空间向量的正交分解及坐标表示

空间向量的正交分解及坐标表示第1页，共41页，2023年，2月20日，星期二学习目标1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。学习重点

空间向量基本定理学习难点探究空间向量基本定理的过程及定理的应用第2页，共41页，2023年，2月20日，星期二1、平面向量基本定理：一、预备知识第3页，共41页，2023年，2月20日，星期二ap

一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量来表示？OP第4页，共41页，2023年，2月20日，星期二yx12312ij3、在平面直角坐标系中，取与X轴Y轴方向相同的两个单位向量

、作为基底，在图中作出=，并写出的坐标。

=（3，2）

O第5页，共41页，2023年，2月20日，星期二pxyzoijk二、探究与发现[探究一]设、、为由公共起点O的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量，如何用、、来表示？QP第6页，共41页，2023年，2月20日，星期二abpc[探究二]如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量，还有类似结论吗？OPQ第7页，共41页，2023年，2月20日，星期二

空间向量基本定理：

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三个向量{a、b、c}叫做空间的一个基底a,b,c都叫做基向量第8页，共41页，2023年，2月20日，星期二注意对于基底{a,b,c}需要明确以下几点：1.向量a,b,c不共面；2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.第9页，共41页，2023年，2月20日，星期二

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3（2）空间向量的坐标表示第10页，共41页，2023年，2月20日，星期二给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)（2）空间向量的坐标表示xyzOe3e1e2P第11页，共41页，2023年，2月20日，星期二三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作

=(x,y,z)由空间向量基本定理，对于空间任一向量存在唯一的有序实数组(x,y,z)使P′P第12页，共41页，2023年，2月20日，星期二练习.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量

，

，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，用向量

，

，表示向量AC1和BD1。ijk第13页，共41页，2023年，2月20日，星期二三、定理应用例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量、、表示和。解：=

第14页，共41页，2023年，2月20日，星期二

解：第15页，共41页，2023年，2月20日，星期二练习

.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323第16页，共41页，2023年，2月20日，星期二第17页，共41页，2023年，2月20日，星期二四、学后反思1、知识点：2、问题探究过程的思路剖析：[课下探究]

空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？五、作业：

P106A组1.2.第18页，共41页，2023年，2月20日，星期二练习2第19页，共41页，2023年，2月20日，星期二空间向量运算

的坐标表示第20页，共41页，2023年，2月20日，星期二

空间向量基本定理：

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三个向量{a、b、c}叫做空间的一个基底a,b,c都叫做基向量第21页，共41页，2023年，2月20日，星期二则叫做点A

在此空间坐标系o-xyz的坐标；

xyzOA3.坐标①向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量,且设

为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)使有序数组(a1,a2,a3)叫做在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，

记作.(a1,a2,a3)②点的坐标在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A,对应一个向量

于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使记作Ax,y,z分别称作点A的横坐标,纵坐标,竖坐标.第22页，共41页，2023年，2月20日，星期二则二、空间向量的坐标运算.(注：分母不为零)第23页，共41页，2023年，2月20日，星期二若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.第24页，共41页，2023年，2月20日，星期二二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。第25页，共41页，2023年，2月20日，星期二在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式第26页，共41页，2023年，2月20日，星期二2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。第27页，共41页，2023年，2月20日，星期二第28页，共41页，2023年，2月20日，星期二第29页，共41页，2023年，2月20日，星期二练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离及中点坐标：第30页，共41页，2023年，2月20日，星期二答案：

(1,1，－1)

(－1,0,1)第31页，共41页，2023年，2月20日，星期二解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则

例1如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.

第32页，共41页，2023年，2月20日，星期二如图长方体ABCD-A'B'C'D',底面边长均为1，棱AA'=2，M、N分别是A'C',AA'的中点，

（1）求CN的长;

（2）求cos<CA',DC'>的值;

（3）求证:A'C⊥D'M

.AD'C'B'A'CDBNM例题第33页，共41页，2023年，2月20日，星期二AD'C'B'A'CDBNMxyz解：（1）如图建立空间直角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1)第34页，共41页，2023年，2月20日，星期二第35页，共41页，2023年，2月20日，星期二（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)，（3）∴A'C⊥D'M

第36页，共41页，2023年，2月20日，星期二证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE