【答案】⑴4,=2"、〃WN*；b„=n

(1)

数列｛4｝各项都是正数，4=1,对任意〃WN*都有必+必+…+*=端二！，①

〃2_[

22

当〃之2时，t；1+a2+•••+an_^=—―,②

①-②可得34：=。,,：-a/,

因为数列｛%｝各项都是正数，

所以可化为4,+i=2。“，

因为。12="231，41=1,。2>0，

所以％=2,所以见=2“，

所以数列｛q｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以%=2"T,”WN*；

数列｛2｝满足a=1，%+6向=2”+1(“CN*),

可得打=3—4=2,

当“22时，，a_1+2=2〃-1,又勿+"+|=2〃+1,

两式相减可得=2,

所以｛2｝的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列,

可得奇数项为1,3,5,7,…，2/1-1.......偶数项为2,4,6,2n,

所以。=";

(2)

因为［=上」=〃・8「

»

。2"+1

1(if"

所以7；=1X」+2XL+3

41664⑴

所以！?；=1XL+2X，+3x贵+...+(〃7).出+〃.出

4"1664

11门丫"(1YW+2

两式相减可得？7;=！+•----1------1-----F——/I-

4"41664⑴⑴

八、

1(1----1-)/1\2n+2

七Z

4

43〃+41

化为7y92

若不等式4x3〃+94<3"2(对一切“WN*恒成立，

即为一94>(3〃+4)(雪恒成立，

设4=(3力+4).(1),

3

%(3〃+7>(4严9〃+21-3〃+5

―1=-------------1=-------_]=-------,

(3〃+4).(才12,1+1612〃+16'

4

当〃=1时，d2>dl9当〃22时，dn+l<dn,

所以〃=2时，口取得最大值45?，

O

455

则-94>子，解得见<-：，

OO

即2的取值范围是18,一)

3.(2022•上海市松江二中高一期末)已知数列｛%｝的前八项和为

S,,,q=-2,("+1)4-25,,=6〃—6(〃wN")，数列｛£｝是首项为3,公比为3的等比数列.

⑴求数列也｝的通项公式；

⑵若存在〃eN*,使得纳,4%成立，求实数％的取值范围；

(3)若％=去，是否存在正整数p，q,r(p<q<r),使得%、％、/依次成等差数列？若存在,

求出所有的有序数组(。,夕,厂)；若不存在，说明理由.

【答案】⑴4"-6

⑵心|

(3)存在，(2,4,6)或(3,4,6)

⑴

因为(〃+1)4,-2S,,=6〃-6…①

所以当〃N2时，na„_,-2S.T=6〃-12…②

①-②得：+整理得&-牟=

nn—\n(n—Y)n—\n

则由累加法可得：

件一七)+(%一9)+...+(与一？)=(24)+(二一二)+...+44)

nn—\n—\n—221n—\nn—2n—\12

整理得：4=4”-6

又当"=1时，上式也成立，所以｛q｝的通项公式为%=4"-6

(2)

由题知，b„=3",因为存在〃wN*,使得她<4,成立，所以存在”wN*,使得无<(4〃-6)《)"

成立,即求c.=(4〃-6)£)”的最大值.

又」「。,=(4〃-2>€严-(4"-6>(9"=8(2-〃)《严，故当”=1时，c„+l-c„>0,B|J

c.T>c“，当〃22时，C„tl<c„,故当〃=2或〃=3时，《"-GXQ"取得最大值(，所以人的

3y

2

取值范围为

(3)

C

。=丁=—^，—.由(2)因为C[=-],。2=。3，R-n+I>C„>0(«>3),故若2=1,则

Dn339

-82、-2、

Cp-CqVI,q-c,e0,-1,故Cp-Cq丰c「c,,即Cp、Cg、cr不成等差数列，故p22.

若p=2,夕=3则c,,-q=0,XC,I+1>C„>0(/7>3),故c,,q、c,不成等差数列，故gN4.

当4=4时，Cp=|,q=",此时C,=2X^_£=2,此时有解得「=6.此时P=2

或p=3,q=4,r=6,(0国,厂)为(2,4,6)或(3,4,6)

当qN5时，因为pWq-1,且C,,M>C”(〃N3),故C/%，即智&q,”,故

妇>妇2=文竺=生处辿>虹型心2>为士=2c，即当"5时，品>2q

3P—323(,y1~3qy1qpq'

又C,>0,故Cp+q>2cq,故cs不成等差数列.

综上所述,有序数组(",4，)为(2,4,6)或(3,4,6)

4.(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛q｝的前〃项和S,,=3"-l,其中〃eN".

⑴求数列的通项公式；

(2)若数列他,｝满足伪=1,b,=3%+4(〃N2),求数列出｝的前〃项和7；；

⑶若存在〃eN"使得a,,4"("+l)X成立，求实数2的最小值.

【答案】⑴a"=2-3"T

(2)7>(〃-1>3"+1

(3)1

(1)

当"=1时，％=E=2,

当“22时,S“=3"-1,S"T=3"T-1,

两式相减并化简得a“=2-3"T(〃N2),

当”=1时，上式也符合，

所以%=2-3”T.

(2)

数歹U他,｝满足4=1，b„=3%+。“=3%+23'T(n>2),

则%=绚+2,^-^L=-(„>2),

‘3"3"T33"3"-'3V'

所以数列图是首项为a=g，公差为|的等差数列，

所以％

3"33

所以»=t〃・3"-3"T,

设数列｛%｝满足%="•3",且前”项和为M”，

M„=l-3l+2-32+---+/f3,,,3M„=l-32+2-33+---+n-3),+l,

两式相减得一2以=3+32+…+3"-〃•3向=30-3)_“3向=(12〃卜3'-'3

1-32

所以M=(2")3'、+3-型3+2

“444

设数列｛4｝满足4,=3"',则｛4｝的前〃项和N,,=上二='二1

1—3222

所以<=|a-'=|(里-3""+£|-*3"-£|=(〃-1).3"+1.

(3)

依题意，存在“eN"使得为4〃(〃+1"成立，

2.3"-|<n(n+l)A,2>4^«则只需求竽不的最小值.

2.3〃2.3〃T。皿31

=2•3-

(〃+1)(〃+2)+----------------(〃+1)(〃+2)〃(鹿+1)

=2-3"-1----------V-+—

(〃+1n+2)nn+\

=2.3"T.—--------------

n+\n+2n

=23，i4〃(〃+2)3〃("+l)(〃+l)(”+2)

=4.3"T--------2n-2-----

NO,

2・3“T?

当”=1或〃=2时，而而取得最小值为17rl.

所以/I的最小值为1.

5.(2022•四川•树德中学高一竞赛)已知数列低｝中，瓦=1,(心-1).(4+3)==1.正项

等比数列｛4｝的公比qeM,且满足(q-1>%=8,q+a；=18.

⑴证明数列■广匕为等差数列，并求数列｛q｝和｛2｝的通项公式；

⑵如果求｛%｝的前〃项和为7；；

n

(3)若存在使鱼+3〉(4+3).(“+3)……(3+3)4府成立,求实数&的取值范围.

【答案】⑴证明见解析•，«„=2”，b=­

nn

)〃+2

⑵"二J

(3)[3,+oo)

(1)

解:因为(配-1)@+3)=T,可得%-1=了夫

-42s“+1)1包+1+211

可得2“+1=r乙一，所以H------------=----------4-—

2+32+32+1+12(4+1)bn+l2

即。T旧=5'

又因为…，可得/H，所以数列岛表示首项为？公差为?的等差数列,

11/1、1〃22-/t

所以旧丁("5=5,所以以=>=丁

由(4—1><ZJ=8,q+W=18,可得(q-=8,q+a；q~=18,

因为qeN",所以q=g=2,所以q,=2”.

⑵

解：由(1)知q,=2",bn=—,可得c“二:、地川=2'用=处_丝,

nn〃(〃+1)nn+\

223232424252'川2/22n+2

所以(=(-2-----)+(------)+(------)+…+(---------)=4---------.

122334nn+\〃+1

(3)

冷).,2-nr，曰]个2-n2(〃+l)

解：由2=------,可得2+3=-------+o3=----------,

nnn