第八章直线与圆的方程第七课时

第八章直线与圆的方程第七课时第1页，共48页，2023年，2月20日，星期三考纲要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.第2页，共48页，2023年，2月20日，星期三第3页，共48页，2023年，2月20日，星期三知识梳理一、点与圆的位置关系若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么点(x0，y0)在圆上⇔____________________________；圆外⇔____________________________；圆内⇔____________________________.答案：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2第4页，共48页，2023年，2月20日，星期三二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法：1．代数法(判别式法)Δ>0⇔____；Δ＝0⇔____；Δ<0⇔____.2．几何法：圆心到直线的距离一般宜用几何法．答案：1.相交相切相离2.相交相切相离第5页，共48页，2023年，2月20日，星期三三、圆与圆的位置关系1.>r1＋r2⇔相离．2.＝r1＋r2⇔外切．3.<<r1＋r2⇔相交．4.＝⇔内切．5.<⇔内含．第6页，共48页，2023年，2月20日，星期三四、圆系方程1．以(a，b)为圆心的圆系方程：2．过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ＝0，但不含C2；当λ＝－1时，l：

＝0为两圆公共弦所在直线方程．五、弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则d2＋＝r2.第7页，共48页，2023年，2月20日，星期三基础自测1．过点(2,1)的直线中，被x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程是()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋1＝0A第8页，共48页，2023年，2月20日，星期三2．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析：由M(x，y)关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，即得x2＋(y＋1)2＝1.答案：C第9页，共48页，2023年，2月20日，星期三3．圆C1：x2＋y2－4x＋2y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的位置关系是()A．内切B．外切C．外离D．相交C第10页，共48页，2023年，2月20日，星期三4．(2011年株洲模拟)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：＝2，则C上各点到l的距离的最小值为________．第11页，共48页，2023年，2月20日，星期三解析：如右图可知：过圆心作直线l：x－y＋4＝0的垂线交l于D，则AD长即为所求；∵C：＝2的圆心为C，半径为，点C到直线l：x－y＋4＝0的距离为d＝∴AD＝CD－AC＝2－＝.故C上各点到l的距离的最小值为.答案：第12页，共48页，2023年，2月20日，星期三第13页，共48页，2023年，2月20日，星期三直线3x－4y－9＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是()A．相交且过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心解析：因为圆心(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝<2，且3×0－4×0－9≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．答案：D第14页，共48页，2023年，2月20日，星期三变式探究1．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()A.或－B．－或3C．－3或D．－3或3C第15页，共48页，2023年，2月20日，星期三2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能B第16页，共48页，2023年，2月20日，星期三已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.(1)是否存在一点A，对于任意的实数m，直线l恒过A点？若有，请说明理由并求出A点坐标；(2)证明：对任意m∈R，直线l一定与圆C相交；(3)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．第17页，共48页，2023年，2月20日，星期三解析：(1)(2m＋1)x＋(m＋1)y—7m—4＝0，2mx＋x＋my＋y—7m—4＝0，提出m，得m(2x＋y—7)＋x＋y—4＝0，只要令：2x＋y－7＝0①x＋y－4＝0②①②联立，解得x＝3，y＝1.所以直线l恒过点A(3,1)(2)证明：证法一：因为(3－1)2＋(1－2)2<25，所以点A在圆内，即直线l一定过圆内一点，则直线l与圆一定相交．第18页，共48页，2023年，2月20日，星期三证法二：证明圆心(1,2)到直线l的距离d小于半径5即可．d＝，d2＝，d2－25＝∵1142－4×116×49<0,62－4×5×2<0，∴对任意的m都有116m2＋144m＋49>0恒成立，5m2＋6m＋2>0恒成立．∴d2－25<0恒成立，即有d2<25，所以d<5，故直线l与圆一定相交．证法三：用方程组思想，判别式方法判断根的个数一定有两个即可(略)．第19页，共48页，2023年，2月20日，星期三(3)因为过圆心作直线l的垂线时，当垂足为(3,1)时弦长就是最短的，所以依据圆心(1,2)和垂足(3,1)算出弦心距为，已知半径为5，再根据勾股定理就可以得知的弦长为2，然后总弦长为4，此时直线AC与直线l垂直，kAC＝－，则kl＝2，根据点斜式可得，直线l的方程为y－1＝2(x－3)，化简得y－2x＋5＝0.点评：用直线系方程求点．若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常采用分离系数法：即将原方程改变成：f(x,y)＋mg(x，y)＝0的形式，此式的成立与m的取值无关，从而解出定点．第20页，共48页，2023年，2月20日，星期三变式探究3．把直线x－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为()A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－13第21页，共48页，2023年，2月20日，星期三解析：平移后的直线为x－2y＋λ－3＝0，由题意，所以λ＝3或13.答案：A第22页，共48页，2023年，2月20日，星期三(2010年厦门模拟)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：y＝kx，且l与圆C交于P、Q两点，点M，且MP⊥MQ.(1)当b＝1时，求k的值；(2)当b∈时，求k的取值范围．解析：(1)圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，当b＝1时，点M(0，b)在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时满足MP⊥MQ.∵圆心C的坐标为(1,1)，∴k＝1.(2)由，消去y得(1＋k2)x2－2(1＋k)x＋1＝0.①第23页，共48页，2023年，2月20日，星期三设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由MP⊥MQ，得x1x2＋(y1－b)(y2－b)＝(1＋k2)x1x2－kb(x1＋x2)＋b2＝0.∴(1＋k2)·－kb·＋b2＝0，即令f(b)＝b＋，则f′(b)＝1－，b∈时，f′(b)＝1－>0，∴f(b)在区间上是单调递增的，第24页，共48页，2023年，2月20日，星期三当b∈时，f(b)∈.∴2<，解得：∴由①式Δ>0解得k>0，∴1<k<6－或k>6＋.∴k的取值范围是(1,6－)∪(6＋，＋∞)．第25页，共48页，2023年，2月20日，星期三变式探究4．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A．2B．C．3D．第26页，共48页，2023年，2月20日，星期三解析：如下图最小时，弦心距最大为1，答案：B第27页，共48页，2023年，2月20日，星期三(1)求过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1所引的切线方程；(2)过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引两条切线，切点为P、Q，求P、Q所在直线方程(弦PQ简称切点弦)．思路分析：(1)用点斜式设直线方程时，要分斜率存在、不存在两种情况讨论．(2)点M、圆心C、切点P、Q四点共圆，直线PQ为两圆公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程．解析：(1)当所求切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.∴＝1.解得k＝，第28页，共48页，2023年，2月20日，星期三即切线方程为24x－7y－20＝0.当k不存在时，切线方程为x＝2.故所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.(2)连结CP、CQ，则CP⊥PM，CQ⊥QM.∴M、P、Q、C四点共圆．其圆是以CM为直径的圆．∵C(1，－3)，∴CM的中点为.|CM|＝∴以CM为直径的圆的方程为第29页，共48页，2023年，2月20日，星期三∴PQ的方程为(x－1)2＋(y＋3)2－1－＝0，即x＋7y＋19＝0.第30页，共48页，2023年，2月20日，星期三变式探究5．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为()A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0第31页，共48页，2023年，2月20日，星期三解析：解法一：⇒x2－4x＋(kx－k＋)2＝0，该二次方程应有两相等实根，即Δ＝0，解得k＝.∴y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.解法二：∵点(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1.解得k＝，∴切线方程为x－y＋2＝0.答案：D第32页，共48页，2023年，2月20日，星期三(2011年南宁模拟)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：化成标准方程：O1：(x－1)2＋y2＝1，O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)、O2(0,2)、|O1O2|＝又∵|R－r|＝1＜<R＋r＝3，所以两圆相交．答案：B第33页，共48页，2023年，2月20日，星期三变式探究6．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15解析：注意内切与外切均有可能．答案：B第34页，共48页，2023年，2月20日，星期三知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求该圆的圆心坐标及半径．思路分析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ＝－1，问题可解．解析：解法一：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由OP⊥OQ,得：kOP·kOQ＝－1即＝－1，即x1x2＋y1y2＝0①另一方面(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的实数解，第35页，共48页，2023年，2月20日，星期三即x1，x2是5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个实数根，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝③又P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝(3－x1)(3－x2)＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]将③代入得y1y2＝④将③④代入①知：m＝3.代入方程②检验Δ＞0成立．∴m＝3.圆心坐标为，半径为r＝.解法二：将3＝x＋2y代入圆的方程知：第36页，共48页，2023年，2月20日，星期三x2＋y2＋(x＋2y)(x－6y)＋(x＋2y)2＝0，整理得：(12＋m)x2＋4(m－3)xy＋(4m－27)y2＝0.由于x≠0，可得(4m－27)＋4(m－3)＋12＋m＝0，∴kOP、kOQ是上面方程的两根，由kOP·kOQ＝－1知：＝－1，解得：m＝3.检验知m＝3满足Δ＞0.∴圆心坐标为，半径为r＝.第37页，共48页，2023年，2月20日，星期三点评：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解题技巧，这是用韦达定理解题的典型例子，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑，即注意Δ＞0的检验．第38页，共48页，2023年，2月20日，星期三7.求经过两圆(x＋3)2＋y2＝13和x2＋(y＋3)2＝37的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解析：因为所求的圆经过两圆(x＋3)2＋y2＝13和x2＋(y＋3)2＝37的交点，所以设所求圆的方程为(x＋3)2＋y2－13＋λ[x2＋(y＋3)2－37]＝0.展开、配方、整理，得变式探究第39页，共48页，2023年，2月20日，星期三圆心为，代入方程x－y－4＝0，得λ＝－7.故所求圆的方程为点评：圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ∈R且λ≠－1)．它表示除圆C2以外的所有经过两圆