第八章第十节圆锥曲线的综合问题

第八章第十节圆锥曲线的综合问题第1页，共79页，2023年，2月20日，星期三考向1圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2012·福建高考)如图,等边三角形OAB的边长为,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程.(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.第2页，共79页，2023年，2月20日，星期三【思路点拨】(1)利用等边三角形边长为及抛物线的性质确定出点B的坐标，从而用待定系数法求出p.(2)设出P点坐标，建立直线l的方程，与y=-1联立求得Q点坐标，再设以PQ为直径的圆恒过y轴上的点M(0,y1)，根据＝0恒成立，求出y1为常数得证，或对P点坐标取特殊值，先研究出以PQ为直径的圆与y轴交于的定点，再证明与变量无关.第3页，共79页，2023年，2月20日，星期三【规范解答】(1)依题意，｜OB｜＝,∠BOy=30°.设B(x,y)，则x=|OB|sin30°＝，y=|OB|cos30°＝12，所以B(,12).因为点B在x2=2py上，所以解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.第4页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)由(1)知设P(x0,y0)(x0≠0)，且l的方程为即由得所以第5页，共79页，2023年，2月20日，星期三方法一：设以PQ为直径的圆与y轴的一个交点为M(0，y1)，令对满足的x0,y0恒成立.由得即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0(*)由于(*)式对满足的y0恒成立，所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).第6页，共79页，2023年，2月20日，星期三方法二：取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0，1)或M2(0，-1)；取x0=1,此时以PQ为直径的圆为交y轴于M3(0,1)或故若满足条件的M存在，是M(0，1).以下证明点M(0，1)就是所要求的点，第7页，共79页，2023年，2月20日，星期三因为故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).第8页，共79页，2023年，2月20日，星期三【拓展提升】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.第9页，共79页，2023年，2月20日，星期三【变式训练】(2013·淮南模拟)在平面直角坐标系中，已知向量a=(x,y)，b=(x,ky-4)(k∈R),a⊥b,动点P(x,y)的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状.(2)当k=0时，过点F(0，1)作轨迹T的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由.第10页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】(1)∵a⊥b,∴a·b=(x,y)·(x,ky-4)=0,得x2+ky2-4y=0.当k=0时，方程为x2=4y表示抛物线；当k=1时，方程表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆；当k>0且k≠1时，方程表示椭圆；当k<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.第11页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)当k=0时，轨迹T的方程为x2=4y.设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).由题意设直线AB的方程为y=k1x+1,联立x2=4y有：x2-4k1x-4=0，∴点M的坐标为第12页，共79页，2023年，2月20日，星期三同理可得：点N的坐标为直线MN的斜率为其方程为整理得显然，不论k1为何值，点(0，3)均满足方程，∴直线MN恒过定点(0，3).第13页，共79页，2023年，2月20日，星期三考向2圆锥曲线中的定值问题【典例2】(2013·西安模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆方程.(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P.证明：为定值.第14页，共79页，2023年，2月20日，星期三【思路点拨】(1)根据四边形F1AF2B为边长为2的正方形及椭圆的几何性质，构建关于a，b，c的方程求解.(2)根据已知设出动点M，P的坐标，分别将表示出来，最后计算为定值.第15页，共79页，2023年，2月20日，星期三【规范解答】(1)由椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，得得∴椭圆方程为(2)C(-2，0)，D(2，0)，设M(2，y0),P(x1,y1),则直线第16页，共79页，2023年，2月20日，星期三代入椭圆x2+2y2=4，得∴(定值).第17页，共79页，2023年，2月20日，星期三【拓展提升】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②引进变量法：其解题流程为第18页，共79页，2023年，2月20日，星期三【变式训练】已知椭圆的左焦点F1(-1，0)，长轴长与短轴长的比是(1)求椭圆的方程.(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n,求证：为定值.第19页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】(1)由已知得解得故所求椭圆方程为(2)当直线m斜率存在时，设直线m的方程为：y=k(x+1)(k≠0).由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.由于Δ>0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则有第20页，共79页，2023年，2月20日，星期三同理所以第21页，共79页，2023年，2月20日，星期三当直线m斜率不存在时，此时｜AB｜＝3，｜CD｜＝4，综上，第22页，共79页，2023年，2月20日，星期三考向3圆锥曲线中的最值与取值范围问题【典例3】(1)椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)和圆x2+y2=(+c)2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为()第23页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)(2012·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为①求抛物线C的方程；②是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由;③若点M的横坐标为，直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，｜AB|2+|DE|2的最小值.第24页，共79页，2023年，2月20日，星期三【思路点拨】(1)利用椭圆的两个顶点(a,0)与(0,b)一个在圆外，一个在圆内构建不等式组求解.(2)①利用抛物线定义及三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上构建p的方程求解；②利用斜率与导数相等求解；③分别利用弦长公式求出|AB|2与｜DE｜2，再利用导数求｜AB｜2+｜DE｜2的最小值.第25页，共79页，2023年，2月20日，星期三【规范解答】(1)选A.此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内，即第26页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)①由F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点F的坐标为抛物线的准线为过M，F，O三点的圆的圆心为Q，则圆心Q在线段OF的垂直平分线上,所以所以p＝1.所以抛物线C的方程为x2=2y.第27页，共79页，2023年，2月20日，星期三②假设存在这样的点M，设点M的坐标为(x0,y0)(x0＞0,y0＞0),焦点F的坐标为所以线段MO的中点坐标为圆心Q在MO的垂直平分线上，因为所以MO的垂直平分线方程为圆心Q在线段OF的垂直平分线上，解得点Q坐标为第28页，共79页，2023年，2月20日，星期三所以直线MQ与抛物线C相切于点M，抛物线的导数为y′=x,过点M的切线斜率为整理得2y02-y0-1=0,第29页，共79页，2023年，2月20日，星期三解得:y0=1或(舍去)，所以所以点M的坐标为③点M的横坐标为,由②知圆心半径圆心到直线l:的距离为：第30页，共79页，2023年，2月20日，星期三联立消去y可得：设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]＝(1+k2)(4k2+2),于是，｜AB｜2+｜DE｜2＝第31页，共79页，2023年，2月20日，星期三令1+k2=t∈[，5]，｜AB｜2+｜DE｜2设当时，恒成立,第32页，共79页，2023年，2月20日，星期三所以当即时，故当时，第33页，共79页，2023年，2月20日，星期三【互动探究】本例题(2)③中条件不变，求｜AB｜2+｜DE｜2的取值范围.【解析】在例(2)③中已解出｜AB｜2+|DE|2的最小值为由例(2)③解题过程可知，设g(t)=第34页，共79页，2023年，2月20日，星期三当时，恒成立,∴当t=5，即k=2时，综上可得｜AB|2+|DE|2的取值范围为第35页，共79页，2023年，2月20日，星期三【拓展延伸】1.圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.第36页，共79页，2023年，2月20日，星期三(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.第37页，共79页，2023年，2月20日，星期三2.圆锥曲线中常见最值问题及求解方法(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.第38页，共79页，2023年，2月20日，星期三【提醒】求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等.第39页，共79页，2023年，2月20日，星期三【变式备选】(1)(2013·南昌模拟)已知双曲线(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜，则此双曲线的离心率e的取值范围是____________.第40页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】由题意结合双曲线的定义得｜PF1|-|PF2|=2a,设｜PF2｜＝r,则｜PF1｜＝4r，故3r＝2a，即根据双曲线的几何性质，即故双曲线的离心率e的取值范围是答案：第41页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)如图，已知半椭圆C1:(a>1,x≥0)的离心率为曲线C2是以半椭圆C1的短轴为直径的圆在y轴右侧的部分，点P(x0,y0)是曲线C2上的任意一点，过点P且与曲线C2相切的直线l与半椭圆C1交于两个不同点A，B.①求a的值及直线l的方程(用x0,y0表示)；②△OAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.第42页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】①由题意知所以a2=4,a=2.故半椭圆C1的方程为曲线C2的方程为x2+y2=1(x≥0).如果x0≠0且y0≠0,则直线OP的斜率为从而过点P的圆的切线l的斜率为因此，所求直线l的方程为第43页，共79页，2023年，2月20日，星期三化简，得所以，直线l的方程为如果x0=0或y0=0，当x0=0时，直线l与半椭圆只有一个交点，不满足题意.当y0=0时，可以验证切线的方程也可以表示为x0x+y0y=1.所以，所求直线l的方程为x0x+y0y=1(x0≠0).第44页，共79页，2023年，2月20日，星期三②(i)当y0≠0时，由得因为点P(x0,y0)在C2:x2+y2=1(x≥0)上，所以x02+y02=1.所以(*)式即为(3x02+1)x2-8x0x+4x02=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，第45页，共79页，2023年，2月20日，星期三则因为原点O到直线l的距离等于1,x0>0,所以△OAB的面积第46页，共79页，2023年，2月20日，星期三当且仅当即(舍去)时，△OAB的面积存在最大值，且最大面积等于1.(ii)当y0=0时，直线l⊥x轴，此时△OAB的面积综上，△OAB的面积存在最大值，且最大面积等于1.第47页，共79页，2023年，2月20日，星期三【满分指导】解答圆锥曲线的综合问题【典例】(12分)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1，e)和(e,)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.第48页，共79页，2023年，2月20日，星期三(1)求椭圆的方程.(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.①若求直线AF1的斜率；②求证：|PF1|+|PF2|是定值.第49页，共79页，2023年，2月20日，星期三【思路点拨】第50页，共79页，2023年，2月20日，星期三【规范解答】(1)由题设知，由点(1,e)在椭圆上，得①∴c2=a2-1.…………………2分∴椭圆的方程为………………4分第51页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又∵AF1∥BF2，∴设AF1，BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.∴第52页，共79页，2023年，2月20日，星期三同理，………6分①解得m2=2.②∵注意到m>0,∴m=.∴直线AF1的斜率为………………7分第53页，共79页，2023年，2月20日，星期三②∵AF1∥BF2,即∴由点B在椭圆上知，∴…………9分同理.第54页，共79页，2023年，2月20日，星期三∴|PF1|+|PF2|

③.……10分第55页，共79页，2023年，2月20日，星期三【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)第56页，共79页，2023年，2月20日，星期三1.(2013·吉安模拟)已知抛物线y2=4x上两个动点B，C和点A(1，2)，且∠BAC=90°，则动直线BC必过定点()(A)(2，5)(B)(-2，5)(C)(5，-2)(D)(5，2)第57页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】选C.设BC的中点为D(x0,y0),则y1+y2=2y0,直线BC：即4x-2y0y+y1y2=0①又∴y1y2=-4y0-20，代入①式得：2(x-5)-y0(y+2)=0,则动直线BC恒过x-5=0与y+2=0的交点(5，-2).第58页，共79页，2023年，2月20日，星期三2.(2013·芜湖模拟)过点M(1，0)作直线与抛物线y2=4x交于A,B两点，则【解析】当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则第59页，共79页，2023年，2月20日，星期三∴当直线的斜率不存在时，答案：1第60页，共79页，2023年，2月20日，星期三3.(2013·西安模拟)设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,…)，使｜FP1｜，｜FP2｜，｜FP3｜，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____________.第61页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】若公差d>0，则｜FP1｜最小，数列中的最大项为并设为第n项，则注意到d>0,得0<d≤;若d<0，易得≤d<0.那么，d的取值范围为答案：第62页，共79页，2023年，2月20日，星期三4.(2012·浙江高考)如图，椭圆C：的离心率为其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程.(2)求△APB面积取最大值时直线l的方程.第63页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】(1)左焦点(-c,0)到点P(2,1)的距离为解得c=1,又离心率为可得a2=4,所以b2=3,所以椭圆C的方程为(2)由题意可知，直线l不垂直于x轴，故可设直线l:y=kx+m(m≠0),交点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.第64页，共79页，2023年，2月20日，星期三∴∴AB的中点为而直线可得解得即直线l:第65页，共79页，2023年，2月20日，星期三而点P(2，1)到直线l：的距离为∴△APB面积为其中令f(m)=(12-m2)(4-m)2,则f′(m)＝4(m2-2m-6)(4-m)所以当且仅当时，f(m)取得最大值，即S取得最大值.此时直线l:第66页，共79页，2023年，2月20日，星期三1.已知椭圆C：(a>b>0)的离心率左、右焦点分别为F1,F2，定点P(2，)满足|F1F2|=|PF2|.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.第67页，共79页，2023年，2月20日，星期三【解析】(1)由椭圆C的离心率得其中椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又|F1F2|=|PF2|，解得c=1,a2=2,b2=1,∴椭圆的方程为第68页，共79页，2023年，2月20日，星期三(2)由题意，知直线MN存在斜率，且其方程为y=kx+m.由消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.∵直线l与椭圆交于M，N两点，∴Δ>0.∴(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,化简得：m2-2k2<1①.设M(x1,y1),N(x2,y2),则第69页，共79页，2023年，2月20日，星期