第二章复变函数的积分

第二章复变函数的积分1第1页，共20页，2023年，2月20日，星期三§2.1复变函数的积分1.定义及其计算:(1)定义：设在复平面的某段光滑曲线l上定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点,z0，z1……..

zn把l分成n个小段.在每个小段△zk=zk-1-zk上任取点ζk,作和：于n→∞而且每一小段都无限缩短时,如果这个和的极限存在,而且其值与各个ζk的选取无关,则这个极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B路积分,记作第2页，共20页，2023年，2月20日，星期三(2)复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分：(3)计算：设在[α，β]上曲线l的方程是：z(t)=x(t)+iy(t)

例1证明证：第3页，共20页，2023年，2月20日，星期三例2计算：解：O1+iyxl1l2l2l1可见,两个积分,虽然被积函数相同,起点,终点亦相同,但由于积分路径不同,其结果并不相同,一般来说,复变函数积分之不仅依赖与起点和终点,同时还与积分路径有关.第4页，共20页，2023年，2月20日，星期三(4)积分性质：第5页，共20页，2023年，2月20日，星期三§2.2Cauchy定理1.单连通区域Cauchy定理证明：单通区域：是这样的区域,在B上作任何简单的闭合围线,围线内的点都是属于该区域B.单通区域柯西定理:如果函数f(z)在闭单通区域解析,则沿上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是的边界),有

由于f(z)在上的解析,因而在上连续,对上式右端实部和虚部分别用格林公式

dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzflll),(),(),(),()(++-=òòò第6页，共20页，2023年，2月20日，星期三由于f(z)在上的解析，其实部u和虚部v

满足柯西黎曼条件，代入之即得结论。定理条件还可以减弱：如果函数f(z)在单通区域B上解析,在闭单通区域上连续,则沿上任一段分光滑l(也可以是的边界),有推论：f(z)在上解析与积分路径无关。第7页，共20页，2023年，2月20日，星期三2.复连通区域Cauchy定理：(1)复连通区域：有奇点的情况l1l2(2)区域围线正向：当观察者沿着这个方向前进时,区域总在观察者的左边.(3)定理：如果f(z)是闭复通区域上单值解析函数,则式中:

l为区域外境界线,诸li为区域内境界线,积分均沿境界线的正方向进行.第8页，共20页，2023年，2月20日，星期三证明：作割线，化复连通区域为单连通区域1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零3）复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分。DBA’B’D’C’ACl1lil第9页，共20页，2023年，2月20日，星期三例1：证明解:若回路l不包围点,则被积函数在l在所在区域上是解析的,按照柯西定理,积分值为零.llRRl包围点，应用复连通区域Cauchy定理得：第10页，共20页，2023年，2月20日，星期三解：应用复通区域Cauchy定理：

例2：计算01ll1l2第11页，共20页，2023年，2月20日，星期三F(z)在B上是解析的,且F’(z)=

f(z),即F(z)是f(z)的一个原函数.§2.3不定积分函数f(z)在单通区域B上解析,则沿B上任一路径l的积分的值只与起点和终点有关,与路径无关.因此,当起点z0固定时,这个积分就定义了一个单值函数：证明：我们只要对B上任一点z证明F’(z)=f(z)就行了.以z为圆心作一含于B小圆.在小圆内取点z0zz

+Δz第12页，共20页，2023年，2月20日，星期三由于z在B上连续,对于任意给定的正数ε,必须存在正数δ使得当F’(z)=f(z)的函数F(z)称为f(z)在B上的一个不定积分，或原函数，同实函数一样，

第13页，共20页，2023年，2月20日，星期三证明：应用复连通Cauchy定理，得§2.4Cauchy积分公式1.单通区域Cauchy积分公式若f(z)在闭单通区域上解析,l为的围线,

为内任意一点,则有柯西公式:可见只要证明上式右端第一项等于零即可。估计：llεεα第14页，共20页，2023年，2月20日，星期三其中：max|f(z)-f()|是|f(z)-f()|在l上的最大值.令则,由于

f(z)连续性,因而有即,，于是,一般写为：解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。第15页，共20页，2023年，2月20日，星期三证明方法2第16页，共20页，2023年，2月20日，星期三2.复通区域Cauchy积分公式3.无界区域Cauchy积分公式ll1αCRlz由于f(z)在无限远处连续,即任给ε>0总能找到相应的R1,使得当|z|>

R1时有,其中有界,于是只要R>R1,则有:第17页，共20页，2023年，2月20日，星期三既有：所以：特别f(∝)=0：第18页，共20页，2023年，2月20日，星期三4.解析函数的无限次可微性：Cauchy积分公式积分号下对z求导,得反复在积分号下求导,得可以证明求导是合法的模数原理：设f(z)在某个闭区域上为解析,则|f(z)|只能在境界线l上取最大值.刘维尔