第二章对偶理论及灵敏度分析

第二章对偶理论及灵敏度分析2023/5/31第1页，共68页，2023年，2月20日，星期三本章目录§2-1线性规划的对偶问题§2-2对偶问题的基本性质§2-3影子价格§2-4对偶单纯形法§2-5灵敏度分析§2-6参数线性规划第2页，共68页，2023年，2月20日，星期三§2-1线性规划的对偶问题引言一、对偶问题二、对称形式对偶问题的一般形式三、非对称形式的原-对偶问题四、对偶问题的写法返回本章目录第3页，共68页，2023年，2月20日，星期三引言在实际问题中，一个问题的优化往往可以从不同的两个角度提出问题。譬如，要求在有限资源条件下生产利润最大；或在一定生产能力条件下使资源消耗最少。所以，在线性规划中，对任一给定的求最大值问题，相应也存在一个求最小值的问题。且两者包括有相同的数据。若称前者为原问题，则后者便称为对偶问题；或称前者为对偶问题，而称后者为原问题。两者互为对偶，具有密切的关系。只要得到其中一个问题的解，也就能够得到另一个问题的解。因而，从中选一个问题求解就可以了。第4页，共68页，2023年，2月20日，星期三一、对偶问题例1美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品的线性规划模型为：设y1，y2，y3分别表示设备A、B和调试工序单位时间的价格。则0y1+6y2+y3≥25y1+2y2+y3≥1对生产Ⅰ产品的全部资源的定价。假如另一公司想收购美佳公司的资源，美佳公司出让自己资源的条件是什么？出让代价不低于用同等资源组织生产两种产品所能获得的利润。对生产Ⅱ产品的全部资源的定价。产品Ⅰ的利润产品Ⅱ的利润第5页，共68页，2023年，2月20日，星期三原问题与对偶问题的数据比较原问题对偶问题x1x2原关系minwy105≤15y262≤24y311≤5对偶关系maxz=minwmaxz21≥≥第6页，共68页，2023年，2月20日，星期三二、对称形式对偶问题的一般形式定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号。则其对偶问题的一般形式为：若原问题的一般形式为：yi(i=1,2,…，m)代表第i种资源的估价。第7页，共68页，2023年，2月20日，星期三矩阵形式表示的原问题与对偶问题原问题：对偶问题：令w′＝－w对偶问题令z＝－z′对偶问题的对偶是原问题第8页，共68页，2023年，2月20日，星期三三、非对称形式的原-对偶问题考虑标准形式的线性规划：maxz=CXAX=bX≥0maxz=CXAX≤bAX≥bX≥0minw=bT(Y′－Y″)AT(Y′－Y″)≤CT

Y′≥0，Y″≥0令Y=Y′－Y″

minw=bTYATY≤CT

Y为自由变量这就是非对称形式的对偶关系。在这种形式中，Y不要求非负。maxz=CXAX≤b－AX≤－bX≥0Y′Y″minw=

Y′bA′Y≤C′

Y为自由变量第9页，共68页，2023年，2月20日，星期三四、对偶问题的写法在写对偶问题时，要特别注意上表中原问题与其对偶问题的对应关系。第10页，共68页，2023年，2月20日，星期三写对偶问题的步骤：第一步：根据原问题数学模型的形式统一符号。若原问题目标函数求极大，则将其约束条件统一成“≤”或“＝”的形式；若原问题目标函数为求极小，则将其约束条件统一成“≥”或“＝”的形式。第二步：假设对偶变量。对偶变量与原问题的约束条件一一对应，每一个约束条件都有一个对偶变量与它相对应。所以，对偶变量数等于原问题的约束方程数。第三步：根据原问题与对偶问题的关系写出对偶规划模型。第11页，共68页，2023年，2月20日，星期三例:写出下面规划问题的对偶规划问题。原问题：maxz=4x1+x2-5x3-4x4-2x5

2x2+x3+3x4+4x5=-63x1+x2-x3-x4≥2-4x1+2x3-2x4≤-5-6≤x1≤18

x2≤25

x3,x4≥0;x5不受限制统一符号（因求max,故约束统一成“≤”的形式：maxz=4x1+x2-5x3-4x4-2x5

2x2+x3+3x4+4x5=-6-3x1-x2+x3+x4≤-2-4x1+2x3-2x4≤-5x1≤18-x1≤6x2≤25x3,x4≥0;x1,x2,x5

不受限制y1y2y3y4y6y5minw=-6y1-2y2-5y3+18y4+6y5+25y6-3y2-4y3+y4-y5=42y1-y2+y6=1y1+y2+2y3≥-53y1+y2-2y3≥-44y1=-2yi≥0(i=2,3,4,5,6);y1为自由变量对偶问题第一步：统一符号第二步：假设变量第三步：写对偶问题第12页，共68页，2023年，2月20日，星期三例2写出下述线性规划问题的对偶问题原问题：令x2＝－x4，x4≥0统一约束符号：y1y2y3对偶问题：令y2＝－y4，可得到教材上的形式：第13页，共68页，2023年，2月20日，星期三教材上例2的解法：原问题：令x2′＝－x2；x3′－x3″＝x3用两个不等式约束表示等式约束：统一约束符号：第14页，共68页，2023年，2月20日，星期三假设变量：写对偶问题：令y2′＝－y2；y3′－y3″＝y3第15页，共68页，2023年，2月20日，星期三第16页，共68页，2023年，2月20日，星期三§2-2对偶问题的基本性质一、单纯形法计算的矩阵描述原问题对偶问题Xs为松弛变量；Xs=(xn+1,xn+2,…,xn+m);I为m×m阶单位矩阵。返回本章目录提纲：一、单纯形法计算的矩阵描述二、对偶问题的基本性质第17页，共68页，2023年，2月20日，星期三第18页，共68页，2023年，2月20日，星期三表2-3初始单纯形表非基变量基变量Cj→CBCN0CB基bXBXNXs0XsbBNIcj-zjCBCN0表2-4最终单纯形表基变量非基变量Cj→CBCN0CB基bXBXNXsCBXBB-1bIB-1NB-1cj-zj0CN-CBB-1N-CBB-1第19页，共68页，2023年，2月20日，星期三基变量XB的检验数为：CB－CBI＝0所以，在最终单纯形表中，原变量的检验数可写为 C－CBB-1A≤0 （2.17） －CBB-1≤0 （2.18）CBB-1称为单纯形乘子。令Y′＝CBB-1，则2.17、2.18式可以改写为C－CBB-1A≤0→Y′A ≥CI→A′Y≥C′

Y≥0可以看出，原问题得到最优解时，其检验数的相反数是对偶问题的一个可行解。代入对偶问题的目标函数得 w＝Y′b＝CBB-1b＝z即原问题得到最优解时，对偶问题为可行解，两者具有相同的目标函数值。第20页，共68页，2023年，2月20日，星期三例3两个互为对偶的线性规划问题解的比较原问题：对偶问题：第21页，共68页，2023年，2月20日，星期三原问题的解为X＝(x1,x2,x3,x4,x5)T＝(7/2,3/2,15/2,0,0)T与最优解对应的目标函数值为：对偶问题的解为Y＝(y1,y2,y3,y4,y5)T＝(0,1/4,1/2,0,0)T与最优解对应的目标函数值为：第22页，共68页，2023年，2月20日，星期三例3原变量松弛变量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2cj-zj000-1/4-1/2对偶剩余变量对偶问题变量y4y5y1y2y3对偶问题变量对偶剩余变量y1y2y3y4y5y21/4-5/410-1/41/4y31/215/2011/2-3/2cj-zj-15/200-7/2-3/2原问题松弛变量原问题变量x3x4x5x1x2

在最优单纯形表的检验数行，原问题变量对应的数的相反数，是对偶问题剩余变量的值；原问题松弛变量对应的数的相反数，是对偶问题变量的值。反之亦然。第23页，共68页，2023年，2月20日，星期三二、对偶问题的基本性质1.弱对偶性：证：第24页，共68页，2023年，2月20日，星期三由弱对偶性得到推论：（1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。（2）如原问题有可行解且目标函数值无界（无界解），则其对偶问题无解；反之，对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题无可行解。（3）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之，对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题目标函数值无界。第25页，共68页，2023年，2月20日，星期三2.最优性：3.强对偶性（对偶定理）：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。第26页，共68页，2023年，2月20日，星期三4.互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。第27页，共68页，2023年，2月20日，星期三§2-3影子价格当线性规划原问题求得最优解xj*(j=1,2,…,n)时，其对偶问题也得到最优解yi*(i=1,2,…,m)，且两者的目标函数值相等。即bi：线性规划原问题右端项，代表第

i种资源的拥有量；yi*：对偶变量，代表在最优资源利用条件下对单位第

i种资源的估价，称为影子价格。影子价格(ShadowPrice)也称为机会成本(OpportunityCost),它是根据具体的经济目标、技术水平和资源条件作出的对资源利用的评价。市场价格：是资源在市场上流通的实际价格，它由整个社会的经济技术状况决定。返回本章目录第28页，共68页，2023年，2月20日，星期三根据求bi的偏导数得：这说明，原问题某一约束条件的右边常数bi增加一个单位时，则由此引起最优目标函数值的增加量，就等于与该约束相对应的对偶变量的最优值。这样一来，在有限资源条件下使收益最大化这一类问题中，就可以把对偶变量的最优值，看成是相应资源每一单位对于目标函数的贡献，即这些资源被充分利用时所能带来的收益。从而，yi*

的值就相当于对单位i种资源在实现最大利润时的一种价格估计。这种估计是针对具体企业，具体产品而存在的一种特殊价格，称之为影子价格，它与市场价格不同。若仅从经济上考虑，当某种资源的市场价格低于影子价格时，企业就可以考虑买进这种资源；当市场价格高于影子价格时，企业则可以出售这种资源。随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之变化，直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。第29页，共68页，2023年，2月20日，星期三影子价格是一种边际价格（图示）Q1Q3Q2Q4Ox1x25x2＝156x1＋2x2＝24x1＋x2＝5z＝2z＝8.5(3.5，1.5)(25)第30页，共68页，2023年，2月20日，星期三影子价格的应用（1）用影子价格判别资源的供求关系如果线性规划的原问题在得到最优解时，某个约束条件为严格的不等式，即最优解中该约束的松弛变量的值大于零，即表明该种资源有剩余，供大于求。增加这种资源时，目标函数值不会有任何改善。如果线性规划的原问题在得到最优解时，某个约束条件为严格的等式，即最优解中该约束的松弛变量的值等于零，即表明该资源恰恰用完。这种资源增加一个单位，目标函数值就改进一个影子价格。由此可见，影子价格大于零，说明资源紧缺；影子价格等于零，说明资源有剩余。影子价格愈大，说明该资源愈紧缺，该种资源每增加一个单位所相应增加的目标函数值愈大。第31页，共68页，2023年，2月20日，星期三如果xn+i=0,必有yi＞0，资源紧缺；

如果xn+i＞0,必有yi＝0，资源剩余。松弛变量xs对偶变量yi资源限量bi第32页，共68页，2023年，2月20日，星期三（2）应用影子价格来合理分配资源算出各种资源的影子价格后，可参考影子价格高低顺序合理分配资源，高者优先投资。同时，也可以参考资源的影子价格，合理地确定各种资源的价格。第33页，共68页，2023年，2月20日，星期三§2-4对偶单纯形法引言前面介绍的单纯形法，是从一个基本可行解开始进行迭代运算，在迭代过程中，始终保持解的可行性，当所有检验数都非正时，就得到了原问题的最优解。根据对偶定理，原问题单纯形表中的检验数实际上是对偶问题的一组解，但不一定可行，检验数逐渐变为非正的过程，可以理解为对偶问题解的不可行性逐渐消失的过程，当对偶问题的解变为可行解时，原问题就得到了最优解。因此，我们可以选择在对偶问题的解之间进行迭代运算，在迭代过程中，始终保持最优判别条件得到满足，当求出对偶问题的可行解时，也就得到了原问题的最优解。返回本章目录第34页，共68页，2023年，2月20日，星期三例4用对偶单纯形法求解线性规划问题：将约束条件两边同时乘以“-1”得：标准形式得到初始基为：基变量为y4,y5，非基变量为y1,y2,y3。令所有的非基变量等于0，得到该问题的一个解为：Y=(0,0,0,-2,-1)T这个解不可行，称为正则解。对偶单纯形法就是从一个正则解开始迭代的。第35页，共68页，2023年，2月20日，星期三表2-8cj→-15-24-500CB基by1y2y3y4y50y4-20-6-1100y5-1-5-2-101cj－zj-15-24-500确定换出变量y4为换出变量2.确定换入变量y2为换入变量。3.迭代运算，得新单纯形表。-24y21/3011/6-1/600y5-1/3-50-2/3-1/31cj－zj-150-1-40-24y21/4-5/410-1/41/4-5y31/215/2011/2-3/2cj－zj-15/200-7/2-3/2∵sj≤0，最优解Y=(0,1/4,1/2,0,0)TMinw=15y1+24y2+5y3=17/2第36页，共68页，2023年，2月20日，星期三§2-5灵敏度分析对一线性规划问题来说，一旦其约束条件系数矩阵A、约束条件右侧常数向量b和价值系数向量C给定之后，这个线性规划问题就确定了。反之，给定一个线性规划问题，就有确定的一组A、b和C与之对应。在此之前，我们一直假定A、b和C中的元素是常数，它们不发生变化。但实际上这些系数往往是通过估计、预测或人为决策得来的，不可能十分准确和一成不变。例如：市场条件一变，价值系数cj就会跟着变化；约束条件系数矩阵A中的元素aij往往随着工艺技术条件的变化而改变；bi通常取决于现有条件和决策人的决策。这就是说，随着时间的推移或情况的变化，我们往往需要修改原来线性规划问题中的若干系数，从而使原来的规划问题有所改变。就实际需要来讲，求出最优解，还不能说问题已完全解决。决策者还需要知道以下一些问题。返回本章目录第37页，共68页，2023年，2月20日，星期三当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的最优解有什么变化？这些系数在什么范围内改变时，规划问题的最优解或最优基不变？若最优解变化，如何用最简便的方法找到新的最优解？灵敏度分析就是研究提出在原始计算结果基础上直接分析参数变化对最优解影响的方法。灵敏度分析的步骤：（1）将参数的变化反映到最终单纯形表上；（2）检查原问题是否仍为最优解；（3）检查对偶问题是否仍为最优解；（4）按下表所列情况得出结论，决定继续计算的步骤。第38页，共68页，2023年，2月20日，星期三灵敏度分析的有关计算公式表2-9原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解问题的最优解或最优基不变可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引进人工变量，重新编单纯形表计算第39页，共68页，2023年，2月20日，星期三美佳公司用三中资源生产两种产品的线性规划模型初始单纯形表：初始单纯形表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315051000x424620100x5511001cj－zj21000第40页，共68页，2023年，2月20日，星期三灵敏度分析的主要内容一、分析cj变化二、分析bi的变化三、增加一个变量xj的分析四、分析参数aij的变化五、增加一个约束条件的分析第41页，共68页，2023年，2月20日，星期三（1）美佳公司家电Ⅰ的利润降至1.5元/件，家电Ⅱ的利润增至2元/件。一、分析

cj

的变化（例5）最终单纯表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/20x46004/51-61.5x1210-1/5012x23011/500cj－zj00-1/100-3/2y1=0,y2=1/4,y3=1/21.521.521/8-9/4返回提要第42页，共68页，2023年，2月20日，星期三家电Ⅱ的利润变化范围：若要保持最优解不变，必须(2)家电Ⅱ的利润变为（1＋λ）元最终单纯表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/21+l1+l第43页，共68页，2023年，2月20日，星期三二、分析bi

的变化（例6）最终单纯表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/2（1）美家公司设备A和调试工序的每天能力不变，设备B每天的能力增加到32小时，分析公司最优计划的变化。35/211/2-1/20x315051002x15110010x420-401-6cj－zj0-100-2返回提要第44页，共68页，2023年，2月20日，星期三（2）设备A和设备B可用能力不变，则调试工序能力在什么范围变化时，问题的最优基不变。最终单纯表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/2设调试工序每天可用能力为（5+l）小时。调试工序能力在4～６之间变化时，最优基不变。第45页，共68页，2023年，2月20日，星期三三、增加一个变量xj的分析增加一个变量在实际问题中表示增加一种新产品。分析步骤：例7美佳公司计划推出新型产品家电Ⅲ，生产一件所需设备A、B及调试工序的时间分别为3小时、4小时、2小时，该产品的预期盈利为3元/件，试分析该产品是否值得投产；如投产，该公司生产计划有何变化。解：设该公司每天生产家电Ⅲx6件，则有c6=3;P6=(3,4,2)T返回提要第46页，共68页，2023年，2月20日，星期三例7最终单纯形表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/2x63-70210x33/407/213/8-9/402x17/21001/4-1/201x63/401/20-1/83/41cj－zj0-1/20-1/8-5/40美佳公司新的最优生产计划应为每天生产家电Ⅰ7/2件，家电Ⅲ3/4件。可获得利润2×7/2＋1×0+3×3/4＝37/4（元）第47页，共68页，2023年，2月20日，星期三四、分析参数aij的变化aij的变化将引起约束条件系数矩阵A发生变化。例8在美佳公司的例子中，若家电Ⅱ每件需设备A、B和调试工时变为8小时、4小时、1小时，该产品的利润变为3元/件，试重新确定该公司的最优生产计划。解：将生产工时变化后的新家电Ⅱ看作是一种新产品，生产量为x2′，则返回提要第48页，共68页，2023年，2月20日，星期三例8最终单纯形表cj→213000CB基bx1x2x2′x3x4x50x315/20011/215/4-15/22x17/2101/201/4-1/21x23/2011/20-1/43/2cj－zj003/20-1/4-1/20x3-90014-242x121001/2-23x2′3010-1/23cj－zj0001/2-5从上表看出，原问题和对偶问题均为非可行解，故先设法使原问题变为可行解。x3＋4x4－24x5＝－9－x3－4x4＋24x5＋x6＝9人工变量第49页，共68页，2023年，2月20日，星期三表2-19cj→23000－MCB基bx1x2′x3x4x5x6-Mx6900-1-42412x121001/2-203x2′3010-1/230cj－zj00-M½-4M-5+24M00x53/800-1/24-1/611/242x111/410-1/121/601/123x2′15/8011/800-1/8cj－zj00-5/24-1/30-M+5/24因为所有检验数sj≤0，所以得到问题的最优解，即美佳公司的最优生产计划是每天生产家电Ⅰ11/4件，新家电Ⅱ15/8件。第50页，共68页，2023年，2月20日，星期三cj→213000CB基bx1x2x2′x3x4x50x3-90014-242x121001/2-23x2′3010-1/23cj－zj0001/2-5如果不加人工变量，可用对偶单纯形法从正则解开始迭代找出最优解。0x53/800-1/24-1/612x111/410-1/121/603x2′15/8011/800cj－zj00-5/24-1/30因为所有检验数sj≤0，所以得到问题的最优解，即美家公司的最优生产计划是每天生产家电Ⅰ11/4件，新家电Ⅱ15/8件。第51页，共68页，2023年，2月20日，星期三五、增加一个约束条件的分析增加一个约束条件在实际问题中相当于增加一道工序。分析方法是先将原问题最优解的变量值代入新增的约束条件，如满足，说明新增的约束条件未起到限制作用，原最优解不变。否则，将新增的约束直接反映到最终单纯形表中再进一步分析。例9设美佳公司家电Ⅰ，家电Ⅱ经调试后，还需经过一道环境试验工序，家电Ⅰ每件须环境试验3小时，家电Ⅱ每件2小时，环境试验工序每天生产能力为12小时。试分析增加该工序后，美家公司的最优生产计划。解：环境试验工序的约束条件为 3x1+2x2≤12将原问题最优解代入得：3×7/2＋2×3/2＝27/2＞12由此可见，新增约束得不到满足，需加入松弛变量，将其化为标准形式： 3x1+2x2＋x6＝12以x6为基变量，将新增约束填入最终单纯形表中。返回提要第52页，共68页，2023年，2月20日，星期三表2-21cj→210000CB基bx1x2x3x4x5x60x315/20015/4-15/202x17/21001/4-1/201x23/2010-1/43/200x612320001cj-zj000-1/4-1/200x315/20015/4-15/202x17/21001/4-1/201x23/2010-1/43/200x6-3/2000-1/4-3/21cj-zj000-1/4-1/200x3150015/20-52x141001/30-1/31x20010-1/2010x510001/61-2/3cj-zj000-1/60-1/3①②③④④－②×3④－③×2用对偶单纯形法迭代计算增加环境试验工序后，美佳公司的最优生产计划为每天生产家电Ⅰ4件。第53页，共68页，2023年，2月20日，星期三§2-6参数线性规划灵敏度分析中研究cj、bi等参数改变到某一值时对问题最优解的影响，若令cj、bi沿某一方向连续变动，则目标函数z将随cj

或bi

的变动而呈线性变动，z是这个变动参数的线性函数。，因而称为参数线性规划。参数线性规划的一般形式：cj

连续变化时：bi

连续变化时：C*和b*为变动向量，l为变动参数。返回本章目录第54页，共68页，2023年，2月20日，星期三例10分析l值变化时，下述线性规划最优解的变化解：令l＝0，求得：最终单纯形表cj→21000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/22+l1+2l2+l1+2l若λ＞1，x4换入基，x3换出基第55页，共68页，2023年，2月20日，星期三表2-25最终单纯形表cj→2+l1+2l000CB基bx1x2x3x4x50x46004/51-62+lx1210-1/5011+2lx23011/500cj－zj000-2-l所以，l≥1时，最优解为X*＝（2，3，0，6，0）T z(λ)=7+8l第56页，共68页，2023年，2月20日，星期三若l≤-1／5，x5为换入变量，x2为换出变量。最终单纯形表cj→2+λ1+2λ000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22+lx17/21001/4-1/21+2lx23/2010-1/43/2cj－zj000-1/4-1/2第57页，共68页，2023年，2月20日，星期三表2-26cj→2+l1+2l000CB基bx1x2x3x4x50x315051002+lx1411/301/600x5102/30-1/61cj-zj000若λ＜－2，X4为换入变量，X1为换出变量。第58页，共68页，2023年，2月20日，星期三λ＜－2cj→2+l1+2l000CB基bx1x2x3x4x50x315051000x424620100x5511001cj-zj2+l1+2l000第59页，共68页，2023年，2月20日，星期三例10小结l变化范围最优解目标函数-1/5≤λ≤17/2，3/2，15/2，0，0z=17/2+13/2ll≥12，3，0，6，0z=7+8l-2≤λ≤-1/54，0，15，0，1z=8+4lλ≤－20，0，15，24，5z=0lz(l)-20-0.27.2115223第60页，共68页，2023年，2月20日，星期三例11分析l变化时，下属线性规划问题最优解的变化解：1.令l=0求出最优单纯形表cj→21000CB基bx