习题5和1求下列矩阵的特征值特征向量

3

1

01） ；2） 3；3） 0；4）

0 4

6 0

2)(3，特征值2,3 当2

1

，故属于2

当321

，故属于3

k22（k2022）

(1)(9，特征值01,9当011当12

，故属于01

当9

，故属于9

k33（k303 3）

1)(1)2，特征值1,1 1时，

1

21,0,1)。故属于1的特征向量为k11k22（k1k2不全为零。当1时，31,0,1)

1

34）

1

(1)2(

，特征值12 当1

1(3,6,

，故属于1

当22

2

2AA23A2E0A解：设AXAXXA2X2XA23A2E)X232X0X非零，所以2320A的特征值只能为1或2设A2A2的特征值i（i为正整数）是Ai的特征值f(是f(f(A如果A可逆，则1A1的特征值证明：1）因为AX ，则A2XA(X)AX2 A3XA(2X3XAiXiX，即iAiann由1）AiXiX（i为正整数，记f()aaann fAXaEaE aEn)Xf()Xf(f(A AAXXA1XA1X特征值不为零（否则0EA0，与A可逆。故1XA1XX1X2AX1X2A的

，AX22

X1X2（反证）X1X2AAX1X2)X1X2

(1X12X20。因为12，所以(1),(2是X1,X2线性相关，。故X1X2不是A的特征向量AABBAA1ABABAABBA ABCD相似。证明

C与

D相似

Q1CQ

。于是

，即 D相似

Q1

C

C 2计算Ak，其中A 4

3 解：0

(

，特征值1,55当1

为22,12)5时，对应的特征向量为312,1)。故可取

5

P

P1

0

1而AkP

1

0求x，y的值使得矩阵A与B相似其中A 0 1 2 B的特征值为0,12AB0EA0，1EA02(xy)22EA0。即 2xy ，从而xy0实称矩阵的特征值为0或纯虚数1证明：1）设A是实称矩阵，是A的特征值，则有X0，AXX。共轭有AX

X

，一方面XAXX

；另一方面，XAXXAXAX)X (XX0X0XX0。故0，即0AAX0AXXAXXXAXAXXXXAAXXXX0XX0。故1，即1 1 3

11 31 A

2

，2）A 1 3

2 2

解：1）AAEA为正交矩阵；2）A,BA1与A为正交矩阵

B为正交矩阵 证明：1）因为A为正交矩阵，所以AA(A)AAA)EEA1A

，即AA12）因为A,B为正交矩阵，所以AA

，BB

B

B

，即

B为正交 ),(

x1x2x3x4解：设所求向量为xxxx，则有xxxx

2xxx3x 4,0,11。故k(4,0,11（k为任意数求正交矩阵Q，使得Q1AQ为对角形111）A11

；2）A

4 11

5 解：1）EA

，特征值0,3当0

1

，21,0,1)。当3

12由正交化，取112

(1,1,0)，2

(1,1,2)，3

161312 161312 3

12Q 12

，则Q1AQQAQ

3 2163 2163 2）EA

，特征值1,10 当1

2,0,1)

10

11,1)2由正交化取1

(2,1,0)，21515

(2,4,5)11

1(122)3令 ，则Q1AQQAQ 523523

设3A的特征值为1，2，3；对应的特征向量为10,1,0)21,1,0)，30,0,1)A

0P 0

，则有

P1AP

1

1 0AP P1 0 3 3A63（二重根6解：设Xx1x2x3)是实对称矩阵A属于特征值为3的特征向量，则有解：设Xx1x2x3)是实对称矩阵A属于特征值为3的特征向量，则有x1x2x303的特征向量11,1,0)21,0,1)P1，则P1141|A33E||P6P1。633 c设矩阵A 3，A1，A*有特征值，属于的一个特 1 a 向量为11,1)。求a,b,c和0解：因为A1AAEA

A

0，可得01AA1，所以

0(1ca)0(2b)

0b。解得 (1ca) c

A

a3A3XXAXA2X线性无关，且满A3X3AX2A2X。PXAXA2X)3BAPBP1AE1）

P1PP1(X,AX,AX2)

，

P1AX(0,1,0)P1A2X0,0,1)。APBP1BP1APP1(AXA2XAX3) 0 (P1AXP1A2X,3P1AX2P1A2X) 3 2）A

PBP1

B

4 1A是nf(EAnan11

f的n个根（重根按重数计算a11 ann1 na1A的迹，记为tr(A

A1)n 1证明因为f()EAnan1 a( ()令01 则有

A(1)n

2）EA中1行列式定义知只能出现在( (ann1

内，它的系数为(a a)a；而( ()中n1项的系数为( ) 1）设A(a ,a)，a均为非零实数，BAA，求可逆矩阵P，使得 1aaa1n1n1aaa1n1n1，所以0EB0的n11）的结果知n1 a(a2 a2EB

1n1[a2 a2)] a

1 当0时，可得：2(a2, ,0)，，n(an 于特征值(a2 a2)的特征向量X(x ,x)与上述向量组正交，所 ,anajx1a1xj（j ,n。故1,an

a1 2

令P 则PBP n2n2

1an11

a2

an AA1AA1也为上三AA1AA,BAB0ABA

0A2B22

B0

AB1A,B正交矩阵，所以

AB

ABABA

A 。即(1

B)A

0A

0AB1）2）

x24y2z24xy2xz4yzx2y27z22xy4xz4yz

x2x2x2x 1x

2x解：1）

(x,y,z) 2y；2）f(x,y,z) 2y 1z

7z 1x1 2x3）

(x,x,x,

2

0x 3

x41）2）

2x23x23x24xx 2x2x2x2x22xx2xx2xx 2 1 1 2 3二次型矩阵为03202，3 1)(2)(5 fy22y25y2123。1010011010110101110112）二次型矩阵为 等于 (1)(1)2(

。所以二次型为标准形 ffy22y2y21 41）

3x24y25z24xy4yz2）

5x26x24x24xx4xx3）

1 12x1x22x1x36x2x3 0 解：1）二次型矩阵为 2 ，又30

8 5 228

26 26 2）二次型矩阵为 0

，又50

80

3）

X11,1,0)

f(X1)2

；又取X20,1,1)，则f(X2)6

t1）

2x2x2x22xxtxx 1 22）

x24x2x22tx

1 1 解：1）二次型对应的矩阵为 t2。又20

10t2 t2 1 0t210t21 11tt2t20

。所以当11t20，即 t 时二次型正定22222 5 2）二次型对应的矩阵为 3 ，又1

4t

1 3

230t

4t2

无解，即无论t A0

t230t105 XAX，对于任意nX0X

0AaijnnX0i（表示第i10的n 量XAX0，得aii0X0ij（表示第ij1 0n维列向量XAX0，则有2aij0A0 如果A是正定矩阵，证明A1是正定矩阵证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵B，使得A 。故A1B1(B)A1B1(B)1AB是nk0l0。证明kAlB证明：A，B是n阶正定矩阵，对任意n的列向量X0，XAX0XBX0X(kAlB)Xk(XAXl(XBX

。即kAlBA是实对称矩阵，证明当实数ttEA

1jn

，则当tMX(tEAX

。所以tEAA1）aii0(i ,n)aa

a

0(i

j;i,j n)证明：1（反证）aii0X0xi1 X

0。与A为正定矩阵。故aii0(i ,n)2）由1）a0,

0（）

aij

，则二元二次型

a agay22ay

a

不正定，故存在y

)

ii

ij1

jj

a

2ay

ay2

Xx

x

ii

ij10

jj

X0X

a

2ay

a

0A

ii

ij10

jj, ,a a

0(i

j;i,j 若A为n阶正定矩阵，X(x ,x)。证明：f(X)

是n

X A6A1Xf(X)

X

0

XA1X0X X

1X

Xf(X)

是nX ABA的特征值小于aB的特征值小于bA特征值小于abAaaEA的特征值全大于零，即aEA为正定矩阵；同理可得bEB为正定矩阵。故