第九章第部分弯矩分配法

第九章第部分弯矩分配法第1页，共30页，2023年，2月20日，星期三Contents概述弯矩分配法剪力分配法超静定结构受力状态的概念分析超静定结构的影响线及其应用2023/5/3第2页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3概述什么叫超静定结构的实用计算方法？超静定结构的计算以20世纪50年代（计算机的出现）作为分水岭划分为两个阶段。

第一类（渐近法）：利用相关物理量之间内在的数学关系，运用逐次计算逼近的方法求解。

该方法属于数学简化方法，如弯矩分配法、叠代法等。结构分析技术手段：手算技术要求：计算尽可能简化结构分析技术手段：电算技术要求：结果尽可能精确1940s~1950s计算机的发明超静定结构实用计算方法主要是指用于手算的超静定结构分析方法。

其简化的主要目的是避免求解大型联立方程组。根据简化方法的不同，超静定结构实用计算方法主要有以下两类：

第二类（近似法）：通过忽略影响结构内力的某些次要因素，对计算模型采取近似处理，从而达到简化

分析的目的。

该方法属于物理简化方法，如剪力分配法、分层法等。关于超静定结构的实用计算方法，本章主要介绍弯矩分配法和剪力分配法两种。在计算机应用日益广泛的今天，实用计算方法对理解和强化结构概念仍然具有非常重要的价值和作用。第3页，共30页，2023年，2月20日，星期三教材中所谓的“概念分析”2023/5/3概述什么叫概念分析？结构“概念设计”和“概念分析”是现代结构设计思想的一个重要理念，一代宗师林同炎先生的《结构概念与体系》是这一理念的代表作，该书既不教你如何使用计算机，也不教你如何画图，更不教你怎样做配筋计算，但可以告诉你做结构工程师的最基本知识—结构概念，所以该书被尊称为结构界的“红宝书”。现行的结构设计理论与计算理论存在许多缺陷或不可计算性，比如混凝土结构设计中，内力计算是基于弹性理论的计算方法，而截面设计却是基于塑性理论的极限状态设计方法，这一矛盾使计算结果与结构的实际受力状态不尽一致，为了弥补这类设计计算理论的缺陷，或者实现对实际存在的大量无法计算的结构构件的设计，这就需要通过优秀的概念设计与结构措施来满足结构设计的目的。结构概念的重要性主要体现在以下三个方面：电算结果的高精度特点，往往给结构工程技术人员带来对结构工作性能的误解，结构工程师只有加强结构概念的培养，才能比较客观、真实地理解结构的整体工作性能。

结构方案设计阶段，设计过程通常是不能借助于计算机来实现的。这就需要结构工程师必须熟练而准确地综合运用结构概念，选择最优的的结构方案。基本概念与方法内力和变形定量分析内力和变形定性分析第4页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法弯矩分配法的历史背景求解超静定结构的力法是19世纪末建立的，之后到20世纪初，本笛克森（AxelBendixen）在1914年提出了位移法。由于人工求解大型线性联立方程组困难，通常其人工求解時間与未知量的数目成三次方的比例递增，故早期超静定结构分析仅限于简单的桁架和刚架，或跨数不多的连续梁。1930年美國伊利诺大学的HardyCross教授发明了弯矩分配法，一时突破了求解高阶联立方程组的瓶颈。由于其收敛速度快，运算量少，顿时成为当时结构分析的不二法宝，结构分析进入了一个斩新而实用的阶段，从此，弯矩分配法独領结构分析风骚五十年。在建筑工程英文专用词汇中，弯矩分配法又称为hardycrossmethod。弯矩分配法后来引出了应用较广的松弛法，最后导致了有限元法的建立。

对弯矩分配法作出重要贡献的学者还有：

林同炎（T.Y.LIN）：1933年，以《直接弯矩分配法》发表论文获得美国加州大学伯克利分校土木工程硕士学位，该论文引起学术界及工程界热烈的讨论，他所阐述的方法被命名为“林氏法”而广泛应用。其方法对H.Cross的逐次渐近法进行了改进。德列斯（CharlesDerleth）：最早以弯矩分配法分析桥塔大型结构，代替原设计需数千人时的分析工作。（林同炎就读伯克利期间，

德氏是伯克利分校工学院院长，时任金门大桥顾问）第5页，共30页，2023年，2月20日，星期三弯矩分配法弯矩分配法的本质及其适用范围弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法的适用范围：

单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。弯矩分配法的基本概念以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为，杆长均为，不计杆件轴向变形。根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。只有一个位移法未知量—A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。ABCD原结构ABCD(a)状态ABCD(b)状态(a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移——固定状态(b)状态：只发生结点位移，无外荷载——放松状态相当于原结构“先固定、后放松”第6页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。ABCD原结构ABCD(a)固定状态ABCD(b)放松状态固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。

结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。

第7页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。ABCD原结构ABCD(a)固定状态ABCD(b)放松状态放松状态内力分析放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度，

记为。转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：第8页，共30页，2023年，2月20日，星期三弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。2023/5/3弯矩分配法ABCD(b)放松状态放松状态内力分析传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：放松状态内力（分配系数）AA结点力矩A结点力矩平衡方程：而，所以，得，从而，称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即。Why?物理含义：结点力矩平衡第9页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法ABCD原结构ABCD(a)固定状态ABCD(b)放松状态计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：

远端传递力矩：

杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩第10页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法ABCD原结构计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：

远端传递力矩：

杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩弯矩分配法通常列表计算结点杆端BACDBAABADACCADA分配传递备注分配力矩下划线，以示与传递力矩区分第11页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法ABCD原结构弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点杆端BACDBAABADACCADA分配传递备注ABCDM图(xql2)施加约束(固定)解除约束(放松)注意问题：弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。结点不平衡力矩必须反号后才能进行分配和传递。弯矩分配法计算步骤：计算各杆的分配系数和传递系数。计算荷载作用下的固端弯矩。将结点不平衡力矩反号后，进行力矩分配和传递。按叠加原理计算最终杆端弯矩。第12页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解】⑴计算分配系数：ABDC杆端BAABADACCADA结点BACD分配传递⑵计算固端弯矩：ABDCM图(kNm)4第13页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例2】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。分配传递【解】ABC只有B结点1个分配单元。ABCM图(kNm)⑴单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？答：是精确解。⑵如何通过弯矩分配过程计算B截面的转角？答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。第14页，共30页，2023年，2月20日，星期三C端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故。2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例3】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。DA结点杆端BACDBAABADACCA分配传递⑴AD杆件的处理：ABCDD端的链杆只产生轴力，故。⑵AC杆件的处理：（M图略）第15页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例4】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。⑴几个分配单元？2个或1个。法一：B结点和C结点2个分配单元。(多结点弯矩分配法后续介绍)法二：B结点1个分配单元。（CD弯矩静定，原结构可简化）ABCDABC弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，以减少计算工作量。分配传递⑵B结点的集中外力矩如何处理？可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，而作用在结点上的集中力矩无需改变符号直接参与分配。ABCB点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为

。反号后，即作为结点分配力矩。B结点分配力矩为41－20＝21（M图略）第16页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例5】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。ABCDCB结点杆端ABDCABBABCBDDB分配传递B分配单元的分配系数如何计算？（M图略）AB杆上无荷载，不产生固端弯矩第17页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例6】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？分配传递（M图略）ABC根据转动刚度的定义，和分别表示B发生单位转角时BA和BC的杆端弯矩。ABC时变形ABC时弯矩第18页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法单结点弯矩分配法【例6】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。错误。因为MDA+MEC≠M(D、E截面剪力对B点也产生矩)，故结点力矩M不能向D、E两点分配。ABC时变形ABC时弯矩思考题：将结点力矩M向刚域两侧D和E点分配，计算过程如下，是否正确？为什么？ABCDE第19页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法多结点弯矩分配法【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB固定状态固端弯矩结点不平衡力弯矩ACDB放松状态两个分配单元B和C结点转角是耦合的，如同时放松，需建立并求解联立方程组。为了避免求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。①放松C(B保持锁定状态)此时，C结点力矩平衡，B结点不平衡力矩为-5kNm②锁住C，放松B此时，B结点力矩平衡，C结点不平衡力矩为1.25kNm完成一轮分配由于分配系数和传递系数不大于1且不可能全为1，故，经过弯矩分配和传递后，结点不平衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，可使结构受力和变形逐步接近实际状态。第20页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法多结点弯矩分配法【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB上述计算过程一般通过列表进行（固定状态）分配与传递（锁B放C）（锁C放B）第1轮分配（锁B放C）（锁C放B）第2轮分配（锁B放C）（锁C放B）第3轮分配多结点弯矩分配法是一种渐近法，计算结果为近似解。为了使计算收敛速度快，通常先从不平衡力矩较大的分配单元开始分配。终止弯矩分配的条件一般有两种：a）明确分配轮次。如：要求完成两轮分配，则不管计算误差多大，两轮分配完成后即可终止计算。b）明确计算精度。如：计算要求保留到小数点后两位，则应计算至分配弯矩或传递弯矩小于0.01。注意最后一个轮次分配与传递需同时完成，不可以只分配不传递。ACDBM图(kNm)第21页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法多结点弯矩分配法【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB（固定状态）分配与传递（锁B放C）（锁C放B）（锁B放C）（锁C放B）（锁B放C）（锁C放B）思考题一：如何通过计算过程求C结点转角？ACDBM图(kNm)思考题二：B支座反力为多少？BBC受力对称剪力为荷载的一半第22页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法多结点弯矩分配法【例2】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。(只分配两轮)分配与传递（锁C放B、D）（锁B、D放C）ACBDE本结构三个分配单元：B、C、D锁C后，B、D相互之间无影响，故，可同时放松第1轮（锁C放B、D）（锁B、D放C）第2轮ACBDEM图(kNm)第23页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法多结点弯矩分配法

【例3】试用弯矩分配法作算图示刚架的弯矩图。已知材料弹模

，

梁，柱，A支座下沉2cm，D支座下沉8cm。要求计算结果保留到小数点后两位。BEACD分配与传递结点杆端ABCABBACBBCCDCEDEDCEC【解】（M图略）弯矩分配法只适用于结点无线位移的结构。当支座移动时，结点是有线位移的，为什么还可以直接用弯矩分配法计算？E处少了一根水平链杆第24页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法弯矩分配法应用拓展弯矩分配法主要适用于无结点线位移的超静定结构，因为有结点线位移时，杆件的转动刚度和传递系数一般难以确定。对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。无剪力分配法有结点线位移，而且结点线位移必须作为位移法基本未知量，此时，弯矩分配法可以而且必须与位移法联合应用。有结点线位移，但有杆端相对侧移的杆件均为剪力静定杆，则结点线位移可以不作为位移法的基本未知量，此时，可以利用有侧移杆件剪力静定的特点，求得有线位移情况下的转动刚度和传递系数，所以弯矩分配法仍然可以适用。

该方法是钱令希院士（1916.7.16—）1951年在《超静定结构学》一书中提出的，因为该法需要对有侧移剪力静定杆的转动刚度和传递系数在常规弯矩分配法的基础上进行调整，所以时称为“调整分配法”。后人称该法为“无剪力分配法”。适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；

剪力静不定的杆件无相对侧移。例：柱子：有相对侧移，但剪力静定；横梁：

剪力未知，但两端无相对侧移。第25页，共30页，2023年，2月20日，星期三2023/5/3弯矩分配法弯矩分配法应用拓展无剪力分配法剪力静定杆考虑两端相对侧移后的转动刚度、传递系数和固端弯矩：对mn柱，由位移法知：根据静力