2021-2022年高三上学期9月月考数学(文)试题(解析版)

数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，，则（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】先计算出全集，然后利用补集的定义求出集合.

【详解】

全集，，因此，，故选：B.

【点睛】

本题考查有限数集补集的运算，解题的关键就是补集定义的应用，考查计算能力，属于

基础题.

2．下列命题错误的是（）

A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

．若：，，则￢：，＞

Bp∀x≥0sinx≤1p∃x0≥0sinx01

C．若复合命题：“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题

D．“x＞2”是x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

【答案】C

【解析】由命题的逆否命题的形式可判断A；由全称命题的否定为特称命题可判断B；

由复合命题的真假表可判断C；由充分必要条件的定义和二次不等式的解法可判断D.

【详解】

对于A，“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；

对于，：，，则￢：，＞，故正确；

Bp∀x≥0sinx≤1p∃x0≥0sinx01B

对于C，若复合命题：“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故C错误；

对于D，“x＞2”可得x2﹣3x+2＞0”，反之则不成立，故“x＞2”是x2﹣3x+2＞0”的充分不

必要条件，故D正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查四种命题、命题的否定、复合命题的真假表以及充分不必要条件，属于基

础题.

3．下列函数中，是奇函数且在定义域内为增函数的是（）

第1页共15页

A．y＝x2B．y＝exC．y＝x﹣1D．y＝x+sinx

【答案】D

【解析】根据题意，利用函数奇偶性的定义依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综

合即可得到答案.

【详解】

对于A，y＝x2为二次函数，为偶函数且在其定义域内不是增函数，不符合题意；

对于B，y＝ex为指数函数，为非奇非偶函数，在定义域为增函数，不复合题意；

对于C，y＝x﹣1为反比例函数，为奇函数，在定义域内不是增函数，不复合题意；

对于D，y＝x+sinx，为奇函数，y1cosx0，即函数在定义域内为增函数，符合

题意；

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性，需掌握函数奇偶性的定义以及函数单调性与导数

的关系，属于基础题.

1

4．已知sinθ﹣cosθ，则sin2θ的值是（）

5

242477

A．B．C．D．

25252525

【答案】A

1

【解析】由同角三角函数的关系以及二倍角正弦公式，对sinθ﹣cosθ两边平方即可

5

求解.

【详解】

1

由sinθ﹣cosθ，

5

1

两边同时平方可得sin22sincoscos2，

25

1

即1sin2，

25

24

所以sin2，

25

故选：A

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系以及二倍角公式，需熟记公式，属于基础题.

1

5．已知奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且x∈（0，1]时，fxx2，则f（7）

＝（）

第2页共15页

A．﹣1B．1C．2D．﹣2

【答案】A

【解析】利用奇函数的性质和fx2fx，将f7转化为f1，代入解析

式即可求解.

【详解】

奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），

可得fx4fx，函数的周期为4，

1

当x∈（0，1]时，fxx2，

则f7f724f1f11，

故选：A

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与周期性，利用周期性与奇偶性求函数值，属于基础题.

6．函数fxx3lgx零点所在区间为（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

【答案】C

【解析】利用零点存在性定理计算fafb0，由此求得函数零点所在区间.

【详解】

依题意可知fx在0,上为增函数，且f2lg210，f3lg30，

f2f30，所以函数零点在区间2,3.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.

7．若实数满足，则下列关系中不可能成立．．．．．的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案．

【详解】

根据题意，实数，满足，

对于，若，均大于0小于1，依题意，必有，故有可能成立；

第3页共15页

对于，若，则有，故有可能成立；

对于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；

对于，当时，，，不能成立，

故选：．

【点睛】

本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论、的值，属于中档题.

8．函数f（x）＝﹣2sin2x﹣3cosx在[0，2π）的零点为（）

242422

A．B．C．和D．和

333333

【答案】C

【解析】由函数零点与方程根的关系，解方程：2sin2x3cosx0即可求解.

【详解】

令fx0，即2sin2x3cosx0，

所以2(1cos2x)3cosx0

1

解得cosx或cosx2（舍去）

2

24

又因为x0,2，所以x或x，

33

故选：C

【点睛】

本题考查了函数的零点以及三角函数值，需掌握零点的定义以及特殊的三角函数值，属

于基础题.

9．函数f（x）＝e|x|﹣1的单调递增区间和最小值为（）

A．（﹣∞，0），1B．（﹣∞，0），0C．（0，+∞），1D．（0，+∞），0

【答案】D

【解析】首先判断函数为偶函数，利用导函数讨论x0的单调性即可求出单调递增区

间，由函数的单调性即可求出最小值.

【详解】

当x0时，fxex1，

则fxex0，所以函数在0,上单调递增，

又fxfx，所以函数fx为偶函数，

由偶函数的性质可得：函数在,0上单调递减，

第4页共15页

所以fxf00

min

故选：D

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及函数的最值，解题的关键是求出导函数，

属于基础题.

10．已知x＝2为函数f（x）＝x3﹣ax的极小值点，则f（x）的极大值为（）

A．﹣16B．16C．4D．﹣4

【答案】B

【解析】根据x＝2为函数的极值点可得f20，从而求出a12，根据极值的定

义即可求出极大值.

【详解】

由fxx3ax，所以fx3x2a，

x2为函数fxx3ax的极小值点，

f20，即322a0，解得a12,

fx3x212，令fx0

解得x2或x2，

令fx0，解得x2或x2，

所以函数fx的单调递增区间为,2和2,

令fx0，解得2x2，

所以函数fx的单调递减区间为2,2

即x2为函数的极大值点，f22312216

故选：B

【点睛】

本题考查了函数的极值，需掌握函数极值的定义，解题的关键是求导函数，属于基础题.

2121

11．已知α、β都为锐角，且sin、cos，则α﹣β＝（）

714

A．B．C．D．

3366

【答案】C

第5页共15页

【解析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.

【详解】

2121

因为α、β都为锐角，且sin、cos，

714

2757

所以cos，sin，

714

21212757491

由sinsincoscossin，

714714982

且α、β都为锐角，所以

6

故选：C

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.

12．已知偶函数f（x）的导函数是f'（x），当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（2）

＝0，则f（x）＞0的解集为（）

A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

【答案】A

【解析】根据条件构造函数gxxfx，利用函数的单调性和导数之间的关系，判

断函数gx的单调性，然后根据函数fx的奇偶性判断函数fx的取值情况，即

可求得不等式的解集.

【详解】

构造函数gxxfx，则gxfxxfx，

当x＞0时，fxxfx0恒成立，

即gxfxxfx0恒成立，

在0,内gx单调递增，

f20，

fx在0,2内恒有fx0；在2,内恒有fx0

又fx是定义在R上的偶函数，

第6页共15页

fx在2,0,内恒有fx0；在,2内恒有fx0

不等式fx0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）.

故选：A

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的应用，解题的关键是根据已知条件构造函数，并利用导数

判断函数的单调性，属于中档题.

二、填空题

logx，x＜0

13．若函数fx3，且f（a）＝1，则a＝_____

x25，x0

【答案】﹣3或2

【解析】讨论a的取值范围，代入对应的表达式解方程即可求解.

【详解】

logx，＜x0

∵函数fx3，且f（a）＝1，

x25，x0

∴当＜时，（）＝（﹣）＝，解得＝﹣；

a0falog3a1a3

当a≥0时，f（a）＝﹣a2+5＝1，解得a＝2或a＝﹣2（舍）．

综上，a的值为﹣3或2．

故答案为：﹣3或2

【点睛】

本题考查分段函数求参数值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

2

14．函数f（x）3在点（1，f（1））处的切线方程为_____

x

【答案】y＝﹣2x+1

【解析】求出f12，利用导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式方程即可求

解.

【详解】

2

由题得点为（1，﹣1），fx，

x2

所以斜率为f12，

所以切线方程为y＝﹣2（x﹣1）﹣1＝﹣2x+1．

故答案为：y＝﹣2x+1

第7页共15页

【点睛】

本题考查曲线的切线方程，需理解导数的几何意义以及点斜式方程，属于基础题.

15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x，则f（﹣1）

＝_____

【答案】3

【解析】利用函数的奇偶性即可求值.

【详解】

根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x+x，则f（1）＝2+1＝3，

又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3；

故答案为：3

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，需掌握奇偶性的特征，属于基础题.

16．sin15°+cos15°=__.

【答案】

36

【解析】sin15cos152sin(1545)2

22

三、解答题

17．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣alnx．

（1）当a＝3时，求f（x）在[1，2]上的最大值与最小值；

（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

331

【答案】（1）f(x)3ln，f（x）＝0（2），

min42max8

【解析】（1）首先求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，再结合函数的定

义域即可求解.

（2）利用导函数转化为f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，采用分离参数法即a≤2x2﹣x

在（0，+∞）上恒成立，令gx2x2x，求gx在0,的最小值即可.

【详解】

（1）解：当a＝3时，f（x）＝x2﹣x﹣3lnx（x＞0）；

32x3x1

fx2x1；

xx

第8页共15页

33

∴f（x）在1，上单调递减，在，2上单调递增；

22

333

∴当x∈[1，2]时，f(x)f3ln；

min242

f（1）＝0，f（2）＝2﹣3ln2；

∴（）＝（）＝；

fxmaxf10

a

（2）解：fx2x1；

x

若f（x）在（0，+∞）上单调递增，

即fx0在（0，+∞）上恒成立；

则a≤2x2﹣x在（0，+∞）上恒成立；

令g（x）＝2x2﹣x，则g′（x）＝4x﹣1；

11

易知，g(x)g；

min48

11

∴a，即a的取值范围是，．

88

【点睛】

本题主要考查导数求函数的最值以及根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档

题.

18．已知角α的终边过点（1，2）．

2sincos

（1）求的值；

cossin

（2）若tan（α+β）＝﹣1，求tan2β的值．

3

【答案】（1）3（2）

4

【解析】（1）根据终边上的点求出tan2，再利用诱导公式化简、代入求值即可.

（2）利用正切的两角和的公式展开求出tan3，再根据正切的二倍角公式即可求值.

【详解】

由角α的终边过点P（1，2），可得tanα＝2，

2sincos2sincos2tan1221

（1）3．

cossincossintan121

tantan2tan

（2）∵tan（α+β）1，

1tantan12tan

第9页共15页

∴解得：tanβ＝3，

2tan233

∴tan2β．

1tan21324

【点睛】

本题主要考查三角函数的诱导公式以及正切的两角和与差的公式、二倍角公式，需熟记

公式，属于基础题.

19．石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲乙两位同

学的20次成绩如茎叶图所示:

（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图

填充完整；

（2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体

值，给出结论即可）；

（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件为“其中

2个成绩分别属于不同的同学”，求事件发生的概率.

【答案】（1）见解析；（2）乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比

甲同学的成绩更稳定集中；（3）.

【解析】（1）直接由茎叶图求解.

（2）由茎叶图中数据的集中程度直接判断。

（3）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有

3个，设为c，d，e，即可求得任意选出2个成绩有10种，其中2个成绩分属不同同学

的情况有6种，利用古典概型概率公式即可得解。

【详解】

（1）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，

同学乙的成绩的频率分布直方图如下：

第10页共15页

（2）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比

甲同学的成绩更稳定集中.

（3）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，

乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e,

现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：

(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10

种，

其中2个成绩分属不同同学的情况有：

(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)共6种，

因此事件A发生的概率P(A)=.

【点睛】

本题主要考查了茎叶图知识，考查了平均数计算及稳定性判断，还考查了古典概型概率

计算，属于基础题。

x2y2

．已知椭圆：1a＞b＞0的左右焦点分别为、，过的直线交椭

20CF1F2F1

a2b2

2

圆C与A、B两点，△AFB的周长为，且椭圆C经过点1，．

242

2

（1）求椭圆C的方程；

21

（2）当AB的中点坐标为，时，求△AFB的面积．

332

x24

【答案】（1）y2＝1（2）

23

【解析】（1）根据椭圆的定义求出a2，再由椭圆上的点满足椭圆方程求出b1即

可.

第11页共15页

（2）根据已知设出直线方程，将直线与椭圆联立，利用中点弦公式求出直线方程，

再由弦长公式以及点到直线的距离即可求解.

【详解】

（）∵△的周长为，故＝，即，

1AF2B424a42a2

211

又椭圆经过点（1，），∴1，即b＝1，

222b2

x2

∴椭圆方程为y2＝1．

2

（）由椭圆方程可知（﹣，），（，）．

2F110F210

21

∵AB的中点（，）在第二象限，显然直线AB有斜率且斜率大于0，

33

设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k＞0），

1

代入椭圆方程可得：（k2）x2+2k2x+k2﹣1＝0，

2

设（，），（，），即

Ax1y1Bx2y2

2k22

xx2

1213，

k2

2

解得：＝，于是＝，

k1x1x20

442

∴|AB|(1k2)(xx)24xx2•．

121233

又直线的方程为：＝，（，），

AByx+1F210

2

∴F到直线AB的距离d2，

22

1424

∴△ABF的面积为2．

2233

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，需掌握住弦长公式、点到直线

的距离公式，属于中档题.

21．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调性；

（2）设a≤0，求证：x≥0时，f（x）≥x2．

【答案】（1）f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增（2）证明

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见解析

【解析】（1）将a代入，求函数的导函数，由函数的单调性与导数即可求解.

（2）利用分析法，将不等式转化为f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立，

令g（x）＝ex﹣ax﹣1﹣x2，研究gx的单调性即可证明.

【详解】

（1）解：当a＝2时，f（x）＝ex﹣2x﹣1；

f′（x）＝ex﹣2；

当f′（x）＝0时，x＝ln2；

∴f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；

（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x2；

即证当x≥0时，g（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立；

g′（x）＝ex﹣2x﹣a；

令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝ex﹣2；

由第（）问可知，（）＝（）＝﹣﹣；

1hxminhln222ln2a

∵a≤0；

∴h（ln2）＞0；

∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上单调递增；

∴g（x）≥g（0）＝0；

∴当x≥0时，f（x）≥x2．

【点睛】

本题考查利用导函数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查学生的逻辑推理能力，

属于中档题

3

x1t

2

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以O为

1

yt

2

极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与x轴的交点为F，直线l与曲线C的交点为A、B，求|FA|+|FB|的值．

【答案】（1）直线l的普通方程为x3y10，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x

（2）16

第13页共15页

ysin

【解析】（1）消参即可求出直线l的普通方程，由代入即可求出曲线C的

xcos

直角坐标方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线方程，根据韦达定理求出tt83，t•t＝﹣16（t

12121

和t为A、B对应的参数），由FAFBtt即可求解.

212

【详解】

3

x1t

2

（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为

1

yt

2

x3y10．

曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．整理得（ρsinθ）2＝4ρcosθ，转换为直角坐标方

程为y2＝4x．