第五章机器人运动学

第五章机器人运动学1第1页，共92页，2023年，2月20日，星期三运动学正问题杆件参数的意义坐标系的建立原则杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换机器人的运动学方程第2页，共92页，2023年，2月20日，星期三杆件参数的意义-和

li

:

关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度:关节i轴线与i+1轴线在垂直于li平面内的夹角

串联关节，每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和Ai+1相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度

li（），一个是杆件的扭转角AiAi+1第3页，共92页，2023年，2月20日，星期三杆件参数的意义-和

:是从第i-1坐标系的原点到Zi－１轴和Ｘi轴的交点沿Ｚi-1轴测量的距离:绕Zi-1轴由Ｘi-1轴转向Ｘi轴的关节角

确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的距离：，一个是杆件的回转角：

AiAi+1Ai-1第4页，共92页，2023年，2月20日，星期三坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1为右手坐标系原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线Yi轴：按右手定则Li—沿xi轴，zi-1轴与xi轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xi第5页，共92页，2023年，2月20日，星期三

杆件坐标系间的变换过程

-相邻关节坐标系的齐次变换将xi-1轴绕zi-1轴转i角度，将其与xi轴平行；沿zi-1轴平移距离di，使xi-1轴与xi轴共线；沿xi轴平移距离li(ai)

，使两坐标系原点重合；绕xi轴转i角度，zi-1轴与zi轴重合；两坐标系i-1与i完全重合．AiAi+1Ai-1第6页，共92页，2023年，2月20日，星期三第7页，共92页，2023年，2月20日，星期三机器人的运动学方程

D-H变换矩阵第8页，共92页，2023年，2月20日，星期三特殊情况坐标系的建立原则Oi—Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi—Ai+1轴线Xi—Zi和Zi-1构成的面的法线Yi—右手定则xiyi两个关节轴相交oizi-1第9页，共92页，2023年，2月20日，星期三两个关节轴线平行先建立∑0i-1然后建立∑0i+1最后建立∑0i

Ai-1AiAi+1Ai+2li-1oi-1xi-1yi-1zi-1ABCDoi（xi）（yi）zixiyioi+1xi+1yi+1zi+1di+1li+1di它们之间有无数条公垂线，这时可挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂线。第10页，共92页，2023年，2月20日，星期三举例：Stanford机器人第11页，共92页，2023年，2月20日，星期三A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0x0O0为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线Yi轴：按右手定则Li—沿xi轴，zi-1轴与xi轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xix3第12页，共92页，2023年，2月20日，星期三解：第13页，共92页，2023年，2月20日，星期三第14页，共92页，2023年，2月20日，星期三第15页，共92页，2023年，2月20日，星期三第16页，共92页，2023年，2月20日，星期三y1x1z1z2x2y2x3z0x0y0z4y4z3y3x4第17页，共92页，2023年，2月20日，星期三第18页，共92页，2023年，2月20日，星期三第19页，共92页，2023年，2月20日，星期三第20页，共92页，2023年，2月20日，星期三第21页，共92页，2023年，2月20日，星期三运动学逆问题多解性，剔除多余解原则根据关节运动空间合适的解选择一个与前一采样时间最接近的解根据避障要求得选择合适的解逐级剔除多余解可解性所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解第22页，共92页，2023年，2月20日，星期三例题：试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？

在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。xyz第23页，共92页，2023年，2月20日，星期三解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。xyzz机y机z物y物x物oO机O物第24页，共92页，2023年，2月20日，星期三解2：xyzz机y机z物y物x物oO机O物第25页，共92页，2023年，2月20日，星期三xyzz机y机z物y物x物oO机O物第26页，共92页，2023年，2月20日，星期三用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边求解这个未知数把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解运动学逆问题解法Paul等人提出的方法:第27页，共92页，2023年，2月20日，星期三Paul等人提出的方法第28页，共92页，2023年，2月20日，星期三斯坦福机器人运动学逆问题解第29页，共92页，2023年，2月20日，星期三式中：

由两端矩阵对应元素相等可得：

第30页，共92页，2023年，2月20日，星期三作三角变换：

式中：

得到：

即有：

（）第31页，共92页，2023年，2月20日，星期三由1,4和2,4元素对应相等，得：

第32页，共92页，2023年，2月20日，星期三式中第四列：

第33页，共92页，2023年，2月20日，星期三式中第三列：

第34页，共92页，2023年，2月20日，星期三第35页，共92页，2023年，2月20日，星期三机器人末端操作器位姿的其它描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，φ、θ、ψ就是这种广义坐标。有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中

第36页，共92页，2023年，2月20日，星期三3种最常见的欧拉角类型步1步2步3类型1绕OZ轴转φ角绕当前OU'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型2绕OZ轴转φ角绕当前OV'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型3绕OX轴转φ角绕OY轴转θ角绕OZ轴转ψ角φφφu′v′w′①x(u)y(v)z(w)oθu"v"θw"②u׳׳׳③ψψψv׳׳׳W׳׳׳类型1：表示法通常用于陀螺运动第37页，共92页，2023年，2月20日，星期三类型2：所得的转动矩阵为右乘

第38页，共92页，2023年，2月20日，星期三类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）

第39页，共92页，2023年，2月20日，星期三微动矩阵和微动齐次变换对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系定义:各关节当角度移小于5°时，平移在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用第40页，共92页，2023年，2月20日，星期三微分变换与雅可比矩阵微分变换为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。一.变换的微分

假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。第41页，共92页，2023年，2月20日，星期三若它的元素是变量x的函数，则T的微分为:例如给定变换T为：第42页，共92页，2023年，2月20日，星期三二.微分运动所以得

设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即第43页，共92页，2023年，2月20日，星期三根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）进行的(右乘)，则T+dT可以表示为则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi。这里Δ的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。所以得令第44页，共92页，2023年，2月20日，星期三三.微分平移和微分旋转由于微分旋转θ→0，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:于是得第45页，共92页，2023年，2月20日，星期三四.微分旋转的无序性当θ→0时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，δz=dθz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为略去高阶无穷小量第46页，共92页，2023年，2月20日，星期三两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。同理可得结论：微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。第47页，共92页，2023年，2月20日，星期三若Rot（δx，δy，δz）和Rot（δx’，δy’，δz’）表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。第48页，共92页，2023年，2月20日，星期三kxdθ=δx，

kydθ=δy

，

kzdθ=δz所以有由等效转轴和等效转角与等效，有即第49页，共92页，2023年，2月20日，星期三将它们代入Δ得因此Δ可以看成由和两个矢量组成，叫微分转动矢量，叫微分平移矢量。分别表示为和合称为微分运动矢量，可表示为第50页，共92页，2023年，2月20日，星期三解：例：已知一个坐标系A，相对固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求微分变换dA。第51页，共92页，2023年，2月20日，星期三五.两坐标系之间的微分关系因为将它们代入前面的方程现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就是固定系（基系）0系。第52页，共92页，2023年，2月20日，星期三得其中上式简写成第53页，共92页，2023年，2月20日，星期三对于任何三维矢量，其反对称矩阵定义为：相应地，任意两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换为：第54页，共92页，2023年，2月20日，星期三例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求A系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量δA。解：因为已知，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得，代入第55页，共92页，2023年，2月20日，星期三为了验证这一结果，先求ΔA再得dA验证的结果是与上例dA=ΔA的计算结果完全一样。第56页，共92页，2023年，2月20日，星期三

雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。vxvy存在怎样的关系第57页，共92页，2023年，2月20日，星期三首先来看一个两自由度的平面机械手，如图3-17所示。图3-17两自由度平面机械手容易求得将其微分得写成矩阵形式第58页，共92页，2023年，2月20日，星期三假设关节速度为，手爪速度为。简写成：

dx=Jdθ。式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。对dx=Jdθ两边同除以dt，得可以更一般的写成。第59页，共92页，2023年，2月20日，星期三因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。第60页，共92页，2023年，2月20日，星期三若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。由，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。第61页，共92页，2023年，2月20日，星期三对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。第62页，共92页，2023年，2月20日，星期三只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机械手的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。第63页，共92页，2023年，2月20日，星期三微动平移和微动旋转的齐次变换：平移：旋转R，绕任意轴旋转角。绕x,y,z轴的微分转动分别定义为。则有：第64页，共92页，2023年，2月20日，星期三表示绕x,y,z轴的微分旋转矩阵为：第65页，共92页，2023年，2月20日，星期三如果两个微分矩阵以不同的顺序相乘则得到不同的结果。第66页，共92页，2023年，2月20日，星期三第67页，共92页，2023年，2月20日，星期三如果忽略高阶微分，则结果完全相同。因此，在微分运动中，可认为相乘的顺序并不重要。第68页，共92页，2023年，2月20日，星期三假设绕一般轴的微分运动是由绕三条坐标轴的三个微分运动以任意的顺序构成的，因此绕一般轴的微分运动可以表示为：第69页，共92页，2023年，2月20日，星期三如果忽略高阶微分，则：第70页，共92页，2023年，2月20日，星期三第71页，共92页，2023年，2月20日，星期三坐标系的微分变换坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合成。如果用T表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系T的变化量用dT表示，则：微分平移和微分旋转与顺序无关。第72页，共92页，2023年，2月20日，星期三因此微动率△=微动的齐次变换：dT=△•T

第73页，共92页，2023年，2月20日，星期三己知变换矩阵转动：平移：求dT解：第74页，共92页，2023年，2月20日，星期三反过来：如果我们要求Σ在Σ中的齐次交换矩阵为实际测得的为那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？转动：平移：第75页，共92页，2023年，2月20日，星期三等效微动位移的求解前面研究的是动坐标系ΣOn在ΣOo中的b变换为T，相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次交换。现在我们研究动坐标系ΣOn相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。

第76页，共92页，2023年，2月20日，星期三dT=△•T（绕基准坐标系）=T•T△（绕动坐标系）左乘,绕基准右乘,绕动坐标轴强调等效第77页，共92页，2023年，2月20日，星期三设：有：第78页，共92页，2