课件自动控制原理第5章nyquist stability criterion

评判一个控制系统，首先要看它是否稳定。

Routh判据、根轨迹法可判别系统是否稳定及稳定的相对程度。

Routh判据需要系统的精确数学模型，根轨迹法也要知道系统开环零、极点分布。

1932年H.Nyquist提出了利用系统开环频率特性判别系统稳定的方法。至今仍是研究系统稳定及相对稳定性的有效方法，称为奈魁斯特稳定判据TheNyquistCriterion。 奈魁斯特稳定判据在实际中得到了广泛地应用。奈魁斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中的映射定理mapping

theorem(

Cauchy‘stheorem)，又称幅角定理principleoftheargument。该定理基于复平面的一种围线映射contourmapping。5.4频域稳定性判据

frequency-domainstabilitycriterion5.4.1映射定理设s为复数变量s=σ+jω

，F(s)=u+jv是s的有理分式rationalfraction函数，设其形式为假设F(s)是s的单值解析函数singlevaluedanalyticfunction，则对于s平面上的任一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点pointofmapping

。如果在s平面画一条封闭曲线acontourΓs

，并使其不通过F(s)的任一奇点singularity，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线

mapping

contour

ΓF

。复变函数F(s)的幅角可表示为:

假定在s平面上的封闭曲线Γs包围了F(s)的一个零点(-z1)，而其它零、极点都位于封闭曲线之外，则当变点s沿着s平面上的封闭曲线Γs顺时针方向移动一周时，向量(s+z1)的幅角增量Δ∠(s+z1)=-2π

弧度，而其它各向量的幅角增量为零。这时，函数F(s)幅角的增量为

这意味着在F(s)平面上的映射曲线ΓF沿顺时针方向围绕坐标原点变化一周，即F(s)的幅角(绕原点)变化了-2π

弧度。同理，若s平面上的封闭曲线Γs包围F(s)的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕坐标原点变化Z周。推论：若s平面上的封闭曲线Γs包围F(s)的P个极点，则当s沿着s平面上的封闭曲线Γs顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕坐标原点变化P周。结论(映射定理

mapping

theorem

)

：如果s平面上的封闭曲线Γs以顺时针方向包围函数F(s)的Z个零点和P个极点，则F(s)平面上的映射曲线ΓF相应地包围坐标原点N次，且

Ｎ

=Z-P若Ｚ>P，N为正值，包围方向顺时针；若Ｚ<P，N为负值，包围方向逆时针。例1:F(s)=2s+1，当s沿特定封闭曲线一周，试绘制在F(s)平面的映射曲线1-1j-jjABCDs-planej2j-2j-13ABCDF(s)-planeF(s)=2s+1F(s)=u+jvs=σ+jωF(s)=2s+1=

2(σ+jω)+1=2σ+1+j2ω=u+jvu=2σ+1,v=2ωF(s)=2s+1S=1/2为F(s)的一个零点映射封闭曲线顺时针包围F(s)的一个零点一周，映射曲线顺时针包围F(s)的原点一周Cauchy’sArgumentPrinciple例2:F(s)点幅值相角-110º-0.707+j0.7071.4728.70ºj2.2426.57º0.707+j0.7072.8014.64º130º0.707-j0.7072.80-14.64º-j2.24-26.57º-0.707-j0.7071.47-28.70ºsplaneContourAvF(s)planeContourBv红色封闭曲线redcontour没有包围零、极点蓝色封闭曲线Bluecontour没有包围原点originExample3:AssumecomplexfunctionF(s)PointsMagnitudePhase-11180º-0.707+j0.7071135ºj190º0.707+j0.707145º110º0.707-j0.7071-45º-j1-90º-0.707-j0.7071-135ºsplaneContourAvAzeroinsideclockwiseredcontour.BluecontourencirclesoriginonceclockwiseF(s)planeContourBvExample4:AssumecomplexfunctionF(s)PointsMagnitudePhase-11-180º-0.707+j0.7071-135ºj1-90º0.707+j0.7071-45º110º0.707-j0.707145º-j190º-0.707-j0.7071135ºApoleinsideclockwise

redcontour.Bluecontourencirclesoriginoncec.clockwiseF(s)planeContourBvsplaneContourAvclockwiseCounterclockwiseclockwiseCounterclockwiseContourBdoesnotcontainorigin1zeroinexteriorofcontourA1poleinexteriorofcontourA1zeroininteriorofcontourA1poleininteriorofcontourAContourBdoesnotcontainoriginContourBdoescontainoriginContourBdoescontainoriginCounterclockwiseGivenaclockwisecontourAinthes-planeandafunctionF(s)ThecontourcannotpassthroughpolesorzerosofthefunctionF(s)LetZbethenumberofzerosofF(s)insidecontourAP

bethenumber