天津某中学高一(上)期中数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页高一（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）已知全集为R，集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x−2x+1≥0}，则A∩B元素个数为(    )A.1 B.2 C.3 D.4命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”的否定是(    )A.∃x∈R，x2−2x+1≤0 B.∃X∈R，x2−2x+1≥0

C.∃x∈R，x2−2x+1<0 D.∀x∈R，x2−2x+1<0下列关系中正确的是(    )A.(12)23<(15)23<(12)13 B.(12)13<(12)23<(15)23

C.(15)23<(12)13<(12)23 D.(15)23<(12)23<(12)13函数f(x)=ax2+2x−1，在[1,2]上是増函数，则a的取值范围是(    )A.[−12,0] B.[−12,∞)

C.[−12,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞)不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，则不等式a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax的解集为(

)A.{x|0<x<3} B.{x|x<0或x>3}

C.{x|−2<x<1} D.{x|x<−2或x>1}使不等式(x+1)(|x|−1)>0成立的充分不必要条件是(    )A.x∈(1,+∞) B.x∈(2,+∞)

C.x∈(−∞,−1)∪(1,+∞) D.x∈(−∞,−1)已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=(    )A.−3 B.2 C.3 D.8定义a⊗b=b,(a≥b)a,(a<b)，则函数f(x)=x⊗(2−x)的值域是(    )A.(−∞,1) B.(−∞,1] C.R D.(1,+∞)若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8，则函数y=F(x)在(−∞,0)上有(    )A.最小值−8 B.最大值−8 C.最小值−4 D.最小值−6高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2，已知函数f(x)=ex1+ex−12，则函数y=[f(x)]+[f(−x)]的值域是(    )A.{0,1} B.{1} C.{−1,0，1} D.{−1,0}二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）计算614+(338)13+3125=______．已知函数f(x)=ax5−bx3+cx−3，f(−3)=7，则f(3)的值为______．设f(x)为奇函数，且在(−∞,0)上递减，f(−2)=0，则xf(x)<0的解集为______．设f(x)是定义在(−1,1)上的偶函数在(0,1)上增，若f(a−2)−f(4−a2)<0，则a的取值范围为______．若函数f(x)=−x2+(2−a)x,x≤0(2a−1)x+a−1,x>0在R上为增函数，则a取值范围为______．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x,y满足：f(x+y)=f(x)+f(y)+12，且f(12)=0，当x>12时，f(x)>0.给出以下结论：①f(0)=−12;②f(−1)=−32;③f(x)为R上的减函数;④f(x)+12为奇函数;⑤f(x)+1为偶函数.其中正确结论的序号是________.

三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）已知集合A={x|14≤2x−1≤16}，B={x|8x+3≥1}．

(1)求集合A∩B；

(2)若C={x|m+1≤x≤2m−1}.C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．

已知定义在区间(−1,1)上的函数f(x)=x+ax2+1为奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断并证明函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性；

(3)解关于t的不等式f(t−1)+f(t)<0．

设函数f(x)=ax2+(b−2)x+3．

(1)若f(1)=3，且a>0，b>0，求1a+4b的最小值；

(2)若f(1)=2，且f(x)>2在(−1,1)上恒成立，求实数a的取值范围．

已知定义域为R的单调递减的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x3−2x

(Ⅰ)求f(−1)的值；

(Ⅱ)求f(x)的解析式；

(Ⅲ)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查分式不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题．

可以求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B元素个数．

【解答】

解：∵A={−1,0，1，2，3}，

B={x|x−2x+1≥0}={x|x<−1或x≥2}，

∴A∩B={2,3}，

∴A∩B元素的个数为2．

故选B．

2.【答案】C

【解析】解：∵命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”为全称命题，

∴命题的否定为：∃x∈R，x2−2x+1<0，

故选：C．

因为命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“∃”，“≥“改为“<”即可．

本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．

3.【答案】D

【解析】解：根据指数函数y=(12)x为减函数，

∴(12)23<(12)13，

根据y=x23在(0,+∞)为增函数，

∴(12)23>(15)23，

∴(15)23<(12)23<(12)13．

故选：D．

根据指数函数和幂函数的单调性即可判断．

本题考查了指数函数的幂函数的单调性性，属于基础题．

4.【答案】B

【解析】解：当a>0时，

要想函数f(x)=ax2+2x−1，在[1,2]上是増函数，需要对称−1a≤1，

即a≥−1，

∴a>0．

当a<0时，要想函数f(x)=ax2+2x−1，在[1,2]上是増函数，需要对称轴−1a≤2，

即a≥−12．

∴−12≤a<0．

当a=0时，f(x)=2x−1，在在[1,2]上是増函数；

综上a≥−12．

故选：B．

一元二次函数问题要考虑二次项系数对开口方向的影响，结合对称轴与区间的位置判断即可．

本题考查了数学结合和分类讨论的思想．

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，属于基础题．

根据题目给出的二次不等式的解集得到a<0，且有−ba=−1+2=1,ca=−2，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，可求得要求解的不等式的解集．

【解答】

解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，

所以−1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0，

所以−ba=−1+2=1,ca=−2，

由a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax，

得：ax2−(2a−b)x+a−b+c>0，

设ax2−(2a−b)x+a−b+c=0的两根为x3，x4，

则x3+x4=2a−ba=2−ba=2+1=3①，

x3x4=a−b+ca=1−ba+ca=1+1−2=0②，

联立①②得：x3=0，x4=3，

因为a<0，

所以ax2−(2a−b)x+a−b+c>0的解集为{x|0<x<3}，

所以不等式a(x2+1)+b(x−1)+c>2ax的解集为{x|0<x<3}．

故选：A．

6.【答案】B

【解析】解：当x≥0时，不等式(x+1)(|x|−1)>0⇔(x+1)(x−1)>0⇔x>1；

当x<0时，不等式(x+1)(|x|−1)>0⇔(x+1)(−x−1)>0⇔(x+1)2<0，∴解集为⌀；

∴不等式(x+1)(|x|−1)>0的解题为(1,+∞)；

使不等式(x+1)(|x|−1)>0成立的充分不必要条件应是不等式解集的真子集，(2,+∞)⫋(1,+∞)，

故选：B．

解不等式(x+1)(|x|−1)>0，得不等式的解集；使不等式(x+1)(|x|−1)>0成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可．

本题考查了不等式的解法，充分条件与必要条件的应用，属于中档题．

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查基本不等式的应用，凑“积为定值”是关键，属于中档题．

将y=x−4+9x+1(x>−1)，转化为y=(x+1+9x+1)−5，再利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：∵x>−1，

∴x+1>0，

∴y=x−4+9x+1

=(x+1)+9x+1−5

≥2(x+1)·9x+1−5=1，

当且仅当x=2时取等号．

∴a=2，b=1，

∴a+b=3．

故选：C．

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了分段函数的化简，从而求分段函数的值域．

由a⊗b=b,(a≥b)a,(a<b)，化简函数f(x)=x⊗(2−x)，从而求值域．

【解答】

解：函数f(x)=x⊗(2−x)=x,x≤12−x,x>1，

则函数f(x)=x⊗(2−x)的值域为(−∞,1]．

故选：B．

9.【答案】C

【解析】解：∵y=f(x)和y=x都是奇函数，

∴af(x)+bx也为奇函数，

又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8，

∴af(x)+bx在(0,+∞)上有最大值6，

∴af(x)+bx在(−∞,0)上有最小值−6，

∴F(x)=af(x)+bx+2在(−∞,0)上有最小值−4，

故选：C．

由已知中f(x)和x都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F(x)−2=af(x)+bx也为奇函数，进而根据F(x)=af(x)+bx+2，在(0,+∞)上有最大值8，我们可得af(x)+bx在(0,+∞)上有最大值6，由奇函数的性质可得af(x)+bx在(−∞,0)上有最小值−6，进而得到F(x)=af(x)+bx+2在(−∞,0)上有最小值−4．

本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F(x)−2=af(x)+bx也为奇函数，是解答本题的关键．

10.【答案】D

【解析】解：∵f(x)=ex1+ex−12=ex−12(ex+1)，f(−x)=1−ex2(1+ex)=−f(x)，

∴f(x)为奇函数，

化f(x)=ex1+ex−12=12−1ex+1，

∵ex+1>1，∴0<1ex+1<1，则−12<12−1ex+1<12．

∴当f(x)∈(−12,0)时，[f(x)]=−1，[f(−x)]=0；

当f(x)∈(0,12)时，[f(x)]=0，[f(−x)]=−1；

当f(x)=0时，[f(x)]=[f(−x)]=0．

∴函数y=[f(x)]+[f(−x)]的值域是{−1,0}．

故选：D．

利用定义说明函数f(x)为奇函数，再把函数解析式变形，得到f(x)的范围，然后分类求解得答案．

本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．

11.【答案】9

【解析】解：原式=52+(32)3×13+5=52+32+5=9．

故答案为：9．

利用指数运算性质即可得出．

本题考查了指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12.【答案】−13

【解析】解：设g(x)=ax5−bx3+cx，则g(x)是奇函数，

∴g(3)=−g(−3)，

∵f(−3)=g(−3)−3=7，①f(3)=g(3)−3，②

①+②得，f(3)=−13，

故答案为：−13

根据解析式构造奇函数g(x)=ax5−bx3+cx，再由奇函数的关系进行整体代入求值．

本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，需要结合结合题意构造奇函数，再由奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．

13.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)

【解析】解：∵f(x)在R上是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上递减，

∴f(x)在(0,+∞)上递减，

由f(−2)=0，得f(−2)=−f(2)=0，

即f(2)=0，

由f(−0)=−f(0)，得f(0)=0，

作出f(x)的草图，如图所示：

由图象，得xf(x)<0⇔x>0f(x)<0或x<0f(x)>0，

解得x<−2或x>2，

∴xf(x)<0的解集为：(−∞,−2)∪(2,+∞)

故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)

易判断f(x)在(−∞,0)上的单调性及f(x)图象所过特殊点，作出f(x)的草图，根据图象可解不等式．

本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．

14.【答案】(3,2)∪(2,5)

【解析】解：∵f(x)是定义在(−1,1)上的偶函数

∴f(−x)=f(x)=f(|x|)

∵在(0,1)上增函数

∴−1<a−2<1−1<4−a2<1|a−2|<|4−a2

解得a∈(3,2)∪(2,5)

故答案为：(3,2)∪(2,5)

由f(x)是定义在(−1,1)上的偶函数，则有f(−x)=f(x)=f(|x|)，再由函数是(0,1)上增函数，利用单调性定义求解．

本题主要通过奇偶性来转化区间，利用单调性来求解参数的范围问题，特别是偶函数时，转化为f(|x|)，可避免讨论，同时在应用单调性时，一定要注意区间的限制．

15.【答案】[1,2]

【解析】【分析】

由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到2−a2≥0a−1≥02a−1>0，从而解该不等式组即可得出a的取值

考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴．

【解答】

解：f(x)在(−∞,+∞)内是增函数；

∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a满足：2−a2≥0a−1≥02a−1>0；

解得1≤a≤2；

∴a的取值范围为[1,2]．

故答案为：[1,2]．

16.【答案】①②④

【解析】【分析】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．

由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．

【解答】

解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f(0)=f(0)+f(0)+12，即f(0)=−12，故①正确；

取x=12，y=−12代入可得f(0)=f(12)+f(−12)+12，即−12=0+f(−12)+12，解得f(−12)=−1，

再令x=y=−12代入可得f(−1)=f(−12)+f(−12)+12=−2+12=−32，故②正确；

令y=−x代入可得−12=f(0)=f(x)+f(−x)+12，即f(x)+12+f(−x)+12=0，故f(x)+12为奇函数，④正确；

取y=−1代入可得f(x−1)=f(x)+f(−1)+12，即f(x−1)−f(x)=f(−1)+12=−1<0，即f(x−1)<f(x)，

故③f(x)为R上减函数，错误；

⑤错误，因为f(x)+1=f(x)+12+12，由③可知g(x)=f(x)+12为奇函数，故g(−x)+12−g(x)−12=−2g(x)不恒为0，

故函数f(x)+1不是偶函数．

故答案为：①②④

17.【答案】解：(1)集合A={x|14≤2x−1≤16}={x|−2≤x−1≤4}={x|−1≤x≤5}，

B={x|8x+3≥1}={x|8x+3−1≥0}={x|x−5x+3≤0}={x|−3<x≤5}；

则集合A∩B={x|−1≤x≤5}；

(2)集合C={x|m+1≤x≤2m−1}，

当C=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2，此时满足C⊆(A∩B)；

当C≠⌀时，由m+1≤2m−1m+1≥−12m−1≤5，解得2≤m≤3，此时满足C⊆(A∩B)；

综上知，实数m的取值范围是m≤3．

【解析】(1)化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B；

(2)根据题意讨论C=⌀和C≠⌀时，分别求出m的取值范围，再求并集即可．

本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．

18.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x+ax2+1为定义在区间(−1,1)上的奇函数，

则f(0)=a=0，即a=0，

此时f(x)=xx2+1为奇函数，符合题意；

故a=0；

(2)f(x)=xx2+1在(−1,1)上为增函数，

证明：设−1<x1<x2<1，

则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，

又由−1<x1<x2<1，

则(x1−x2)<0，1−x1x2>0，

则有f(x1)−f(x2)<0，故函数f(x)在(−1,1)上为增函数；

(3)根据题意，由(1)(2)的结论，f(x)为奇函数且在(−1,1)上为增函数，

则f(t−1)+f(t)<0⇒f(t−1)<−f(t)⇒f(t−1)<f(−t)⇒t−1<−t−1<t<1−1<t−1<1，

解可得：0<t<12，即t不等式的解集为(0,12).

【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，解可得a的值，即可得答案；

(2)根据题意，由作差法分析可得结论；

(3)根据题意，由函数的单调性以及奇偶性分析可得f(t−1)+f(t)<0⇒f(t−1)<−f(t)⇒f(t−1)<f(−t)⇒t−1<−t−1<t<1−1<t−1<1，解可得t的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于基础题．

19.【答案】解：(1)由函数f(x)=ax2+(b−2)x+3，f(1)=3，

则f(1)=a+b−2+3=3，得a+b=2，

∴1a+4b=12(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2ba⋅4ab)=92，

当且仅当ba=4ab时上式取等号，又a+b=2，

∴当且仅当a=23，b=43时，1a+4b的最小值是92．

(2)由函数f(x)=ax2+(b−2)x+3，f(1)=2，

则f(1)=a+b−2+3=2，得a+b=1，

由f(x)>2在(−1,1)上恒成立，则a(x2−x)>x−1在(−1,1)上恒成立，

∴ax<1在(−1,1)上恒成立，

①当x=0时，ax<1恒成立，

②当0<x<1时，a<1x在(0,1)上恒成立，∴a≤(1x)min，∴a≤1；

③当−1<x<0时，a>1x在(−1,