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文档简介

习题课（第2章）本章要点：矩阵的概念矩阵上定义的运算：

A+B，kA，AB，AT，A–1，|A|，A*各运算定义的条件和结果各运算之间的关系矩阵运算和实数运算的差异矩阵的分块技巧矩阵的初等变换阶梯形、行标准形、标准形；初等矩阵与初等变换的应用矩阵的秩秩的概念；秩的等式和不等式秩的求法重点难点基本功矩阵乘法的其他公式:p33.乘法表1、2、矩阵乘积的列的构成！矩阵乘积的行的构成！初等变换的基本结果初等变换后的矩阵和原矩阵不等.行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是惟一的.Gauss-Jordan消元法可以将矩阵化为行标准型;仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形F.矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:非零行的数目r相等.n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵.从阶梯形可以直接得到标准型.练习题的类别：判断与讨论题基本习题综合练习题证明题思考题判断题

设A，B,C为n阶可逆方阵，则A+B=B+A；AB=BA；|AB|=|BA|.(AT)T=A;(A–1)–1=A;(A*)*=A.(kA)*=k(A*);|A*|=|A|n设Amm和Bnn均为不可逆矩阵,则|A|=|B|.若A是可逆矩阵,则AB=0，则有B=0.若方阵ABC=I,则（1）BAC=I;（2）CAB=I;（3）BCA=I（4）CBA=I.若A,B

均为n阶对称矩阵,则(AB)也是对称矩阵.6若A，B为n阶方阵，AB=0，则

(A+B)2=A2+B2.7设A，B为方阵，则矩阵乘法的秩的结果有

r(AB)=r(BA).8设A,B是方阵,下列等式是否成立?(A+B)2=A2+2AB+B2;AB+4B=(A+4)B.A2

–I=(A+I)(A–I)9.设矩阵A和B可以相乘,则A有一行是0,则乘积（AB）有一行为0。A有一列是0,则乘积（AB）有一列为0.B有一行是0,则乘积（AB）有一行为0。B有一列是0,则乘积（AB）有一列为0.10、如果AB不可逆，则A和B都不可逆。11、设A

是(mn)

矩阵，如果对任何的(n1)

向量X，有AX=0

，则A

是零矩阵.设，，则A–1=

设|A|=2，则|A–1+A*|=

如果，则F=二、填空题4，则（3A*）–1=

计算题一、求下列矩阵A的n

次幂An：A=T，其中

2、3、

二、设，求矩阵B，使得A*BA=BA+3I.三、设矩阵n阶A=（aij）满足条件aij=A

ij，a33=–1，求A的行列式求解四、设n阶方阵A满足AAT=I（正交矩阵），|A|<0,求|I+A

|.五、证明题:1、设

A

和

B

是(nn)矩阵，有AB=A+B.证明A-I是可逆的，求(A-I)-1.2，设

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