多重积分计算方法小结

摘要多重积分的形式是各种各样的，掌握其计算方法及技巧是解答问题的关键。本文主要从直角坐标、坐标变换、对称性、分部积分法、转化成曲线积分或曲面积分等方面讨论了二重积分及三重积分的几种计算方法和技巧，并分别举例说明。此篇论文较为全面地总结了多重积分的计算方法，而且剖析了各种方法在运用中的常见错误，希望能够给初学者提供一定的借鉴作用。关键词：二重积分；三重积分；计算方法AbstractTheformofmultipleintegralisvarious.Masteringcalculationmethodsisthekeytosolveproblems.Thispapermainlydiscussesseveralcalculationmethodsofdoubleintegralandtripleintegral,fromeveryaspectssuchasrectangularcoordinates,coordinatetransformation,symmetry,integrationbyparts,convertingcurvilinearintegralorsurfaceintegralandsoon,meanwhilegivingsomeexamplesrespectively.Thispapermorecomprehensivelysummarizesthecalculationmethodsofmultipleintegral,andanalyzesthecommonerrorsintheuseofvariousmethods,hopingtoprovidecertainreferenceforbeginners.Keywords:doubleintegral;tripleintegral;calculationmethods目录TOC\o"1-5"\h\z摘要 IABSTRACT II\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"二重积分的计算方法 1\o"CurrentDocument"2.1直角坐标系下二重积分的计算 1\o"CurrentDocument"2.2用变量变换法计算二重积分 6\o"CurrentDocument"2.3用极坐标计算二重积分 8\o"CurrentDocument"2.4对称性在二重积分计算中的应用 13\o"CurrentDocument"2.5用分部积分法计算二重积分 15\o"CurrentDocument"2.6曲线积分在二重积分计算中的应用 16\o"CurrentDocument"三重积分的计算方法 17\o"CurrentDocument"3.1直角坐标系下三重积分的计算 17\o"CurrentDocument"3.2用变量变换法计算三重积分 22\o"CurrentDocument"3.3用柱面坐标计算三重积分 22\o"CurrentDocument"3.4用球坐标计算三重积分 23\o"CurrentDocument"3.5用广义球坐标计算三重积分 25\o"CurrentDocument"3.6对称性在三重积分计算中的应用 26\o"CurrentDocument"3.7用分部积分法计算三重积分 28\o"CurrentDocument"3.8曲面积分在三重积分计算中的应用 30\o"CurrentDocument"结束语 31\o"CurrentDocument"参考文献 32致谢 33多重积分计算方法小结引言积分学在古希腊时期初步出现，是微积分学的一个分支,它的发展经历了一个漫长的时期。在高等数学中积分学既是重点又是难点，而多重积分又是积分学中的重要部分。多重积分是定积分的推广,被积函数由一元函数推广到二元函数、三元函数及多元函数，积分区域由数轴拓展到平面域、立体空间域及多维空间域。多重积分在数学、物理学以及其他实际问题中应用广泛，数学中主要是深入的研究几何图形的面积、体积等，物理学中可用来求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等。虽然在各领域有着重要的地位，但是多重积分根据被积区域和被积函数的具体特点有许多不同的计算方法。这些方法充满着技巧性，各有各的优点，也各有各的局限性。梳理和小结多重积分的计算方法有利于使各种技巧融会贯通并熟练掌握。二重积分的计算方法直角坐标系下二重积分的计算［1］在直角坐标系下计算二重积分的主要方法是：化二重积分为累次积分。一般地，矩形或三角形积分区域，通常利用直角坐标计算。2.1.1先y后x的累次积分称平面点集D=«x,y）la<x<b,申（x）<y （x）｝为X型区域，如图1.若f（x,y）在12D上连续，申（x）、申（x）在［a,b］上连续，则积分形式为:12步骤如下：画出积分区域的图形确定x的积分限：将区域D垂直投影到x轴，此时x的最小值就是积分下限，x的最大值就是积分上限；确定y的积分限：一条平行于y轴的直线沿y轴正方向穿过积分区域◎，穿入线申(x)为积分下限，穿出线申(x)为积分上限；12计算累次积分：先计算卜2(x)f(x,y)dy得到一个关于x的多项式g(x)，再计算91(x)Ibg(x)dx得出二重积分的结果。a2.1.2先x后y的累次积分称平面点集D=«x,y)|c<y<d,©(y)<y (y)｝为Y型区域，如图2.若f(x,y)在12D上连续，©(y)、©(y)在［c,d］上连续，则积分形式为：12JJf(x,y)dxdy=JddyJ©2(y)f(x,y)dx=JdJ©2(y)f(x,y)dxdyc ©.(y) cL电(y) -D11图2步骤如下：画出积分区域的图形；确定y的积分限：将区域D垂直投影到y轴，此时y的最小值就是积分下限，y的最大值就是积分上限；确定x的积分限：一条平行于x轴的直线沿x轴正方向穿过积分区域Q，穿入线©(x)为积分下限，穿出线©(x)为积分上限；12计算累次积分：先计算J©2(y)f(x,y)dx得到一个关于y的多项式h(y)，再来计算

Jdh(y)dy得出二重积分的结果。c若积分区域D既是X型区域又是Y型区域，则JJf(x,y)dxdy=Jbdx卜2(x)f(x,y)dy=Jddy卜2(y)f(x,y)dx.a也(x) c电(y)D11若积分区域D两者皆不是，则可用平行于坐标轴的直线将积分区域。分成X型区域或Y型区域，然后结合积分可加性，分别计算出对应区域的积分再求和即可。一般在实际计算中，选用哪种积分次序化二重积分为累次积分，既要考虑积分区域的类型也要考虑被积函数的特点。例2.1.1计算二重积分JJf(x,y)dxdy，设f(x,y)=1-6x2y，且D:0<x<2,-1<y<1.D解：先画出积分区域D，显然是一个矩形区域，一眼就能看出积分限：x从0到2，y从-1到1.法一(积分区域看作X型)：图3图300-1D法二(积分区域看作Y型)：JJf(x,y)dxdy=J2dxJ1(1-6x2y1/y=J2卩1(1一6x2y)dydx=J22dy=40 -10 -1 0L-1 」 0 -1图4D图3和图4是一个矩形积分区域，积分限很容易看出，但是多数题目的积分区域是图4D曲线或直线围成的有界非矩形区域，这样一来确定积分限就没那么容易了！例2.1.2计算U2ydxdy，设D是由曲线x2+y2=1和直线x+y=1所围成的区域。解：法一(积分区域看作X型)：确定x的积分限。将区域D的图像垂直投影到x轴，找到x的最小值x二0和最大值x二1，则x的积分限从0到1。确定y的积分限，让一条竖直线L沿着y轴正方向穿过区域D，由于y的积分限要写成关于x的函数形式，所以穿入线y=1-x为积分下限，穿出线y=\斤二2为积分上限。4 |穿出I歼崔 4 |穿出I歼崔 I量应工=1最小X=O图5JJ2ydxdy=J1dxf1_2ydy=J1(-2x2+2xh0 1-x 0D法二（积分区域看作Y型）：确定x和y的积分限的步骤跟上面差不多，只不过把竖直线改为水平直线沿着x轴正方向穿过区域D，x的积分限写成关于正方向穿过区域D，x的积分限写成关于y的函数形式:I雰入穿出1=VI-V图6-2ydy.JJ2ydxdy=J1dyJ、1-昇2ydx=J1(y\：1-y2-2ydy0 1-y例2.1.3计算JJdb，这里R是由抛物线y=x2和直线y=x+2所围成的区域。R解：VR0图7VR0图7若把积分区域看作Y型，如图7,穿入线分成了上下两部分，此种情况下我们需要根据穿入线把区域R分成R和R两部分，然后分别求这两部分的积分再相加：12=J]do+JJd=J]do+JJdoRR1R2J1J'y_dxdy+J4Jy0y 1y-2dxdy=J120+J41-y+2这样当然可以继续算下去，但是很麻烦，若是我们把积分区域看作X型，即先对y后对x后对x积分，这时穿入线和穿出线都是单一的，如图8图8简化后我们只需计算一个积分：JJdo-J2Jx+2dydx=J2C+2-x2^ix——-1x2 -1 2R结合例题2.1.3可知，选择积分顺序时我们更倾向于选择穿入线和穿出线相对单一的情况来减少计算量。总结：在直角坐标系下，根据积分区域和被积函数的特征来选择合适的积分次序计算二重积分，可以简化计算过程。用变量变换法计算二重积分定理2・2定理2・2[2]设f(x,y)在xOy平面上的封闭区域Q内连续，变换申:x(u,v) ’ 十/ )扌巴uOv平yu,v面上的闭区域0'—对一地映射到区域0，且满足⑴x(u,v)，y(u,v)在0'上连续一阶偏导；⑵在0'上申的⑵在0'上申的Jacobi行列式为D(x,y)0丰°’JJf(x,y)dxdy-JJfC(u,v),y(u,v))D(x,y)D(u,v)dudv・用定理2.2能帮助被积函数和积分区域简单化，从而提高计算效率。例2.2.1设q>p>0，b>a>0，求由抛物线y2=px，y2=qx与双曲线xy二a，xy=b所围成的平面区域O的面积(如图9)。解：作变量变换r=v=xy,a<v<b因为D(u,v)

D(x,y)图10(x因为D(u,v)

D(x,y)图10(x丰0,y丰0)所以(x,y)a(u,v)是可逆映射，则D(x,y) (D(u,v)、D(u,v) (D(x,y)丿-i3y2 3u这样，xOy平面上的区域O对应于uOv平面上的矩形区域O'={(u,v)|p<u<q,a<v<b}从而平面区域O的面积为JJdxdy=JJD(u,v丿dudv=JJdudv=JbdvJqdu=-aIn—3u ap3u3pO'O'用极坐标计算二重积分极坐标表示的点6,0),与直角坐标表示的同一点(x,y)有如下关系:x=rcos0,y=rsin0.极坐标变换的Jacobi行列式为0(x,y)=cos0-rsin0|o(r,0)|sin0rcos0•JJf(x,y)dxdy=JJf(rcos0,rsin0)rdrd0D D'在极坐标系下化二重积分为累次积分有三类情况：1JJf(x,y)dxdy=J卩d0Jr2(o)f(rcos0,rsin0)rdr.第一类：若原点O电D,以极点O为起点作射线穿过区域，射线与1JJf(x,y)dxdy=J卩d0Jr2(o)f(rcos0,rsin0)rdr.12步骤如下：确定0的积分限：两条从O出发的射线把区域D夹住，此时a就是积分下限，0就是积分上限；确定r的积分限：对于V0w[a,卩]，将0固定，从极点出发射线穿过D至多与D有2个交点(若多于2个交点将区域分割)，观察知r(0)就是积分下限，r(0)就是积分12上限。计算累次积分。类似的，以O为圆心作圆，圆与D的边界的交点至多2个，则称D，=«0,r)|r<r<r,0(r)<0<0(r)｝为p型区域，如图12,则积分形式为：11212JJf(x,y)dxdy= os0,rsin0)d0d ri 0i(r)ri*图12步骤如下：⑴确定r的积分限：以极点为圆心的两个同心圆把区域D夹住，此时ri就是积分下限，r就是积分上限；2⑵确定0的积分限：对于Vre[r,r]，将r固定，作同心圆穿过D至多与D有2个i2交点(若多于2个交点将区域分割)，观察知0(r)就是积分下限，0(r)就是积分上限。i2计算累次积分。例2.3.1将I=JadxJaf(x,y)dy(a>0)化为极坐标系下的二次积分。00解：积分区域为D={(x,y)|0<x<a,|0<y<a}法一(先r后0的累次积分)：兀⑴确定0的积分限：x轴、y轴把区域D夹住，故0<0<-；(2)确定r的积分限：从极点O引射线穿过D，第一个交点是极点O，第二个交点先在x=a上(如图13),然后在y=a上(如图14),所以射线0=晋将分成两部分。当0ec兀0,—时，0<r<a；当0e兀兀~—"T-4cos042时，0<r<-^-。则有sin0I=J4d0Jcos0f(rcos0,rsin0)rdr+J2d0Jsin0f(rcos0,rsin0)rd」x0004

图13图14图13图14法二（先0后r的累次积分）：（1） 确定r的积分限：区域D被圆心在极点，半径为』2a的圆夹住，故0<r<<2a；（2） 确定0的积分限：从极点O引同心圆穿过D，当re［o,a］（如图15）时，圆与D交于x轴和y轴，0<0<y；当rea,J2a］（如图16）时，0从x=a变化到y二a，即aaarccos—aaarccos—<0<arcsm。则有I二Jardrf2f(rcos0,rsin0)d0+J2ardrfarcsin^f(rcos0,rsin0)d00 0 0 arccosa

图15图16图15图16第二类：若原点O为D的内点，如图17,D的边界极坐标方程是r=r（9）,此时'=«9,p)|0<9<2兀,0<r<r(9)},则JJf(x,y\xdy=\加dofr(e)f(rcos9,rsin9)rdr.00D图17D图17例2.3.2计算JJ dxdy,例2.3.2计算JJ dxdy,DJl_x2_y2其中D是圆域x2+y2<1.解：显然O为D的内点，则JJ dxdy=JJJ dxdy=J2Kdof12 】——1一x2一y2 oo\：1-r2dr=J2K0- -I1-—]odo=J2dO=2兀0第三类：若原点O在D的边界上，如图18,D的边界极坐标方程是r=r(9),此时D'= ,p）卜<9<P,0<r<r（0）｝,则JJf（x,y）dxdy=Jpd9Jr（e）f（rcos9,rsin9）rdr.a 0D图18D图18例2.3.3计算JJex2+y2dxdy.D是由x轴和曲线y=%/1-x2所围成的半圆形区域。D解：在直角坐标系中，要对ex2+y2积分并没有直接的方法，但是利用极坐标变换就可以轻松解决这类问题。先画出图形如图19，可看出原点O在D的边界上，F=屮F=屮1图19壬壬（e-1）是否选择极坐标系我们要看两点:第一点是积分区域的形状，当积分区域是圆域、环域、扇域或环扇域时，极坐标变换能很大程度上简化这些积分区域，例如在直角坐标中x2+y2二a2作二重积分是复杂的，而转化成极坐标P二a就变得简单多了；第二点是被积函数的形式，当被积函数中含有x2+y2、xy、兰或-时，也可以尝试xy使用极坐标。若二者不可同时满足，则以积分区域的形状来下决定。对称性在二重积分计算中的应用(1)若积分区域D关于x轴对称，记x轴以上区域为D.1如果被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，则J!f(x,y)db=0；D如果被积函数f(x,y)是关于y的偶函数，贝VJJf(x,y)dc=2JJf(x,y)dc.D D1利用同样方法可以给出关于y轴对称的结论。例2.3.1计算二重积分JJ(fx2+y2+y)dxdy。区域D由曲线x2+y2<4和(x+1)2+y2>1所围成。解：J卜-2 \ j0r图20由图20知积分区域关于x轴对称，则有+y2dxdy=2DJJ+y2dxdy=2D+y2dxdy

JJ(px2+y2+y)JJ(px2+y2+y)dxdy=2DLD上1 D上2工Jd0Jr2dY+Jd0Jr2dr0 0 兀 -2cos0216「4 4 16、]16/c c、169⑵若积分区域D关于x轴和y轴都对称，记D={(x,y9⑵若积分区域D关于x轴和y轴都对称，记D={(x,y)13 3 9 9x,y)eDx>0,y>0}.如果f(-x,y)=—f(x,y)或f(x,-y)=—f(x,y)，则JJf(x,y)da=0；D如果f(-x,y)=f(x,-y)=f(x,y)，则JJf(x,y)dc=4JJf(x,y)do.D1D1o}.若积分区域D关于原点对称，记D={(x,y)eDx>1如果f(-x,-y)=-f(x,y)，则口f(x,y)dc=0；D如果f(-x,-y)=f(x,y)，贝UJJf(x,y)dc=2JJf(x,y)dc.D D1若积分区域D具有轮换对称性，则JJf(x,y)dc=JJf(y,x)de=2JJ[f(x,y)+f(y,x)k.厶D D D记D={(x,y)eD|y>x}.如果f(x,y)=-f(y,x)，则JJf(x,y)da=0；D如果f(x,y)=f(y,x)，则JJf(x,y)da=2JJf(x,y)da.D D1例2.3.2设区域D=y)x2+y2<4,x>0,y> f(x)为D例2.3.2设区域D=为常数，求JJa .解：这里的f(x)是一个抽象函数，利用极坐标计算非常困难，观察发现积分区域D关于y=x对称，因此可以利用轮换对称性，则有：

jjajf(x)+bJf(y)力_jjaJf(y)+bJf(x丿力D f(x)+f(y) D f(y)+fix)_1jjajf(x)+bjf(y丿+ajf(y)+bjf(x)]2_DJf(x)+Jf(y丿 Jf(y)+Jf(x丿a+b a+b1 兀_ jjdo_ •一兀•22_ a+b丿2 2 4 2D从上述例子可以看出，灵活应用对称性解题的关键在于条件是否齐全：若条件齐全时直接应用结论去化简；若积分区域对称，而被积函数不具有奇偶性，则可以根据被积函数的形式特点进行拆分，再看这些部分函数是否具有奇偶性。用分部积分法计算二重积分计算二重积分通常是交换积分次序后再进行计算，但是对于先y后x(或先x后y)次序的累次积分jbdxjy2(x)f(x,y(jddyjx2(y)f(x,y)dx)，若f(x,y)的原函数不能用初ay〔(x) c x〔(y)等函数表示，则一般交换积分次序后再计算。其实还可考虑用分部积分法，此时不需要交换积分次序。若jjf(x,y)dxdy可化为先y后x的累次积分，有以下结论。D定理若jjf(x,y)dxdy可化为先y后x的累次积分，有以下结论。D定理2.5⑶⑴若f(x,y)，f(x,y)在矩形区域D=［a,b;c,d］上连续，则jjf(x,y)dxdy_jb(jf(x,y)dydx_acD⑵若f(x,y)，f(x,y)在D_xxjdf(x,y)dy -jbxjd,0

cOx0)—f(x,y)dydx.丿a,b;c(x),d(x)］上连续，c(x)，d(x)在［a,b］上可微,aajjf(x,y)dxdy_jb(jd(x)f(x,y)dy)dx_ac(x)Dxjd(x)f(x,y)dy］b-j-c(x)()bxjd(x)f(x,y)dydx,a c(x)a其中jd(x)f(x,y

c(x)_jd(xf(x,y)dy+f(x,d(x))d，(x)-f(x,c(x))c，(x).c(x)Ox同样地，若jjf(x,y)dxdy可化为先x后y的累次积分，则可得类似结论，此处不再赘述。解：例2.5求Ux2e-y2dxdy，其中D由直线x二0,y=1及y二x所围成的区域。解：JJx2e-y2dxdy=J1(J1e-y2dy 1e-y2dyl(x3)0 x 3 0x[x3J1e[x3J1e-y2dyx=丄J1-x2d601一-J1x3(J1e-y2dy)x=0--J1x3(-e-x2」3°x 3o()1(一 )-f- d()11'e-x2= 一x2e-x2— e-x2d一x2丿=—-6 0 60 63e-x2x2e-x2曲线积分在二重积分计算中的应用格林公式是曲线积分与二重积分的桥梁，然而因为“线性”教材的影响，往往只用格林公式把曲线积分转化成二重积分，而很少会用格林公式把二重积分的计算转化为曲线积分的计算，从而忽略了曲线积分在二重积分计算中的应用，下面给出一个把一类二重积分转化成曲线积分的定理。定理2.6[4]设封闭区域D由分段光滑的曲线L围成，f(x,y)及其一阶偏导数是D上的连续函数’若伊|+乍I=肿兀y)，而k1+k2+k3丰0，则JJf(x,y)dxdy= 1DJf(JJf(x,y)dxdy= 1Dk+k+k 1 21 2 3L其中L取D的正向边界曲线。例2.4计算JJey+xdxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1，x+y=2围成的封闭区DD解：TOC\o"1-5"\h\z—cf 2yi cf 2xi cf cf Mf(x,y)=ey+x9 =— ey+x9 = ey+x9x +y =0cx (x+y)2 cy (x+y)2 cx cy由定理得JJe：—：dxdy=* Ne：XD L1+L2+L3+L4由图14，L1、L3上的曲线积分为0N爲(xdy-N爲(xdy-ydx)=J0e〒2L2血y+x(xdy一ydx)=J1L4则x(—dx)—(2—x)dx=—ei-xdx=2(e-e-1),2ei-2x x0x(—dx)—(1—x)dx=—J01ei-2xdx=-2(e-e-i)11J!ey+xdxdy=㊁D2(e-e-i)——(e-e-i)=3C-e-1).2三重积分的计算方法直角坐标系下三重积分的计算一般来说，当积分区域由不同的曲面形成时，用直角坐标系投影法；当积分区域由同一曲面形成时，用直角坐标系截面法。3.1.1投影法(先一后二)即先算一个变量的定积分J勺f(x,y,z)dz，再算关于另外两个变量的二重积分z1JJF(x,y)dxdy.D以简单的XY-型区域为例。简单的XY-型区域：过xOy面上的投影区域D内的任意一点作与z轴正方向同向

的直线，使其穿过区域0，穿入点都在z=z(x,y)曲面上，穿出点都在z=z(x,y)曲面12上，这样的区域称为简单的XY-型区域。如图22所示图22投影法基本步骤：画出空间区域0以及其投影到xOy平面上的投影区域D，并且用集合形式表示投影xy区域为D=«x,y)|y(x)<y<y(x),a<x<bl;xy 1 1 2确定z的积分限，并计算关于z的定积分。任取投影区域D内一点(x,y)，过(x,y)作xy与z轴正方向同向的直线穿过0，直线M从曲面z=z(x,y)穿入，从曲面1z=z(x,y)穿出，可得z的积分限为z(x,y)<z<z(x,y)，从而计算关于z的定积212分fz2(x,y)f(x,y,z)dz;z1(x,y)利用步骤(2)所得结果，计算D积分区域内关于x和y的二重积分，最后得到三重xy积分的值。以上步骤用公式表示为:ffff(x,y,z)dxdydz=ffdefz2(x‘y)f(x,y,z)dz=fbdxfy2(x‘y)dyfz2(x‘y)f(x,y,z)dz.xy上面先对z积分所以空间区域0向xOy平面上投影。如果积分次序改变，那么先对谁积分，就向另外两个变量构成的平面区域投影，之后解答过程差不多。特别地，对于立方体积分区域：0={(x,y,z)|a<x<b,c<y<d,m<z<n},有

JJJf(x,y,z)dxdydz=JbdxJddyJnf(x,y,z)dz.acm注意：0例3.1.1计算fflydxdydz，其中0例3.1.1计算fflydxdydz，其中0是由三个坐标平面及平面x+2y+z=1围成的立体。Q图230 Dxy再看积分区域0在xOy0 Dxy再看积分区域0在xOy平面上的投影区域，如图24：图24则有JJJydxdydz=JJdxdyf1-x-2yydz=J1dxJ2(1-x)dyJ1-x-2yydz00000 Dxy=J1dxJ2(1-x)y(1-x-2y)dy=J1丄(1-x)3dx00=-丄J】(2400241-x)3d(1-x)=--244丄(1-x)41=丄096解：若先对z积分，则穿入面为z二0，穿出面为z=1-x-2y,则Ufydxdydz二JJdxdyf1-x-2yydz03.1.2截面法(先二后一)即先计算在积分区域内一个截面D上关于x和y的二重积分f(x,y,z)dxdy,再zDz计算z变量的定积分IcF(z)dz.设空间闭区域0如图25所示。以先对x,y求二重积分，再对z求定积分为例。图25截面法基本步骤：⑴把空间区域0投影到z轴上，得投影区间［c,c］，即zg［c,c］；1212(2)过z作平行于xOy面的平面截0得截面区域为D；z在截面区域D上计算IIf(x,y,z)dxdy，注意此时z看作常数;zDz利用(3)的计算结果在［c,c］上求定积分，即12IIIf(x,y,z)dxdydz=1：dzIIf(x,y,z)dxdy.c1截面法适用条件：截面区域D、D或D的面积容易计算，例如是圆形、椭圆、三角形等规则图形；xyz被积函数f(x,y,z)是一元函数，如f(x,y,z)=f(x)；或者函数f(x,y,z)可看作几个一元函数的和，如f(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)。123综上所述，根据积分区域和被积函数的特点来判断计算三重积分能否用截面法。举个例子，如f(x,y,z)=f(z)，从而可以直接把f(z)写在前面，即

出f(x,y,z)dxdydz=J：f(z)dzJJdxdy.如此一来二重积分dxdy就是区域D的面积。c1 zQ 1 Dz DZ再结合(1)，截面区域规则时直接用公式就可以方便简捷地求出面积，不用计算积分例3.1.2计算山z2dxdydz，其中Q是由椭球面乂+兰+—=1所围成的空间闭区域。a2b2c2Q解：被积函数f(z)与x,y没关系，f(z)仅为Z的函数，用平行于xOy面的平面截椭球面得椭圆域，而椭圆面积b容易求出，所以截面法适合于该题。z先对x,y积分。将整个椭球面投影到z轴上得投影范围—c<z<c，然后在此范围内任取一点z,过z点作平行于xOy的平面截椭球面得截面区域D为Zx2 x2 y2 z2—+—<1-—<a2 b2 c2z=z<1由于关于x,y的二重积分相当于xOy面上投影区域<1<1上的二重积分，故有JJJz2dxdydzJz2dzJJJz2dxdydzJz2dzJJdxdyQ Dz兀a」l—二|-|b」l—二丨二兀abL-冬'c2丿JJdxdy=Dz所以JJJz2dxdydz=JJJJz2dxdydz=Jc-crz2)z2兀ab1-—dz=兀Ic2丿=2兀abJc|z2-—dz=0I c2丿abJcz2-cdz兀abc315用变量变换法计算三重积分定理3・2⑸设f(x,y,z)是有界闭区域0上的可积函数，若变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)，将uvw空间中的区域0一对一的映射成xyz空间中的区域0，函数x(u,v,w)，y(u,v,w)，z(u,v,w)及它们的一阶偏导数都在0'内a( )连续，且J(u,v,w)=(兀Z)H0，(u,v,w)e0'.则有Q(u,v,w丿JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJfCx(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))J(u,v,w)|dudvdw0 0'例3.2.1计算三重积分(x+y+z)cos(x+y+z)2dxdydz，其中0V=«x,y,z)|0<x-y<1,0<x-z<1,0<x+y+z<1}.解：引入坐标变换〜u=x-〜u=x-y M )du,v,w丿1-10<v=x-zn =QIx,y,z)10-1w=x+y+z111=3JJJ(x+y+z)cos(x+y+z)2dxdydz=JJJwcosw2Q(x,y,z)Q(u,v,w)dudvdw0 0=J1duJ1dvj1wcosw2-—dw=】J1wcosw2dw=】sinw200033061=-sinl06用柱面坐标计算三重积分把直角坐标(x,y)转化为极坐标(r,9)而z不变。柱面坐标与直角坐标的关系为:x=rcos9,y=x=rcos9,y=rsin9,z=z柱面坐标变换的Jacobi行列式为-rsin9 0rcos9 0=r01Q(x,y,z)cos9sin9JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJf(rcos9,rsin9,z)rdrd9dz当满足以下条件可考虑用柱面坐标变换：积分区域0的边界曲面内有柱面或者圆锥面;、 (八/八被积函数形如xf(y2+z2),yf(x2+z2),zf(x2+y2),xf-,yf-,zf例3.2.2利用柱面坐标计算二重积分fflzdxdydz，其中0是由曲面Z=x2+y2与平面0z二4所围成的闭区域。解：0表示为r2<z<4,0<r<2,0<6<2兀.JJJzdxdydz=fffzrdrd6dz=J2Kd6J2rdrJ4zdz0 0 r2264=264=兀0 3=1J2kd6J2r(L6-r4)dr=1-2兀8r2-—2o o 2用球坐标计算二重积分一般地，当积分区域或被积函数含有x2+y2+z2时，会考虑用球坐标变换。设P(x,y,z)为空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，M(x,y,0)是它在xOy面上的uuru投影点，点P到原点的距离为r,OP与z轴正方向的夹角为p(0<Q<兀)，从z轴正向uuuur看，x轴正方向逆时针转动到OM方向从而产生的夹角为6(0<6<2兀)，如图26,图26

图26r,申,e这三个数可以确定空间中任意一点P(x,y,z)的位置，,r,p,0)称为点P的球坐标，由原点及球坐标确定的坐标系就称为球坐标系。空间直角坐标系与对应的球坐标系中的同一点P(x,y,z)、P(r,p,0)的球面坐标与直角坐标的关系为：x=rsinpcos0,y=rsinpsin0,z二rcosp球坐标变换的Jacobi行列式为Q(x,Q(x,y,z)d(r,p,0)cos0sinp

sin0sinpcosprcos0cosp

rsin0cosp

-rsinp-rsin0sinprcos0sinp=r2sinp0JJJfJJJf(x,y,z)dxdydz=JJJf(rsinpcos0,rsinpsin0,rcosp)r2sinpdrdpd0球坐标变换的基本步骤：将积分区域Q投影到xOy平面，根据投影区域D来确定0的变化范围为0<0<0；12对任意0g[0,0]，从Oz轴出发且与Ox轴成0角的半平面截Q，由截面D确定p的121变化范围为p(0)<p<p(0)；12⑶对任意0g[0,0]，pg[p(0),p(0力，在D平面内从原点出发作与z轴正方向夹角12121为p的射线穿过Q，穿入点与原点的距离为r[0,p]，穿出点与原点的距离为r[0,p]，12则r的变化范围为r(0,p)<r<r(0,p).12「•JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJf(rsinpcos0,rsinpsin0,rcosp)r2sinpdrdpd0=J=J02d0 (0)sinpdpjr2(0,p)F(r,0,p)dr01 p1(0) r1(0,p)其中F(r,0,p)=f(rsinpcos0,rsinpsin0,rcosp)r2当满足以下条件可考虑用球坐标变换：积分区域Q的边界曲面内有球面或者圆锥面;被积函数形如f(x2+y2+z2).例3.2.3求曲面x2+y2+z2<2a2与zAJx2+y2所围成的立体体积.解：

0由锥面和球面围成，所以进行球面坐标变换,由x2+y2+z2=2a2nr=J2a, 兀:.Q:0<r<j2a,0<申<—,0<9<2兀,4JJJdxdydz=J2Kd9J4d申J2ar2sin申dr000Q 卜 Ga) 4()=2kJ4sin申 d申二一兀 2-1丿a30 3 3用广乂球坐标计算三重积分广义球坐标与直角坐标的关系为：x=arsin申cos9,y=brsin申sin9,z=crcos申一般规定：0<r<+8,0 <k,0<9<2兀.广乂球坐标变换的Jacobi行广乂球坐标变换的Jacobi行列式为J=Q(x,y,z)Q(r,申,9)=abcr2sin申.JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJf(rsin9cos9,rsin9sin9,rcos9)abcr2sin9drd9d900例3.2.4求乂+兰+竺=1所围体积。a2b2c2解：广乂球坐标变换：x=arsin申cos9,y=brsin申sin9,z=crcos申0:0<r<1,0<申<兀,0<9<2兀,JJJdxdydz=abcJ2kd9Jksin9d^J1r2dr= abc0 0 0 30对于一些特殊的函数,例如含有多项式x2+y2+z2的被积函数的三重积分，或者积分区域是由圆锥面（顶点在原点）、半平面（以坐标轴为边界）以及球面（球心在原点）等围成的三重积分，或者在直角坐标系下不能有效进行计算的某些三重积分，利用球坐标变量代换的方法就能比较有效地解决此类问题。对称性在三重积分计算中的应用(1)积分区域0关于平面xOy对称，若被积函数f(x,y,z)在0上是关于z的奇函数，则ffff(x,y,z)dv=0；0若被积函数f(x,y,z)在0上是关于z的偶函数，则ffff(x,y,z)dv=2ffff(x,y,z)dv，0 01其中01是xOy平面的上侧部分。利用同样方法，可以给出关于平面xOz对称、平面yOz对称的结论。-dxdydz，其中积分区域0=^x,y-dxdydz，其中积分区域0=^x,y,z)|x2+y2+z2<1}x2+y2+z2+10解：积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是z的奇函数,fffzIn(x2+y2+z2+1)x2+y2+x2+y2+z2+1例3.3.2计算fff(x+y+z)2dxdydz，其中0:-+—+一<例3.3.2a2b2c20解：根据方程或椭球面图形可知积分区域关于三个坐标面都对称。将被积函数展开，f(x,y,z)=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz•fff(x+y+z)2dxdydz=fffx2dxdydz+fffy2dxdydz+fffz2dxdydz0000+2fffxydxdydz+2fffyzdxdydz+2fffxzdxdydz000因为函数xy,yz关于变量y为奇函数，积分区域关于xOz面对称，所以积分结果为0;同理，由于函数xz关于变量z为奇函数，积分区域关于xOy面对称，所以积分结果也为0，(x+y+z)2dxdydz=JJJx2dxdydz+JJJy2dxdydz+JJJz2dxdydz0000这三个积分中的z2dxdydz在上述例题3.1.2中已经解答过，得

fflz2dxdydz=I5兀abc3,Q根据此积分结果可直接写出，出x出x2dxdydz=15“a吹,JJJy2dxdydz=兀ab3c15则有JJJ(x+y+z)2dxdydz=JJJx2dxdydz+JJJy2dxdydz+JJJz2dxdydzQQ

444= 兀a3bc+兀ab3c+兀abc315 15 15=—兀abc(a2+b2+c2)15(2)积分区域Q关于z轴对称，若f(x,y,z)在Q上是关于x,y的奇函数，则ifff(x,y,z)dv=0；Q若f(x,y,z)在Q上是关于x,y的偶函数，则ffff(x,y,z)dv=2ffff(x,y,z)dv,Q Q1其中Q是Q中过z轴平面的一侧部分。1利用同样方法，可以给出关于x轴对称、y轴对称的结论。例3.3.3计算fffxyz2dv，其中Q是由曲面y=x3及平面x=0，y=±1，z=0和z=1Q所围成的空间闭区域。解：

Q关于z轴对称，xyz=z3是x,y的偶函数，设Q是Q在第一卦限的部分，有

若f(x,y,z)在0上是关于x,y,z的偶函数，则BJf(x,y,z)dv=2JJJf(x,y,z)=z3fffxyz2dv=2fffxyzfffxyz2dv=2fffxyz2dv=2f1dzf1dxf1xyz2dy=2f1z2dzf1x—0Q1=20f1z2dzf1x dx=001z2dz=2f1 z2dz0 o161

dx2x3Q 0]其中Q是Q中过O平面的一侧部分。1例3.3.4计算JJJxyzdv，其中Q是由平面3+-2+z=1及平面x=0,y=0,z=0所Q围成的四面体。解：积分区域0关于坐标原点O对称，xyz是关于x,y,z的奇函数，则xyzdv二0Q若积分区域Q具有轮换对称性，则JJf(x,y,z)dv f(y,z,x)dv f(z,x,y)dv二1JJ［f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)1/v.Q Q Q Q例3.3.5计算JJJ(x+y+z)2dv，其中Q是由0<x<1，0<y<1，0<z<1围成的正方体。Q解：因为积分区域Q，函数x2、y2、z2、xy、xz及yz均具有轮换对称性，所以有JJJx2dv= dv,JJJ2xydv=JJJ2xzdv=JJJ2yzdvQ Q Q Q Q Q故JJJ(x+y+z)2dv=JJJ(3x2+6xy)dv=J1dxJ1dyJ1(3x2+6xyk=50002QQ用分部积分法计算三重积分定理3.7［6］⑴若f(x,y,z)，f(x,y,z)在区域Q=［a,b;c,d;e,g］上连续，则JJJf(x,y,z)dxdydz=Jb(JddyJgf(x,y,z)dz)dxace=x=xJddyJgf(x,y,z)dz”—JbxJddyJce⑵若f(x,y,z)和f(xce⑵若f(x,y,z)和f(x,y,z)在区域Q=

xa,b;c,d;e(x,y),g(x,y)］上连续，fe(x,y)和x—g(x,y)在区域［a,b;c,d］上连续，则OxJJJf(x,y,z)dxdydz=Jb(JddyJg(x,y)f(x,y,z)dz)dxac e(x,y)Q=xJddyJg(x，y)f(x,y,z)dz］b-Jc e(x,y)其中CdyJg(x,y)f(x,y,z)dz)=JddyJg(x,y)—f(x,y,z)dzc e(x,y) c e(x,y)°x+Jdf(x,y,g(x,y))gg(x,y)dy-Jdf(x,y,e(x,y))$e(x,y)dyc Ox c 0x⑶若f(x,y,z)和f(x,y,z)在区域Q=x—e(x,y)和—gOx Oxbx第ddyJg(x,y)f(x,y,z)dz<dxaac e(x,y)a,b;c(x),d(x);e(x,y),g(x,y)］上连续,(x,y)在区域a,b;c(x),d(x)］上连续，且c(x),d(x)在［a,b］上可微，则B!f(x,y,z)dxdydz=JbVQd(x)dyJg(x,y)f(x,y,z)dzdxac(x) e(x,y)b-Jbx\Jd(x)dyJg(x,y)f(x,y,z)dz儿-aa c(x) e(x,y)=xJd(x)dyJg(x,y)f(x,y,z)dz-c(x) e(x,y)C(x)dyJg(x,y)f(x,y,z)dz)二Jd(x)dyJg(x,y)—f(