四川省成都外国语2023年数学高二下期末综合测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为()A． B． C． D．2．空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则（）A． B． C． D．3．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有()A．12种 B．7种 C．24种 D．49种4．设向量与向量垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（）A． B． C． D．5．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为()A．1 B． C． D．6．若方程在区间（-1,1）和区间（1,2）上各有一根,则实数的取值范围是()A． B． C． D．或7．已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知：，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c10．已知点是的外接圆圆心,.若存在非零实数使得且,则的值为（）A． B． C． D．11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余.记为.若，，则b的值可以是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202212．椭圆的点到直线的距离的最小值为（）A． B． C． D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于______。14．已知随机变量，则的值为__________．15．已知随机变量的分布列如下表：其中是常数，则的值为_______.16．过双曲线的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知实数为整数，函数，（1）求函数的单调区间；（2）如果存在，使得成立，试判断整数是否有最小值，若有，求出值；若无，请说明理由（注：为自然对数的底数）.18．（12分）一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为，俯视图中正方形的边长也为.主视图和左视图俯视图（1）画出实物的大致直观图形；（2）求此物体的表面积；（3）若，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到个单位）19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，，，.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已经函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且，为线段的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为.2、C【解析】分析：由空间向量加法法则得到，由此能求出结果．详解：由题空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则故选C.点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3、D【解析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．4、B【解析】

先根据向量计算出的值，然后写出的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.【详解】因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，则向量与向量共线，故选：B.【点睛】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当，若，则，若，则.5、D【解析】

根据分布列中所有概率和为1求a的值.【详解】因为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，选D.【点睛】本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.6、B【解析】

函数f（x）＝在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则，解得即可．【详解】∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，∴，即，解得a＜1，故选B．【点睛】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．7、B【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故选：B．点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．8、A【解析】

若恒成立,则的最小值大于,利用均值定理及“1”的代换求得的最小值,进而求解即可.【详解】由题,因为,,,所以,当且仅当,即,时等号成立,因为恒成立,则,即,解得,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.9、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、D【解析】

根据且判断出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.11、A【解析】

先利用二项式定理将表示为，再利用二项式定理展开，得出除以的余数，结合题中同余类的定义可选出合适的答案．【详解】，则，所以，除以的余数为，以上四个选项中，除以的余数为，故选A.【点睛】本题考查二项式定理，考查数的整除问题，解这类问题的关键就是将指数幂的底数表示为与除数的倍数相关的底数，结合二项定理展开式可求出整除后的余数，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．12、D【解析】

写设椭圆1上的点为M（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式，结合三角函数性质能求出椭圆1上的点到直线x+2y﹣4＝1的距离取最小值．【详解】解：设椭圆1上的点为M（3cosθ，2sinθ），则点M到直线x+2y﹣4＝1的距离：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴当sin（θ+α）时，椭圆1上的点到直线x+2y﹣4＝1的距离取最小值dmin＝1．故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

根据定积分求面积【详解】.【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.14、【解析】

根据二项分布的期望公式求解.【详解】因为随机变量服从二项分布，所以.【点睛】本题考查二项分布的性质.15、【解析】

根据分布列中概率和为可构造方程求得，由求得结果.【详解】由分布列可知：，解得：则本题正确结果：【点睛】本题考查分布列性质的应用，属于基础题.16、1【解析】

求得双曲线的b，c，求得双曲线的渐近线方程，将x＝c代入双曲线的渐近线方程，可得A，B的坐标，求得△OAB的面积，运用基本不等式可得最小值．【详解】解：双曲线C：1的b＝2，c2＝a2+4，（a＞0），设F（c，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x，由x＝c代入可得交点A（c，），B（c，），即有△OAB的面积为Sc•＝2•2（a）≥41，当且仅当a＝2时，△OAB的面积取得最小值1．故答案为：1．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）的最小值为1【解析】

（1）求导函数后，注意对分式分子实行有理化，注意利用平方差公式，然后分析单调性；（2）由可得不等式，通过构造函数证明函数的最值满足相应条件即可；分析函数时，注意极值点唯一的情况，其中导函数等于零的式子要注意代入化简.【详解】解：（1）已知，函数的定义域为，因此在区间上，在区间上，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）存在，，使得成立设，只要满足即可，易知在上单调递增，又，，，所以存在唯一的，使得，且当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，，又，即，所以.所以，因为，所以，则，又.所以的最小值为1.【点睛】本题考查导数的综合运用，难度较难，也是高考必考的考点.对于极值点唯一的情况，一定要注意极值点处导函数等于零对应的表达式，这对于后面去计算函数的最值时去化简有直接用途.18、（1）见解析；（2）；（2）【解析】

（1）根据三视图可知几何体的下部分是正方体，上部分是正四棱锥，画出几何体；（2）根据（1）所画的几何体，几何体的表面积包含5个正方形和4个三角形的面积；（3）根据数形结合，先画出展开图的平面图形，最短距离就是，根据余弦定理求边长.【详解】（1）（2）正视图中等腰三角形的直角边是几何体正四棱锥的斜高，，（3）一个三角形和下面的正方形的的展开图，如图所示，当时，，，设，,而，,根据数形结合可知最短距离就是,,【点睛】本题考查根据三视图求几何体的直观图，以及计算表面积，意在考查空间想象能力和计算求解能力，本题第二问需注意三视图中等腰三角形的腰是正四棱锥的斜高，等腰三角形斜边上的高是锥体的高，求解表面积时需注意这点.19、（1）；（2）【解析】

将函数写出分段函数形式，再分段解不等式。不等式的解集非空即。【详解】(1)或或无解或或或原不等式的解集为(2)若要的解集非空只要即可故的取值范围为【点睛】本题考查含绝对值的不等式，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题。20、（1）见证明；（2）【解析】

（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，则有，再利用勾股数及等腰三角形可得，可证得平面，即证得结论.（2）以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【详解】（1）取的中点，连接，，则.由题知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面为矩形，故平面，所以，在中，，，则.因为，所以，，即△CDP为等腰三角形，又F为的中点，所以.因为，所以平面，即平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.由题知，，设平面的法向量为，则，令，则，，得.因为平面，所以为平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21、