第四章机器人运动学

第四章机器人运动学第1页，共39页，2023年，2月20日，星期三4.1.1D-H方法建立坐标系第2页，共39页，2023年，2月20日，星期三Oi——关节i和i+1轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点。关节i和i+1的轴线相交时，Oi选在交点上；关节i和i+1的轴线平行时，Oi选在使di+1=0处（关节i+1和i+2的公垂线与关节i+1轴线的交点处）。A）中间连杆坐标系的建立相交时平行时Zi——与关节i+1的轴线重合，方向任意第3页，共39页，2023年，2月20日，星期三Xi——与关节i和i+1轴线的公垂线重合，指向为i—>i+1；关节i和i+1的轴线相交时，Xi//（Zi-1×

Zi）；关节i和i+1的轴线平行时，选定Oi，Xi为过点Oi且与关节i和i+1的公垂线重合，指向为i—>i+1Yi——与Zi和Xi构成右手系，即Yi=Zi

×Xi第4页，共39页，2023年，2月20日，星期三连杆四参数（１）ai是Zi-1和Zi两轴线的公垂线长度，一般称ai为连杆长度。它是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；ai-1（２）两公垂线ai-1和ai之间的距离称为连杆距离di，或者称为两连杆的偏置。它是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离；（４）Zi-1轴与Zi轴之间的夹角为αi，αi称为扭转角。它是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度，右旋为正。（３）Xi-1轴与Xi轴之间的夹角θi，一般称θi为连杆的夹角，或称为两连杆的关节角。它是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度，右旋为正；第5页，共39页，2023年，2月20日，星期三C）手爪坐标系

z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量；y轴设在两手指的连线方向，称为方位矢量；x轴由右手系确定，即，称为法向矢量。a(z)o(y)n(x)B）基座坐标系和n坐标系的确定从基座到末端执行器，给各关节依次标号：1，2，、、、，n；在基座上设置右手直角坐标系ΣO0，使Z0沿着关节1的轴线，X0或Y0可以任选。最后一个坐标系ΣOn与末端执行器（手爪）的坐标系重合。第6页，共39页，2023年，2月20日，星期三下面来建立i-1和i坐标系之间的变换关系。D）A矩阵和T矩阵Tn=A1A2A3…AnA矩阵表示两连杆相对位姿关系的矩阵，也称着连杆变换矩阵。Ai为连杆i相对于连杆i-1的变换矩阵，即。两个或两个以上的A矩阵的乘积称为T矩阵。T２=A1A2T3=A1A2A3第7页，共39页，2023年，2月20日，星期三对于旋转关节：（1）绕Zi-1轴旋转θi角，使Xi-1轴与Xi轴和Zi-1轴在同一平面上；（2）沿Zi-1轴平移一距离di，使Xi-1轴与Xi轴重合；（3）沿Xi轴平移一距离ai，使连杆i-1的坐标系原点与连杆i的坐标系原点重合；（4）绕Xi轴旋转αi角，使Zi-1轴与Zi轴重合。第8页，共39页，2023年，2月20日，星期三将上式展开第9页，共39页，2023年，2月20日，星期三同理，对于移动副关节Ai矩阵可以简化为（ai=0）所以，机械手的末端执行器相对于基坐标系的变换为第10页，共39页，2023年，2月20日，星期三4.1.2运动学正解依次写出从基坐标系到手爪坐标系之间相邻两坐标系的齐次变换矩阵，它们依次连乘的结果就是末端执行器（手爪）在基坐标系中的空间描述，即已知q1,q2,…,qn，求，称为运动学正解；已知，求q1,q2,…,qn，称为运动学反解。上式称为运动方程。第11页，共39页，2023年，2月20日，星期三例1：PUMA560运动学方程第12页，共39页，2023年，2月20日，星期三（１）θi是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度；（２）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离；（３）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；（４）αi是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。第13页，共39页，2023年，2月20日，星期三（1）连杆参数（2）A矩阵解：

第14页，共39页，2023年，2月20日，星期三零位校验：零位校验：零位校验：第15页，共39页，2023年，2月20日，星期三零位校验：零位校验：零位校验：第16页，共39页，2023年，2月20日，星期三=第17页，共39页，2023年，2月20日，星期三零位校验：

令得第18页，共39页，2023年，2月20日，星期三例2：Stanford机器人运动学（１）θi是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度；（２）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离；（３）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；（４）αi是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。第19页，共39页，2023年，2月20日，星期三解：（1）连杆参数（2）A矩阵第20页，共39页，2023年，2月20日，星期三第21页，共39页，2023年，2月20日，星期三本文讲述的方法书上讲述的方法

两种连杆坐标系建立方法的对比

第22页，共39页，2023年，2月20日，星期三结论：3.选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。

１.一般来说，机器人的坐标系可以任意建立；２.如果不是按照D-H方法建立连杆坐标系，则不能按照A矩阵表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换；第23页，共39页，2023年，2月20日，星期三4.1.3运动学反解反解就是已知手爪位姿求关节变量。正解反解第24页，共39页，2023年，2月20日，星期三

反变换法是一种把关节变量分离出来从而求解的方法，也称代数法。第25页，共39页，2023年，2月20日，星期三上式两端的元素（3，4）对应相等，得：

-s1px+c1py=d2首先求θ1

，将等式两端左乘，得再利用三角代换:和，其中第26页，共39页，2023年，2月20日，星期三把它们代入代换前的式子得：再求θ3。再令矩阵方程两端的元素（1，4）和（2，4）分别对应相等得：第27页，共39页，2023年，2月20日，星期三两边平方相加得：合并同类项并整理得：令，再利用三角代换可得：式中正，负号对应着θ3

的两种可能解。第28页，共39页，2023年，2月20日，星期三最后求θ2：

将展开并整理得：同样再利用三角代换容易求得θ2的四种可能解：

其中第29页，共39页，2023年，2月20日，星期三结论：1.反解的可能解有多个，但由于结构限制，例如各关节变量不能在全部360°范围内运动，有些解甚至全部解都不能实现。

2.机器人存在多种解时，应选取其中最满意的一组解，譬如满足行程最短，功率最省，受力最好，回避障碍等要求。（实际上就是加约束条件）。第30页，共39页，2023年，2月20日，星期三4.1.4

运动学反解的有关问题一、解的存在性和工作空间通常把反解存在的区域(如圆环)称为该机器人的工作空间。严格地讲，工作空间分为两种：(1)灵活（工作）空间，是指机器人手爪能以任意方位到达的目标点集合；(2)可达（工作）空间，是指机器人手爪至少能以一个方位到达的目标点集合。两自由度平面机械手容易求得第31页，共39页，2023年，2月20日，星期三二、反解的唯一性和最优解ai反解数目a1=a3=a5=0a3=a5=0a3=0所有ai不等于0小于等于4小于等于8小于等于16小于等于16一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多，即运动学反解的数目越多。

最优解遵循的一般准则：通常按“最短行程”择优，即使每个关节的移动量为最小；多移动小关节，少移动大关节。第32页，共39页，2023年，2月20日，星期三三、求解方法工业机器人运动学反解的方法可分为两类：封闭解和数值解。其封闭解可通过两种途径获得：代数解和几何解。第33页，共39页，2023年，2月20日，星期三4.1.5

关节空间和操作空间

机械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量，所有关节矢量构成的空间称为关节空间。末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间或作业定向空间来表示。

各驱动器的位置统称为驱动矢量。所有驱动矢量构成的空间称为驱动空间。第34页，共39页，2023年，2月20日，星期三4.2

移动机器人运动学以两轮差速驱动方式的移动机器人为例，建立其运动学方程。所做的基本假设如下：(1)车体所在路面为光滑平面；(2)车轮在运动过程中，在纵向作纯滚动，没有侧向滑移；(3)车体有关参数，如左右轮直径和左右轮间距在车体负载与空载情况下相同。第35页，共39页，2023年，2月20日，星期三第36页，共39页，2023年，2月20日，星期三由理论力学的知识可知，P