2023年广州中考数学模拟试卷05（学生版+解析版）

2023年广州中考数学模拟试卷05

（满分120分，时间120分钟）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.1-20211的相反数是（）

1

A.2021B.—C.-2021D.

20212021

2.下列代数式中，是分式的为（)

22

A.-B.2C.-XD.

3n3x—3

3.下列图形中，是轴对称图形，并且是中心对标图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知一次函数丫=丘-2,），的值随尤值的增大而减小，A（m2,〃）点在该一次函数的图象上，则n的取

值范围为（）

A.n>-2B.n<-2C.n>0D.-2<n<0

5.关于x的方程NN+x+l=0有实数根，则下列结论正确的是（）

A.当％=3时，方程的两根互为相反数B.当人=0时，方程的根是x=-l

C.若方程有实数根，则后0且D.若方程有实数根，则狂!

44

6.如图，是一水库大坝横断面的一部分,坝高/z=60m,迎水斜坡AB=100m,斜坡的坡角为。，则tan”的

值为（）

A

7.已知关于x的不等式组上X>3"_2）+5仅有三个整数解，则”的取值范围是（）

A.|<«<1B.|<«<1C.|<«<1D.a<l

8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到AAOE.若NBAC=85。，Z£=70°,且AO_L8C,则旋

转角的度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.85°

9.如图，AB为。。的切线，点A为切点，。8交。。于点C,点。在。。上，连接A。，CD,OA,若/AQC

=25°,则NABO的度数为（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

k

10.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形488的边A8交x轴于点E,反比例函数>=一（％>0,x>0）

x

的图象经过CO上的两点O,F.若OF=2CF,EO:OC=];3,平行四边形ABCZ）的面积为7,则%的值为

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

H.计算：[士万=（结果保留根号）.

12.如图，数轴上有三个点4,B,C,若点A,B表示的数互为相反数，且48=4,则点C表示的数是.

—L.~I——I——I——I——।——

ABC

13.己知/+2x-l=0,则代数式5-2^2-4x的值为.

14.若关于x的分式方程二三=一°+5的解为正数，则〃?的取值范围为_.

x-22-x

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形。AfiC中，04=3,0C=6,将AABC沿对角线AC翻折，使点5落

在8'处，4T与y轴交于点。，则点。的坐标为.

16.如图，△ABC中，ZBAC=nO°,A8=AC,点。为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE=1,

AB=26,ZDAE=60°,则OE的长为.

三、解答题（本大题共9小题，第17-18题每小题4分，第19-20题每小题6分，第21题8分，第22-23

题每小题10分，第24-25题每小题12分，共72分）

17.先化简，再求值：3（31）2-（2。+1）（2a-1）,其中a=6.

18.如图，AABC是等边三角形，D,E分别是BA,CB延长线上的点，且AD=BE.求证：AE=CD.

19x

9已知人口，人C=当一时，对式子（Ai）+C先化简'再求值.

20.“校园手机”现象越来越受到社会的关注，为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种

现象的态度（态度分为：4无所谓：B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不

完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

120♦120

100

80

60

40

20

7T-1-------►

OABC态度

图①图②

(1)此次抽样调查中，共调查了一名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为;

⑵将图①补充完整；

(3)根据抽样调查结果，请你估计该校2100名中学生家长中有名家长持反对态度；

(4)针对随机调查的情况，小李决定从九(1)班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长(分别记为甲、

乙、丙)中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选

中的概率.

21.某单位在疫情期间用6000元购进A、8两种口罩1100个，购买A种口罩与购买8种口罩的费用相同,

且A种口罩的单价是8种口罩单价的1.2倍；

(1)求A,8两种口罩的单价各是多少元？

(2)随着口罩供应量不断充足，A、B两种口罩的进价都下降了40%,若计划用不超过9000元的资金再次购

进A、8两种口罩共2800个，求A种口罩最多能购进多少个？

22.如图所示，在三角形A8C中，。是AC上的一点.

BC

(1)以AO为一边，在三角形ABC内求作/AOE,使NAOE=/8,OE交AB于点E(要求用尺规作图，保

留作图痕迹，不写作法)

(2)若AB=4,AD=\,BC=3,求DE的长.

23.如图，AB是。0的直径，点E是劣弧A。上一点，NPBD=NBED,且QE=G,BE平分/ABQ,BE

与AD交于点F.

(1)求证：BP是。。的切线；

⑵若tanNQBE=以，求E尸的长；

3

(3)延长QE,2A交于点C,若CA=A。，求③。的半径.

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=6x+46与x轴、》轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，且

ZABC=60°.

备用图

(1)点C的坐标为一；

(2)若动点尸从点A出发，沿4C向点C运动，同时动点。从点C出发，沿Cf8fA方向向点A运动,

动点户的运动速度是每秒1个单位长度，动点。的运动速度是每秒2个单位长度，设AAPQ的面积为S,点

P的运动时间为f秒，求S与f之间的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当反尸。的面积最大时，》轴上有一点M,则平面内是否存在一点N使得以A,Q,

M,N为顶点的四边形构成以AQ为边的菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.已知，矩形A8C力中，AB=5,AO=3,点E是射线BC上一动点，将矩形ABC。先沿直线4E翻折，

点8落在点F处，展开后再将矩形A8CQ沿直线BF翻折，点E落在点G处，再将图形展开，连接EF、

FG、GB,得到四边形8EFG.

(1)如图1,若点尸恰好落在CO边上，求线段BE的长;

(2)如图2,若8E=1,直接写出点尸到BC边的距离;

(3)若AACG的面积为3,直接写出四边形8EFG的面积.

2023年广州中考数学模拟试卷05

（满分120分，时间12（）分钟）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.1-2021|的相反数是（）

1

C.-2021D.-------

2021

【答案】C

【分析】

首先求出1-20211,再求出相反数即可.

【解析】

解：|-2021|=2021,

2021的相反数是-2021,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了实数的基础知识，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键.

2.下列代数式中，是分式的为（)

XV22

A.-B.一C.—XD.-----

37T3x-3

【答案】D

【分析】

根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，判定即可.

【解析】

根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C选中的式子，分母都要是常数，不含有字母，所以都

不符合题意，故排除；。中分母含有字母，满足要求，符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查分式的概念，掌握分式的分母中要含有字母是解题的关键.

3.下列图形中，是轴对称图形，并且是中心对标图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

解：①是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①不合题意；

②是中心对称图形，不是轴对称图形，故②不合题意；

③是中心对称图形，也是轴对称图形，故③符合题意；

④不是轴对称图形，也不是中心对标图形，故④不合题意；

所以既是轴对称图形又是中心对称图形的只有③，共1个.

故选:A.

4.已知一次函数尸丘-2,的值随x值的增大而减小，A（nr,〃）点在该一次函数的图象上，则〃的取

值范围为（)

A.n>—2B.n<-2C.H>0D.-2<n<0

【答案】B

【分析】

由用之0根据一次函数的增减性即可得出结论

【解析】

解：•••一次函数>=丘-2,y的值随x值的增大而减小，且疗20

:.knr-2<-2，

-'-fl,-2,

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，由420根据y的值随x值的增大而减小判断函数值大小是解题的关键.

5.关于x的方程N/+(2k—1)x+l=0有实数根，则下列结论正确的是()

A.当％=/时，方程的两根互为相反数B.当％=0时，方程的根是、=一1

C.若方程有实数根，则近0且后!D.若方程有实数根，则心!

44

【答案】D

【分析】

由于二次项前面的系数为字母系数且方程有实数根，所以应分两种情况去求&的取值范围，再结合选项作出

正确的判断即可.

【解析】

当心0时,则此方程为-x+l=0,解得ml,故选项B错误;

当麻。时，则方程为一元二次方程，因为方程有实数根,

：.A=b2-4ac=(2k-l)2-4k2=-4k+l>()

综上可得％的取值范围是

4

故选项A错误，选项C错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，需分类讨论.

6.如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高/z=60m,迎水斜坡M=100m,斜坡的坡角为“，则tana的

值为（）

【答案】B

【分析】

直接利用勾股定理得出BC,再利用锐角三角函数关系得出答案.

【解析】

解：过点A作AC_L8£>,垂足为C,

A

♦.•坝高/?=60m,迎水斜坡4B=100m,

BC=AB1-AC2=A/1002-602=80(m),

603

则tana.=「

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键.

x>2a-3

7.已知关于x的不等式组ho3（L2）+5仅有三个整数解，则。的取值范围是（）

A.<1B.-r<iz<lC.<a41D.a<l

【答案】A

【分析】

根据解一元一次不等式组的方法，可以求得不等式组的解集，再根据关于x的不等式组仅有三个整数解，即

可得到关于“的不等式组，从而可以求得。的取值范围.

【解析】

解：解不等式组匕>x>3（2>a2-3）+5得,

2a-3<x<l,

x>2a—3

由关于X的不等式组-〜一、「仅有三个整数解得，整数解为1,0,-1,

-2<2a-3<-1,

解得

故选：A.

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组

的方法，根据不等式组有三个整数解列出不等式.

8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到若NBAC=85。，Z£=70°,且则旋转

角的度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.85°

【答案】A

【分析】

首先根据旋转的性质求出NB的度数，再确定旋转角，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案.

【解析】

由旋转得NC=/E=70。，是旋转角.

在△4BC中，/B=180°-/BAC-NC=25°.

所以ZBAD=90°-ZB=65°.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了旋转得性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，求出NB的度数是解题的关键.

9.如图，AB为0。的切线，点4为切点，交。。于点C,点。在上，连接AO,CD,0A,若/AOC

=25°,则ZA8。的度数为（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】

根据圆周角和圆心角的关系，可以得到NAOC的度数，然后根据A8为。0的切线和直角三角形的两个锐角

互余，即可求得NABO的度数.

【解析】

解：VAADC=2SQ,

.../AOC=50”,

为。。的切线，点4为切点，

二/OAB=90°,

AZABO=ZOAB-ZAOC=90°-50°=40°,

故选：B.

【点睛】

本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边交X轴于点E,反比例函数y=-Ck>0,x>0）

X

的图象经过CO上的两点£>,F.若OF=2CF,EO-.OC=\:3,平行四边形A8CZ）的面积为7,则上的值为

（）

【答案】A

【分析】

kk

过点力作OGLv轴于点G,过点/作轴于点H,连接AC,设。（修,一）,尸（4,一），证明AFCHsAfjcG,

X"x广

得与=3/，证明得出”=午/，通过计算AA3C的面积可得结论.

【解析】

解：过点。作。轴于点G,过点尸作轴于点”，连接AC,如图,

丁点。，点尸均在反比例函数y="(女〉0,%>0)的图象上,

X

/.设F(Xf,—)

XDXF

・.・ZDGC=/FHC=90°,4DCG=Z.FCH

：.AFCH^ADCG

.FHCHCF

^~DG~~CG~~CD

DF=2CF

：.CD=DF+CF=3CF

FHCHCF1

DGCG3CF3

k

FHxx1

而=,F=fn=钎CG=3CH

UKJ(XpJ

XD

/.OG=xDfOH=xF=3XD

/.GH=OH—OG=3XD—XD=2XD

又GH=CG-CH=3CH-CH=2CH

CH—xD

/.OC=OG+GH+CH=xD+2XD+xD=4xD

•・・EO;OC=］：3

114

/.EO=—OC=—x4XD=—xD

.”_16

・・CE=—XD

设A(4,yA)(yA>0),B(XB，yB)(yB<0)

S1E/.161..161k_8,

/.SSBC=-CE-(^-yB)=—xDx-(yD-yc)=—xDx-•一=-k

23232xD3

,17

乂・=万S.CD=

-8心7

32

解得，Z=W21

16

故选:A.

【点睛】

此题考查了反比例函数与几何的新朋股份侧头，以及相似三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解

此题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.计算：忑=耳=(结果保留根号).

【答案】芯+也

【分析】

根据平方差公式，把分子分母同时乘以石+石，将分母有理化即可.

【解析】

解：高二建科m+G

故答案为：75+73.

【点睛】

本题考查分母有理化.找出分母的有理化因式，把分子分母同时乘以分母的有理化因式是解题的关键.

12.如图，数轴上有三个点A,B,C,若点A,B表示的数互为相反数，且AB=4,则点C表示的数是

—I——।——।——।-----1——।——

ABC

【答案】4

【分析】

根据点A,B表示的数互为相反数，确定原点的位置，进而可得C点表示的数.

【解析】

VA,B表示的数互为相反数，且AB=4

表示-2,B表示2,

C表示4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数的意义，数形结合是解题的关键.

13.已知R+2X-1=0,则代数式5-2x2-4x的值为.

【答案】3

【分析】

先将/+〃-1=0变形为/+2%=1,再将5-变形为5-2(/+2x),然后整体代入计算即可.

【解析】

解：-：^+2x-l=0,

.".X2+2X-1,

，5-2.r2-4x=5-2(x2+2Aj=5-2xl=3,

故答案为：3.

【点睛】

本题考查代数式求值.熟练掌握代数式恒等变形和整体代入是解题的关键.

14.若关于x的分式方程当=4+5的解为正数，则〃?的取值范围为

x-22-x

【答案】帆＞T0且加工-6

【分析】

先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到用的取值范围.

【解析】

3%=-777+5(x-2),

3x=-nz+5x-10,

3x-5x=-m-lQf

-2x=-m-10,

m+\0

,V

2

Vx-2^0,

.•.工工2,

.w+10.

2

/.〃?工-6.

•.•方程的解为正数,

/./«>-10.

...小的取值范围为："2>-10且"K-6.

故答案为：，">-10且，"W-6.

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须

检验.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe中，0A=3,0C=6,将AABC沿对角线AC翻折，使点8落

在B'处,A9与>,轴交于点£),则点。的坐标为.

9

【答案】(0,--)

【分析】

设OD=m,则CD=6r”，由题意可以求证△AO*Z\CBZ>,从而得到A£)=CZ)=6-〃2,再根据勾股定

理即可求解.

【解析】

解：由题意可知：OA=BC=B'C=3,OC=AB=6,ZB'=ZB=ZAOD=90°

设0。=/”,则C£>=6—e，

又,:ZB'DC=ZADO

：.^AOD^CB'D(AAS)

AD=CD=6-m

在RfZXAOO中，AD2=AO2+0D2,即(6-m)?=7^+32

9

解得：m=-

4

9

.•.点。的坐标为(0,-J

9

故答案为(0,--)

【点睛】

此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关

基本性质是解题的关键.

16.如图，MBC中，NBAC=120。，AB=AC,点。为BC边上的点，点E为线段C。上一点，且CE=1,

AB=2网,ZDAE=60°,则OE的长为_________.

BDEC

7

【答案】y

【分析】

利用含30。角的直角三角形的性质及图形的相似可求OE的长.

【解析】

「△ABC中，NB4c=120。，AB=AC.

/B=NC=30。.

在RRCEG中，ZC=30°.

；・EG=gcE=g,CG=—.

222

・・・AG=2石-2=巫.

22

9：AFLBC.

：.ZAFC=90°.

.\AF=^AC=y/3.

9：ZDAE=6Q°=ZFAC,

：.ZDAF=ZEAG.

•/ZAFD=ZAGE=90°.

：.AADF^AAGE.

6_DF

AFDF

・-即3币-丁

**AG~~EGJ

F2

：.DF=-.

3

由勾股定理得：AE?=AG2^EG2=AF\EF2.

:.EP=（强）2+（；）2_（73）2=4.

22

：.EF=2.

DE=2+-=-.

33

7

故答案为：—.

【点睛】

本题考查含30。角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键.

三、解答题(本大题共9小题，第17-18题每小题4分，第19-20题每小题6分，第21题8分，第22-23

题每小题10分，第24-25题每小题12分，共72分)

17.先化筒，再求值：3(。+1)2-(2a+l)(2a-1),其中。=石.

【答案】-cr+6ct+4,6>/3+1.

【分析】

先利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并，最后代入字母的值计算即可.

【解析】

解：3(a+1)2-(2a+l)(2a-1),

=3(q-+2a+1)-(4q--1),

=34~+6。+3—4a~+1,

=-a2+6a+4，

当a=5/3时，

原式=-（同+6、6+4=6石+1.

【点睛】

考查整式的化简求值，二次根式混合计算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.

18.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是BA,CB延长线上的点，且AD=BE.求证：AE=CD.

【答案】证明见解析

【分析】

通过证明/\ABE丝^CAD即可得证.

【解析】

解：；AABC是等边三角形，D,E分别是BA,CB延长线上的点,

,AB=CA,Z4BE=ZC4£>=120°,

在Zk/WE和AC4D中，

AB=CA

-ZABE=^CAD,

BE=AD

：.AABE乌AC4D,

:.AE=CD.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键.

19r

19.已知A=-^,B=^—fC=-当工=3时，对式子(A—8)+C先化简，再求值.

x-2x-4x+2

【答案】」二，1

x-2

【分析】

先将A、B、C代入(A-8)+C中，利用分式的混合运算法则、平方差公式进行化简，最后将x=3代入计算

求解.

【解析】

x+2x

—----------------------2-------------

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)x+2

_XX

(x+2)(x-2)x+2

=------x-----x-x--+-2

(x+2)(x-2)x

1

=x^2

当x=3时，原式=」不=1

3-2

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，平方差公式，先利用分式的混合运算法则进行化简是解答关键.

20."校园手机"现象越来越受到社会的关注，为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种

现象的态度(态度分为：4无所谓；B：反对；C：赞成)，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不

完整)，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

⑴此次抽样调查中，共调查了一名中学生家长，图②中表示家长“赞成"的圆心角的度数为;

⑵将图①补充完整；

⑶根据抽样调查结果，请你估计该校2100名中学生家长中有名家长持反对态度；

⑷针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长（分别记为甲、

乙、丙）中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选

中的概率.

【答案】⑴200,54°

⑵见解析

⑶13080

【分析】

（1）根据A有人数50名，占25%即可得此次抽样调查的人数，根据扇形统计图即可得C占的百分比为15。，

用150x360°即可得：

（2）用此次抽样调查的人数乘C所占的百分比即可得；

（3）该校21800名中学家长乘反对态度的60%,即可得;

（4）把小华，小亮和小丁的这三位同学的家长分别记为A、8、C,画出树状图得共有6种等可能的结果,

小亮和小丁的家长被同时选中的结果有2个，即可得.

（1）

解：有人数50名，占25%,

二50+25%=200（名），

占的百分比为：1-25%-60%=15%,

•••图②中表示"赞成"的圆心角的度数为：15%x3600=54。,

故答案为:200,54°.

（2）

解：200xl5%=30（名），将图①补充完整如下：

⑶

解：21800x60%=130800（名），

则该校21800名中学家长中有13080名家长持反对态度,

故答案为：13080.

(4)

解：把小华，小亮和小丁的这三位同学的家长分别记为A、8、C,画树状图如下:

开始

共有6种等可能的结果，小亮和小丁的家长被同时选中的结果有2个，

21

二小亮和小丁的家长被同时选中的概率为：-=

63

【点睛】

本题考查了条形统计图，扇形统计图，解题的关键是掌握这些知识点.

21.某单位在疫情期间用6000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩与购买B种口罩的费用相同，

且A种口罩的单价是B种口罩单价的1.2倍；

⑴求A,8两种口罩的单价各是多少元？

⑵随着口罩供应量不断充足，A、B两种口罩的进价都下降了40%,若计划用不超过9000元的资金再次购

进A、5两种口罩共2800个，求A种口罩最多能购进多少个？

【答案】⑴A种口罩单价为6元/个，B种口罩单价为5元/个

(2)A种口罩最多能购进1000个

【分析】

annnannn

(1)设B种口罩的单价为x元/个，则A种口罩单价为1.2x元/个，由题意得：出+粤=1100,计算求

x1.2%

出符合要求的解即可；

(2)设购进A种口罩加个，则购进8种口罩(2800-加)个，由题意得：

6x(1-40%)/??+5x(1-40%)(2800-m)<9000,计算求解即可.

(1)

解：设8种口罩的单价为x元/个，则A种口罩单价为1.2x元/个

30003000

由题意得:----1----=-1100

x1.2%

解得：x=5

经检验，x=5是原方程的解，且符合题意

1,2x-6

.•.4种口罩单价为6元/个，B种口罩单价为5元/个.

⑵

解：设购进A种口罩用个，则购进B种口罩（2800-⑸个

由题意得：6x(1-40%)〃?+5x(1-40%)(2800-ni)<9000

解得：〃4,1000

A种口罩最多能购进1000个.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用.解题的关键在于根据题意列等式或不等式.

22.如图所示，在三角形ABC中，。是4C上的一点.

⑴以A。为一边，在三角形ABC内求作/AOE,使OE交A8于点E（要求用尺规作图，保留

作图痕迹，不写作法）

(2)若A8=4,AD=1,BC=3,求OE的长.

【答案】(1)见解析

呜

【分析】

(1)根据题意在三角形A8C内作NAOE=/8；

(2)根据(1)的结论可得根据ND4E=/84C,证明△AOEs/vlBC,列出比例式，代入

数值进行计算求解即可.

(1)

如图，/AOE为所作；

(2)

'：ZDAE=ZBAC,ZADE=ZB,

：.XADES/\ABC,

...”=£即三J,

BCAB34

【点睛】

本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

23.如图，A8是。。的直径，点E是劣弧AO上一点，ZPBD=ZBED,且DE=有,BE平分/ABO,BE

与AQ交于点凡

⑴求证：3尸是。。的切线；

(2)若tan/OBE=/,求EF的长；

3

⑶延长。E,BA交于点C,若C4=4O,求。。的半径.

【答案】⑴见解析

⑶指

【分析】

(1)根据圆周角定理得到NA£>B=90。，求得ND4B+/ABO=90。，等量代换得到ND4B=NP3£),求得

ZABP=90°,于是得到结论；

(2)连接AE,由圆周角定理得到乙4仍=90。，根据角平分线的定义得到/ABE=/QBE,根据三角函数

的定义即可得到结论；

(3)连接0E,根据等腰三角形的性质得到/4BE=N0EB,等量代换得到ND8E=N0EB,可得OE//BD,

利用第9个基本事实可得为=紫，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.

DEOB

⑴

证明：・・・48是。。的直径，

JZADB=90°f

：.ZDAB+ZABD=90°t

■:/BED=NDAB,NPBD=NBED,

：./DAB=NPBD,

・・・NP3O+NAB£>=90。，

JZABP=90°,

：.AB.LPBf

・・・8P是。。的切线；

⑵

解：连接AE,

TAB是直径

；・ZAEB=90°,

・.,5七平分NA5Q,

NABE=/DBE,

：・AE=DE，

:・AE=DE=+，

：.ZABE=ZDBE=ZDAEf

:.tan/DBE=tan/ABE=tanZDAE=—=—

EA3

,b丁

・・.EF=在；

3

⑶

解:连接OE,

,/OE=OB,

：.NABE=NOEB,

*/NABE=NDBE,

：.ZDBE=ZOEBf

:.OE//BD

.CEOC

••,

DEOB

VCAMO,

设CA=AO=BO=Rf

.CE_2R-

DER

CE

即于2,

/.CE=2V3,

:・DC=CE+DE=36

VZADC=ZABEfZC=ZC,

:./\CAD^/\CEB,

.CDAC

^~CB~~CE9

.3GH

"1F=2?3>

/.R=46,

.••。0的半径为指.

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用三角函

数解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=J£+46与x轴、》轴分别交于A、8两点，点C在x轴上，且

ZABC=60°.

备用图

（1）点C的坐标为

（2）若动点P从点A出发，沿AC向点C运动，同时动点。从点C出发，沿CfB-A方向向点A运动,

动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点。的运动速度是每秒2个单位长度，设AAPQ的面积为S,点

P的运动时间为f秒，求S与f之间的函数关系式，并写出自变量f的取值范围;

（3）在（2）的条件下，当AAP。的面积最大时，旷轴上有一点则平面内是否存在一点N使得以A,Q,

M,N为顶点的四边形构成以AQ为边的菱形？若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

—r2(0^i)4)

，2；(3)存在，点N的坐标为(4,0)或(T,-8)或(T,8).

【答案】(1)(4,0)；(2)S=

--t2+4>/3t{4<t„8)

2

【分析】

（1）分另U求解,=国+4石与x轴，y轴的交点坐标，再求解/BAO=60。，证明AA3c是等边三角形，从

而可得C的坐标；

（2）分两种情况讨论，当04Y4,44Y8,画出图形，再作出AP上的高，利用锐角三角函数求解AP上的

高，利用三角形的面积公式可得答案，

（3）由N的位置分三种情况讨论，当MC重合，N在第二，三象限，再画出图形，利用菱形的性质与判

定即可得到答案.

【解析】

解：(1)对于y=6x+46，

令丫=瓜+46=0,解得x=T,

令x=0,则产4#,

故点A、B的坐标分别为(-4,0)、(0,46),

贝lJtanZR4O=短=石，故N8AO=60°,

4

:.ZAB()=3O°,则43=2AO=8,

vZABC=60°,故AABC为边长为8的等边三角形，

则4c=8,AO=OC=4,

故点C(4,0),

故答案为：(4,0)；

(2)①当点。在BC上运动时，即04f44,f秒时，AP=t,CQ=2t,

过点。作轴于点”，则QH=QC-sin/4C8=2f.sin6()o=疯，

贝1]5=44尸.0//=二八后=且产，

222

当f=4时，函数取得最大值为86，

②当点。在AB上运动时，即44/48,f秒时，AP=t,

，A0=16-2f,

过点。作2〃，》轴于点”，则。H=4Q•sinNBAC=(16-2r)•sin60。=-瓜,

同理可得：5=i-r-(8x/3-73r)=--r2+4x/3r,

该抛物线为开口向下的抛物线，对称轴为r=4,当f>4时，S随x的增大而减小,

故点。在点B时，AAPQ的面积最大,

当f=4时，函数取得最大值为8代.

—r2(O4)

即S=.n

--r24-45/3r(4<r„8)

2

(3)存在以AQ为边的菱形，理由如下:

由(2)知，点。在点8时，AAPQ的面积最大,

此时f=4,点Q(0,4百),而点A(-4,0),

如图，当MC重合，Q,M关于x轴对称时，满足条件,

.•.N（4,0）.

如图，当N在第三象限时，由菱形的性质可得：AB=BM=AN=&ANHBM,

4,—8).

如图，当N在第二象限时，由菱形的性质可得:

AB=BM=AN=8,AN//BM,

.-.N(-4,8).

综上，点N的坐标为(4,0)或(-4,-8)或(Y,8).

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角

三角函数的应用，注意数形结合，灵活运用以上知识解题是解题的关键.

25.己知，矩形ABCD中，AB=5,AO=3,点E是射线8c上一动点，将矩形ABC。先沿直线AE翻折，

点8落在点尸处，展开后再将矩形48C。沿直线翻折，点E落在点G处，再将图形展开，连接EF、FG、

GB,得到四边形BEFG.

(1)如图1,若点尸恰好落在C£>边上，求线段BE的长；

(2)如图2,若BE=1,直接写出点尸到BC边的距离；

⑶若△AOG的面积为3,直接写出四边形BEFG的面积.

【答案】⑴

(2)—

13

155/21.^35721

⑶-----或------

73

【分析】

(1)连接AF,如图1所示，由矩形，翻折的性质可知AF=AB=5,FE=BE,勾股定理得DF=4AF2—AZ)?

求出。尸的值，在&△(;£尸中，由勾股定理得：CE2+C产=尸〃，计算求解即可；

(2)连接AF,过点F作MV_LBC于N,交A。于M,如图2所示，则MN_LA£>,AM=BN,NAFM+/FAM

=90°,由翻折的性质得：AF=AB=5,FE=BE=1,ZAFE=ZABE=30°,有NFAM=NEFN,证明△AM尸